Keplers ligning

I astronomi , den ligning Kepler er et bindemiddel formel i en bane, den excentriciteten e og den excentriske anomali E ved den gennemsnitlige anomali M . Vigtigheden af denne ligning er, at det gør det muligt at passere fra en stjernes (den gennemsnitlige anomali) bevægelses dynamiske parametre til de geometriske parametre (den excentriske anomali). Denne ligning blev etableret af Kepler i tilfælde af elliptiske kredsløb ved at analysere positionslæsningerne på planeten Mars udført af Tycho Brahe . Det blev derefter generaliseret til andre former for baner ( parabolsk , hyperbolsk , kvasi-parabolsk, retlinet) ved hjælp af principperne for Newtonsk mekanik .

Introduktion til Keplers ligning

Keplers ligning som sådan er den, der er oprettet af Kepler for elliptiske baner. Det kan dog afvises i flere former for at dække alle tilfælde af kredsløb.

Tilfælde af den elliptiske bane

Keplers ligning i elliptisk bane er:

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

med den gennemsnitlige anomali $M$ defineret af:

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

med $n$ medium bevægelse:

{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ cdot \ pi} {T}}}

$t$ tiden og $t 0$ er øjeblikket for passage til periapsis . $T$ er omløbsperioden .

Demonstration

Dens demonstration er enkel og involverer beregning af arealet af en ellipsesektor, hvis toppunkt er optaget af en af de to foci, ved to forskellige metoder, hvoraf den ene anvender områdeloven og 'andet ved at beregne område af denne elliptiske sektor projiceret på ellipsens hovedcirkel.

Ifølge Keplers anden lov er området scannet af segmentet $SP$ på diagrammet proportionalt med tiden. Så området for den elliptiske sektor $SzP$ er lig med $k ( t - t 0 )$ , hvor $t$ er tiden, og $t 0$ er øjeblikket for stjernens passage i $z$ . Proportionalitetskonstanten $k$ kan let bestemmes: ved afslutningen af en orbitalperiode $T$ vil det fejede areal være lig med det samlede areal af ellipsen $π ab$ ( $a$ og $b$ er den semi-major akse og semi-minor ellipsens akse), enten:

{\ displaystyle SzP = {\ frac {\ pi ab} {T}} (t-t_ {0})}

Det er fortsat at bestemme arealet af ellipsesektoren $SzP$ geometrisk for at skabe forbindelsen mellem den forløbne tid siden passagen i $z$ og positionen på banen.

Kepler brugte til dette en hjælpecirkel afgrænset til ellipsen (området af en cirkulær sektor er let at vide).

Området for sektoren $Szx$ er lig med forskellen mellem den cirkulære sektor $czx$ og trekanten $cSx$ . ${\ displaystyle Szx = czx-cSx = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot E - {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot e \ cdot \ sin (E)}$

hvor $E$ udtrykkes i radianer.

Endelig er $SzP = Szx \times b / a$ : den ene er en kompression af den anden af forholdet $b / a$ (hvor mere præcist, en affinitet af forholdet $b / a$ ) Vi opnår Keplers ligning efter forenkling ved at forklare ligestillingen $SzP = k ( t - t 0 )$ , det vil sige:

{\ displaystyle {\ frac {2} {ab}} SzP = {\ frac {2 \ pi} {T}} (t-t_ {0}) = Ee \ cdot \ sin (E)}

Den gennemsnitlige bevægelse kan også udtrykkes ved:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

eller

$G$ er den universelle konstant for tyngdekraft
$m 1$ og $m 2$ masserne af de to kroppe
$a$ ellipsens semi-hovedakse ; $p$ er parameteren for ellipsen ${\ displaystyle a = {\ frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

Keplers ligning, der er forbundet med forbindelsen mellem den excentriske anomali $E$ og den sande anomali $v$

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ cdot \ tan {(E / 2)}}

gør det muligt at bestemme positionen over en stjernes tid i sin bane.

Hyperbolsk kredsløbssag

I tilfælde af en hyperbolsk bane ( $e > 1$ ) kan vi analytisk bevise en relation svarende til Keplers ligning:

{\ displaystyle e \ cdot \ sinh {(H)} - H = M}

hvor $sinh$ betegner den hyperbolske sinus .

M defineres på samme måde som i det elliptiske tilfælde med udtryk for følgende gennemsnitlige bevægelse:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {(- a) ^ {3}}}}}

Argumentet H er ikke længere en vinkel, som det er tilfældet med E i elliptisk bevægelse. H er i dette tilfælde relateret til den sande anomali v ved:

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {e + 1} {e-1}}} \ cdot \ tanh {(H / 2)}}

Parabolsk kredsløbssag

Keplers ligning er ikke defineret i sammenhæng med parabolsk bevægelse ( $e = 1$ ). Det erstattes af Barker-ligningen.

{\ displaystyle M = s + {\ frac {s ^ {3}} {3}}}

med

{\ displaystyle ~ s = \ tan {(v / 2)}}

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = 2 \ cdot {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {p ^ {3}}}}}

Denne kubiske ligning kan løses analytisk ved Cardans metode .

Universelt udtryk for Keplers ligning

Ved at ændre variablen kan de elliptiske, parabolske og hyperbolske Kepler-ligninger kombineres til en enkelt "universel" ligning. Et af de mulige udtryk er:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} c_ {3} (\ alpha x ^ {2}) = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}} (t-t_ { 0})}

med periapsis $q = a (1- e )$ og $α = 1 / a$ . $α$ er positiv for elliptiske baner, nul for parabolske baner og negativ for hyperbolske baner. Den nye variabel $x$ er defineret af:

{\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}

og funktionen $c 3 ( t )$ er en af Stumpff-funktionerne , som generelt er skrevet:

{\ displaystyle c_ {k} (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + k)!}} t ^ { ikke}}

Demonstration

Startende fra den elliptiske ligning,

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}} (t-t_ {0})}

med

{\ displaystyle \ mu = G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}

og ved at ændre variablen

${\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}$

vi opnår

{\ displaystyle ax-ea {\ sqrt {a}} \ cdot \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = {\ sqrt {\ mu}} (t -t_ {0})}

Med den serielle udvikling af sinus finder vi:

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right) = {\ frac {x} {\ sqrt {a}}} - {\ frac {x ^ {3} } {a {\ sqrt {a}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} { \ left ({\ frac {x ^ {2}} {a}} \ right)} ^ {n}}}

Keplers ligning bliver til:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = {\ sqrt {\ mu}} (t-t_ {0})}

Diskontinuiteten på $a$ for parabolske baner er blevet fjernet, og udtrykket for $a$ vises ikke længere under en kvadratrod, hvilket gør denne ligning også anvendelig til hyperbolske baner. Formlen opnået ved at starte fra den hyperbolske Keplers ligning ville være i alle punkter svarende til denne ved at posere . ${\ displaystyle x = iH \ cdot {\ sqrt {a}}}$

Bestemmelsen af $x$ ifølge den universelle ligning gør det muligt at bestemme kroppens position i dets bane $( X , Y )$ ved:

{\ displaystyle X = a (\ cos {E} -e) = q + a \ cdot \ cos {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = qx ^ {2 } \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 2)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = qx ^ {2} c_ {2} (\ alpha x ^ {2})}

{\ displaystyle Y = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E} = {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}} {\ sqrt {a}} \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} \ sum \ limits _ {n = 0} ^ { + \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} c_ {1} (\ alpha x ^ {2})}

Funktionerne $c 1 ( t )$ og $c 2 ( t )$ defineres på samme måde som $c 3 ( t )$ ovenfor.

Retlinede baner

De retlinede baner er grænsetilfælde af de andre baner, ved at gøre afstanden til periapsis $q$ tendens mod nul, medens den halve storakse $en$ konstant: øjenhulen tendens derefter mod et segment eller en semi-line. I tilfælde af elliptiske og hyperbolske baner antager det at gøre tendens til excentriciteten $e$ mod 1, fordi halv-hovedakse $a$ , excentricitet $e$ og periapsis $q$ er forbundet med $q = a (1- e )$ . Der er derfor tre typer af retlinede baner: elliptisk, parabolsk og hyperbolsk. I praksis er kun en del af disse baner beskrevet af stjernen, hvilket resulterer i enten en kollision eller en flugt. Visse kamikaze-kometer opdaget af rumsolobservatorier ( SoHO , SDO osv.) Eller sektioner af kredsløb af interplanetære sonder er tæt på retlinede baner.

For den elliptiske retlinjede bane bliver Keplers ligning:

{\ displaystyle ~ E- \ sin {(E)} = M}

med den gennemsnitlige anomali $M$ defineret af:

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

Den sande anomali har ikke længere nogen betydning for en retlinet bane, stjernens position defineres ved dens afstand, der adskiller den fra hovedstjernen r :

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cos {(E)})}

For den hyperbolske retlinjede bane bliver Keplers ligning:

{\ displaystyle ~ \ sinh {(H)} - H = M}

og stjernens position:

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cosh {(H)})}

$et$ væsen negativt for hyperbolske baner

Endelig for den parabolske retlinede bane:

{\ displaystyle M = {\ frac {s ^ {3}} {6}}}

med

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}}

og stjernens position:

{\ displaystyle r = {\ frac {s ^ {2}} {2}}}

Løsning af Keplers ligning

Keplers ligning

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

giver dig mulighed for direkte at beregne datoen (knyttet til $M$ ) svarende til en given position (knyttet til $E$ ), for eksempel for at bestemme datoen for jævndøgn. På den anden side kræver det omvendte problem, bestemmelse af en planetes position for en given dato, bestemmelsen af $E$ , kendende til $M$ og $e$ . Dette problem kan ikke løses på en nem måde.

At løse Keplers ligning er at finde $E ( e , M )$ :

som en Fourier-serie, da det er en underlig periodisk funktion af $M$
som en heltalserie af $e$ , hvis $e < e 0 : = 0,6627 ...$ , konvergensradius for serien.
som en numerisk værdi med et antal cifre ( $d$ ) til en optimeret beregningstid $tc ( d )$ .

Fourier-serien

Det er Lagrange, der finder udtrykket, skønt navnet $J n ( x )$ er knyttet til navnet Bessel .

$E - M$ er en periodisk ulige funktion af $M$ :

${\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = 2 \ cdot \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {J_ {n} (ne)} {n}} \ sin (nM) }$

hvor $J n ( x )$ er Bessel-funktionen af en ny slags rækkefølge $n$ .

Demonstration

$E - M$ er en kontinuerlig, ulige og periodisk funktion af periode $2π$ ; den kan derfor udvikles i Fourier-serier, hvis cosinuskoefficienter alle er nul.

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = \ Sigma _ {p = 1} b_ {p} \ sin (pM)}

med

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e \ sin (E) \ sin (pM) ~ \ mathrm {d} M}

For at ændre integrationsvariablen integrerer vi med dele ved at indstille $u = sin ( E )$ og $d v = sin ( pM ) d M$ får vi:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (E) \ cos (pM) ~ \ mathrm {d} E}

Ved at omdanne produktet af cosinus til summen af cosinus opnår vi:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1 + p) E-ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1- p) E + ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E \ right)}

efter at have erstattet $d M$ med $(1: e cos E ) d E$ (ligestilling opnået ved at udlede Keplers ligning).

Bessel-funktionerne af den første art udtrykkes imidlertid ved:

{\ displaystyle J_ {p} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [pE-x \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E}

hvorfra :

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} [J_ {p + 1} (pe) + J_ {p-1} (pe)]}

Desuden bekræfter Bessels funktioner gentagelsesforholdet:

{\ displaystyle J_ {p-1} (x) + J_ {p + 1} (x) = {\ frac {2p} {x}} J_ {p} (x)}

dermed endelig:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {2} {p}} J_ {p} (pe).}

Hele excentricitetsserie

Det er stadig Lagrange, der finder løsningen, som Laplace vil gennemføre ved at give konvergensradius. Disse værker vil inspirere Cauchy , som vil finde teorien om analytiske serier til at løse dette tornede problem; dette vil se sin kulmination med Puiseux arbejde .

Anvendelse af Lagrange's inversionssætning indeholder:

${\ displaystyle EM = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {e ^ {n} \ over n!} \ cdot a_ {n} (M)}$

med

{\ displaystyle \ a_ {n} (M) = {\ mathrm {d} ^ {n-1} \ over {\ mathrm {d} M ^ {n-1}}} (\ sin ^ {n} M) .}

Den mindste konvergensradius for serien, som afhænger af $M$ , nås for $M = π / 2$ og er $lig med$ $e 0 = 0,66627434193$ som angivet af Laplace ( 1823 ) og demonstreret af Cauchy og Puiseux:

{\ displaystyle e_ {0} = 2 {\ frac {\ sqrt {x (1-x)}} {1-2x}}}

x

sådan, at .

{\ displaystyle {\ frac {1-x} {x}} = \ exp \ left ({\ frac {2} {1-2x}} \ right)}

Dette gør denne formel uanvendelig til at bestemme placeringen af kometer, hvis excentricitet ofte er tæt på 1.

De første vilkår er:

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin M + e ^ {2} \ cdot \ sin M \ cdot \ cos M + e ^ {3} \ cdot \ left (\ sin M \ cdot \ cos ^ {2} M - {\ sin ^ {3} M \ over 2} \ højre) + \ prikker}

Bemærk: det er muligt at opnå denne udvidelse i serie ved at erstatte Bessel i den tidligere Fourier-serie med deres begrænsede udvidelse:

{\ displaystyle J_ {n} (x) = (x / 2) ^ {n} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {p} \ over p! (n + p )!} (x / 2) ^ {2p}}

Vi opnår derefter den begrænsede ekspansion meget mere simpelt end ved metoden til serieinversion:

{\ displaystyle EM =}

{\ displaystyle \ left (e - {\ frac {e ^ {3}} {8}} + {\ frac {e ^ {5}} {192}} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin M + \ venstre ({\ frac {e ^ {2}} {2}} - {\ frac {e ^ {4}} {6}} + {\ frac {e ^ {6}} {48}} + \ cdots \ til højre) \ cdot \ sin 2M + \ left ({\ frac {3} {8}} e ^ {3} - {\ frac {27} {128}} e ^ {5} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 3M}

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {e ^ {4}} {3}} - {\ frac {4} {15}} e ^ {6} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 4M + \ venstre ({\ frac {125} {384}} e ^ {5} + \ cdots \ højre) \ cdot \ sin 5M + \ left ({\ frac {27} {80}} e ^ {6} + \ cdots \ højre) \ cdot \ sin 6M}

Det skal bemærkes, at selvom Fourier-serien konvergerer for $0 < e <1$ , og at udvidelserne af Bessel-funktioner har en uendelig konvergensradius, konvergerer resultatet efter omorganisering af udtrykkene kun for $e <0,662 ...$

Tilfæld af kometer:

e > e 0

Den første, der står over for problemet, er Horrocks , så især Halley , til beregningerne af hans excentriske komet $e = 0,9673$ .

Flere løsninger er blevet foreslået ved let at ændre Barker-ligningen ( $e = 1$ ). Den løsning, der er foreslået af Bessel ( 1805 ), dækker domænet $e > 0,997$ . Gauss illustrerede sig selv ved at give en pæn løsning til $0,2 < e <0,95$ .

En generalisering af Barkers ligning er en serieudvidelse, der konvergerer hurtigere, da excentriciteten $e$ er tæt på 1, hvilket viser sig at være velegnet til tilfælde af kometer (denne serie gælder også for let hyperbolsk):

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S + (1-2 \ gamma) {\ frac {S ^ {3}} {3}} - \ gamma (2-3 \ gamma) {\ frac { S ^ {5}} {5}} + \ gamma ^ {2} (3-4 \ gamma) {\ frac {S ^ {7}} {7}} - \ ldots = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1} }}

hvis konvergensradius er: ${\ displaystyle | \ gamma | S ^ {2} <1}$

med $S = tan ( v / 2)$

{\ displaystyle n = {\ frac {k} {2}} {\ frac {\ sqrt {1 + e}} {q ^ {3/2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1-e} {1 + e}}}

$v$ er den sande anomali , $k$ den Gaussiske tyngdekonstant , $e$ og $q$ er henholdsvis excentriciteten og periapsis af kredsløbet, $t$ tiden og $t 0$ er øjeblikket for passagen til periastronen.

Når $e = 1$ , reduceres serien til Barker-ligningen.

Demonstration

Keplers første lov siger, at kredsløb er koniske sektioner (ellipser, paraboler eller hyperbola) med solen som deres fokus. Så kometen - solafstanden r og den sande anomali v er relateret til ligningen af en konisk sektion i polære koordinater:

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos v}}}$

hvor $p$ og $e$ er henholdsvis parameteren for konisk excentricitet.

Keplers anden lov (solkometsegmentet fejer lige store områder på lige tid) kan udtrykkes i betragtning af et uendeligt lille tidsinterval $d t$ :

${\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = h}$

hvor $h$ er en konstant, der kaldes området konstant .

Ved at kombinere disse to ligninger kan vi få $r til at$ forsvinde for at opnå forbindelsen mellem tid og den sande anomali, det vil sige en form for Keplers ligning, der gælder for enhver form for kredsløb.

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1 + e \ cos {v}}} \ right) ^ {2} dv = h ~ \ mathrm {d} t}$

enten ved at integrere mellem $t 0$ og $t$ :

${\ displaystyle {\ frac {h} {p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {v} {\ frac {1} {{(1 + e \ cos {x}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} x}$

ved at ændre integrationsvariablen $s = tan ( x / 2)$ og ved at indstille $S = tan ( v / 2)$ transformerer vi denne trigonometriske integral til en rationel funktionsintegral :

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s.}$

Den rationelle funktion kan integreres direkte for at opnå alle formerne for Kepler-ligningerne set ovenfor afhængigt af tegnet på $γ$ . Men ved at udvide den rationelle brøkdel til en heltal serie af $s$ , derefter ved at integrere denne serie udtryk for udtryk, opnår vi:

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s = \ int _ {0} ^ {S} 1+ \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) s ^ {2p} ~ \ mathrm {d} s = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}$

forholdet mellem parameteren for konisk og områdets konstante ,

${\ displaystyle p = a (1-e ^ {2}) = q (1 + e) = {\ frac {h ^ {2}} {G (m_ {1} + m_ {2})}} }$

gør det muligt at finde den søgte formel (ved at forsømme massen $m 2$ af kometen med hensyn til solens).

Numerisk beregning

Keplers ligning kan løses ved hjælp af en algoritme til at finde et nul for en funktion . Type metoder coaching, halveringsmetode , falsk position metode kræver en startramme , hvor roden er til stede. På grund af periodiciteten og pariteten af Keplers ligning er det altid muligt at reducere startintervallet til $[0, π]$ . Dette giver et udgangspunkt for disse metoder, men det er let at finde mere raffinerede.

Fremgangsmåderne ifølge den faste punkt type kræver et første estimat af roden, kimen af fremgangsmåden $E 0$ til, starte beregningerne: der er mange i litteraturen, er det lettest $E 0 = M$ .

Den enkleste fastpunktsmetode, den der bruges af Kepler, er:

{\ displaystyle E_ {0} = M ~}

{\ displaystyle E_ {n + 1} = M + e \ cdot \ sin E_ {n} {\ text {for}} n = 0,1 \ ldots}

konvergerer langsomt, når $e$ er tæt på 1. Det er derefter fordelagtigt at tilføje en konvergensaccelerationsalgoritme: Aitken's Delta-2 for eksempel eller Steffensens variant.

Keplers ligning egner sig særligt godt til algoritmer, der kræver beregning af høj successive derivater på grund af de krævede lave omkostninger ved maskinberegning. Ja :

{\ displaystyle f (E) = Ee \ cdot \ sin EM}

{\ displaystyle f '(E) = 1-e \ cdot \ cos E}

{\ displaystyle f '' (E) = e \ cdot \ sin E}

{\ displaystyle f '' '(E) = e \ cdot \ cos E}

De følgende derivater udledes cyklisk fra de foregående. De højere ordensvarianter af Newtons og Halleys metode er derfor meget effektive i dette tilfælde. Det skal bemærkes, at disse metoder i visse tilfælde kan have vanskeligheder med at konvergere ( $e$ tæt på 1 og $M$ tæt på 0). Det foretrækkes i disse zoner enten at foreslå en mindre grov startværdi (frø af Mikkola ( Seppo Mikkola ) eller Markley) eller at begrænse de iterative metoder til at tvinge dem til at konvergere (ændring af Hamming af metoden ifølge Newton), eller at bruge iterative metoder med mindre lokal konvergens ( Laguerre-metoden ).

Eksempel

Under sit sidste besøg i 1986 blev Halleys komet besøgt af Giotto-sonden . De nødvendige data til at bestemme kometens position under dette møde er:

dato for overgang til perihelium $t 0$ :9. februar 1986kl. 10:59:55 UTC
mødedato $t$ :14. marts 1986kl. 00:03:00 UTC, dvs. $t - t 0$ = 32,54328 dage
kredsløbets excentricitet $e$ : 0,96727426
afstand til periheliet $q$ : 0,58710224 eller den semi-store akse $a = q / (1- e ) = 17,940753$ og den gennemsnitlige bevægelse $n = k / a 1,5 = 0,0002263836 rad / dag$ .

Den gennemsnitlige anomali er værd $M = n ( t - t 0 ) = 0,0073673887 rad$

Keplers ligning at løse er:

{\ displaystyle E-0.96727426 \ sin (E) = 0.0073673887}

Startende fra $E 0 = M$ og ved hjælp af Newtons metode,

{\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ cdot \ sin E_ {n} -M} {1-e \ cdot \ cos E_ {n}}} }

vi finder successivt:

0,0073673887 0.2249486948 0.1929911041 0.1909186907 0.1909107985 0.1909107984

… (Følgende værdier er identiske) Vi udleder kometens positionsvinkel i sin bane (den sande anomali) $v = 1,2771772327 rad = 73,176865125 °$

Afstanden fra kometen fra solen beregnes med $r = a (1 - e cos ( E ))$ = 0,902374257 AU (lidt mindre end afstanden mellem jorden og solen)

Kometens hastighed er lig med 43,780 8 km / s ${\ displaystyle v = 42.1219 {\ sqrt {1 / r-1 / (2a)}}}$

Iterationerne går ikke altid så godt for kometer, som vist i grafen overfor. For excentriciteter ud over 0,97 er konvergens usikker med iterationer $E 0 = M$ som udgangspunkt . Andre mere præcise udgangspunkt gør det muligt at undgå denne faldgrube.

I tilfælde af kometer giver løsningen af den kvasi-parabolske generalisering af Barkers ligning to problemer:

den omtrentlige beregning af serien, der kan kræve et stort antal udtryk eller endda være umulig, hvis den adskiller sig. Det viser sig, at denne serie egner sig særligt godt til brugen af konvergensaccelerationsalgoritmer, især Aitken's ² eller Peter Wynn's e-algoritme , som ikke kun fremskynder konvergens, men udvider dens domæne. Af konvergens. I praksis opstår vanskelighederne, når kometen er meget langt fra sin periapsis (den har derefter været usynlig i lang tid), eller dens excentricitet adskiller sig især fra 1 (i dette tilfælde er det mere fornuftigt at løse den elliptiske eller hyperbolske Keplers ligning).
Løsning af selve ligningen. Denne kan udføres ved hjælp af metoderne af Newton-typen med:

{\ displaystyle F (S) = - n (t-t_ {0}) + S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ cdot (p- (p + 1) \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}

ved at bemærke, at derivatet blot udtrykkes:

{\ displaystyle F '(S) = {\ frac {1 + S ^ {2}} {{(1+ \ gamma \ cdot S ^ {2})} ^ {2}}}}

følgende derivater kan let udledes.

Vi kan vælge som startværdi af iterationen $S 0$ , opløsningen af den kubiske ligning opnås ved at fastholde de første termer (lidt forskellige fra Barker ligning), under anvendelse af Cardan fremgangsmåden

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S_ {0} + (1-2 \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {{S_ {0}} ^ {3}} {3}}.}

Nuværende forskning

Beregninger via symplektiske integratorer kræver altid at være på grænsen for antallet af decimaler til den laveste beregningsomkostning. Det afhænger meget af dubletten $( M , e )$ , $M$ mellem 0 og $π$ og af $e$ , især når denne sidste parameter er tæt på 1.

Nijenhuis (1991) vedtager metoden til Mikkola (1987), som er metoden for Newton i rækkefølge 4, ved at vælge "tilstrækkeligt" kimen $E 0 i$ henhold til dubletten $( M , e )$ .

Det er klart, at i numeriske beregninger er beregningsvolumenet vigtigt så meget som antallet af decimaler i betragtning af ustabiliteten af solsystemet evalueret ved en Liapunov-koefficient på $10 (t / 5 Myr)$ . Vi kommer op mod en eksponentiel mur: svært at gå længere end 25 Myr, selv med 128-bit behandling.

Det er disse beregninger (astronomiske ... men edb), der kører på maskinerne i IMCCE-Paris. Beregningen af det jordbaserede solskin ved 65 ° nordlig bredde, I (65, t) beregnes, og vi forsøger at udlede sammenhængen med det tidligere klima: den geologiske skala op til Neogenet (25 M år) i udledes (Gradstein 2004 geologisk skala). Næste planlagte trin: de 65 år gamle.

Videnskabshistorie

Før Kepler blev ligningen allerede undersøgt af andre grunde:

dette er problemet med at reducere de lokale koordinater til geocentriske koordinater: parallakskorrektionen skal reduceres. Habash al Hasib har allerede tacklet det.

Før 1700 var der allerede mange forsøg: Kepler naturligt, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665) ?), Wren (1658), Wallis (1659), Jeremiah Horrocks (1638) ...

Bemærkninger

(La) J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex observationibus GV Tychonis Brahe , The Warnock Library, 1609
(in) T. Barker (in) , en redegørelse for opdagelser, der vedrører kometer med vej til at finde deres baner og nogle forbedringer i konstruktion og beregning af deres pladser , London 1757
(i) RH Battin, Astronomisk Guidance , McGraw-Hill, New York, 1609, kap. 2
(in) K. Stumpff (de) , "Om implementering af spinorer til himmelmekanikens problemer" i tekniske noter NASA D-4447, New York, 1968, c. 2
J.-L. Lagrange, “Om Keplers problem”, i Memoirs of the Royal Academy of Sciences i Berlin , bind. 25, 1771, s. 204-233
(i) Peter Colwell, " Bessel-funktioner og Keplers ligning " , Amer. Matematik. Månedligt , vol. 99, nr . 1,Januar 1992, s. 45-48
A. Cauchy, "Memoir om forskellige analysepunkter", i Memoirs of the Royal Academy of Sciences (Paris) , bind. 8, 1829, s. 97-129 .
V. Puiseux, "Om konvergensen af serien, der vises i teorien om planetenes elliptiske bevægelse", i Journal of pure and applied mathematics , vol. 14, 1849, s. 33-39
(i) E. Halley, "Astronomiae cometicae synopsis" i Philosphical Transactions of the Royal Society , bind. 24, 1705, s. 1882-1899
(La) CF Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium , Hamburg, Perthes & Besser, 1809, s. 35-44 .
Minor Planet Circular 10634 (24. april 1986)
(in) "Orbital speed" i Wikipedia ,15. juni 2021( læs online )

Bibliografi

(en) Peter Colwell , der løser Keplers ligning i tre århundreder , Richmond, Va, Willmann-Bell,1993, 202 s. ( ISBN 978-0-943-39640-8 , OCLC 28724376 )
(en) John Brinkley , Trans Roy Irish Ac , vol. 7, 1803, s. 321-356
(en) Jean Meeus , astronomiske algoritmer , Richmond, Va, Willmann-Bell,1991, 429 s. ( ISBN 978-0-943-39635-4 , OCLC 24067389 )
(en) Albert Nijenhuis (de) , " Løsning af Keplers ligning med høj effektivitet og nøjagtighed " , Celest. Mech. Dyn. Astron. , Vol. 51,1991, s. 319-330 ( læs online )
(da) Seppo Mikkola , " En kubisk tilnærmelse til Keplers ligning " , Celest. Mech. Dyn. Astron. , Vol. 40,1987, s. 303–312 ( læs online )

Se også

Relaterede artikler

eksterne links

[OI] (in) " Keplers ligning " ["Kepler ligning"] autoritetsregistrering nr . 20110803100034177 af Oxford Index (OI) i databasen Oxford Reference fra Oxford University Press (OUP) .
(en) Artikelserie af Danby og Burkardt [1] [2]
(en) Algoritme og beregningsprogram af Odell og Gooding [3]
(fr) Gauss metode til løsning af Keplers ligning
Myndighedsregistreringer :