Vinkel

I geometri kan den generelle opfattelse af vinkel opdeles i flere begreber.

I sin gamle forstand er vinklen en plan figur, en del af planet afgrænset af to halvlinjer . Sådan taler vi om vinklerne på en polygon . Imidlertid er det nu almindeligt at bruge udtrykket "vinkelsektor" til en sådan figur. Vinklen kan også betegne en del af rummet afgrænset af to plan ( dihedral vinkel ). Måling af sådanne vinkler kaldes også almindeligt men forkert.

I en mere abstrakt forstand er vinklen en klasse af ækvivalens , det vil sige et sæt opnået ved at assimilere indbyrdes alle de vinkelfigurer, der kan identificeres ved isometri . Enhver af de identificerede figurer kaldes derefter vinkelrepræsentanten. Alle disse repræsentanter har samme mål, vi kan tale om et mål for den abstrakte vinkel.

Det er muligt at definere en forestilling om orienteret vinkel i planetens euklidiske geometri såvel som at udvide begrebet vinkel til rammen om prehilbertiske vektorrum eller Riemannian-manifolder .

Der er flere slags vinkler: retvinkel , akut vinkel og vinkel stump

Historie

Ordet vinkel stammer fra den latinske angulus , et ord der betyder "hjørnet". Ifølge matematikeren Carpos fra Antiochia er vinklen en størrelse og intervallet for de linjer eller overflader, der inkluderer den; dette hul er dimensioneret på én måde, og alligevel er vinklen ikke en linje for det.

Vinklen som en figur af planet eller af rummet

Vinkelsektor og vinkel

I flyet afgrænser to halvlinjer af samme oprindelse to regioner, kaldet vinkelsektorer .

Vi siger, at to vinkelsektorer definerer den samme vinkel, når de kan overlejres (mere formelt: vinkelsektorens vinkel er dens klasse af kongruens ). Vi taler traditionelt om geometrisk vinkel til denne forestilling om vinkel, men dette udtryk kan også i moderne terminologi betegne en lignende mindre fin forestilling ( se nedenfor ).

En vinkel siges at være fremtrædende, hvis de vinkelsektorer, der repræsenterer den, er konvekse , og genindtræder, hvis ikke.

Et par halvlinjer af samme oprindelse definerer derfor generelt to vinkler: den ene rager ud og den anden er tilbage (undtagelsesvis er den flade vinkels ).

I flyet kan vi tale om vinklen på to skæringslinjer. To sekantlinier skærer planet i 4 fremtrædende vinkelsektorer, svarende til to par vinkler modsat toppunktet. Modsatte vinkler er ens, og tilstødende vinkler er yderligere . Der er generelt to mulige værdier for disse vinkler. Vi vælger undertiden at favorisere den mindste vinkel, det vil sige den spidse eller rette vinkel.

Vinkelværdi

Mål for vinkelsektorens vinkel er det positive reelle tal, der måler andelen af ​​det plan, der er optaget af vinkelsektoren. De enheder, der anvendes til at kvantificere det er radian , den kvadrant og dens underafdelinger, den grad , dets underenheder og kvalitet . Vinkler er ofte betegnet med et lille græsk bogstav, for eksempel α, β, θ, ρ ... Når vinklen er øverst på en polygon, og der ikke er tvetydighed, bruges navnet på toppen, der er overvundet af en hat, for eksempel  .

For at evaluere denne vinkel, denne "overfladeproportion", tager vi en skive centreret ved skæringspunktet, og vi beregner forholdet mellem arealet af den del af skiven, der opfanges af vinkelsektoren, og det samlede areal af skiven . Vi kan vise, at dette også svarer til at skabe forholdet mellem længden af ​​den opfangede lysbue og cirkelens omkreds; denne værdi mindre end 1 kaldes antallet af drejninger . Værdien 1/4 (kvart omdrejning) svarer til kvadranten .

En almindeligt anvendt enhed er graden , som er resultatet af at opdele kvadranten i 90 lige store dele. Den fulde drejning svarer derfor til 360 grader. Minutens bue er et undermultipel af en grad svarende til 1/60 af en grad. Ligeledes er det andet af buen lig med 1/60 af minutets buetid eller 1/3600 af en grad. Karakteren bruges mere sjældent , hvilket svarer til en centesimal underinddeling af kvadranten.

Den internationale måleenhed for vinkler er dog radianen defineret som forholdet mellem længden af ​​den opfangede lysbue og cirkelens radius. Den fulde revolution svarer derfor til radianer.

Vinkler kan beregnes ud fra sidelængderne af polygoner , især trekanter , ved hjælp af trigonometri .

Måleenheden for vinkler, der primært bruges af militæret, er tusindedel . Det er den vinkel, hvor vi ser 1 meter til 1 kilometer. 6283 tusindedele svarer til 2π radianer eller 360 grader eller 360 ° / arctan (1  m / 1000  m ). Med andre ord, tusindedel = mrad (milliradian).

"I marken" kan vinkler måles med en enhed kaldet et goniometer  ; det omfatter generelt en buet lineal gradueret i grader, kaldet gradskive .

I datalogi kan 1/16 af en grad bruges, eller 5760 til 360 °.

Navn på vinkler

Vinkler svarende til et heltal kvadranter har et specielt navn. Følgende tabel repræsenterer værdierne for de bestemte vinkler i de forskellige enheder.

Vinkel Repræsentation Antal sving Antal kvadranter Radianer Grad karakter
Fuld vinkel Angolo giro.png 1 omgang 4 kvadranter 2π rad 360 ° 400 gr
Flad vinkel Angolo piatto.png 1/2 omgang 2 kvadranter π rad 180 ° 200 gr
Ret vinkel Right angle.svg 1/4 omdrejning 1 kvadrant π / 2  rad 90 ° 100 gr
Nul vinkel Vinkel tom1.svg 0 runde 0 kvadrant 0  rad 0 ° 0 gr

Den rigtige vinkel opnås ved at overveje to linjer, der deler planet i fire lige store sektorer. Sådanne linjer siges at være ortogonale eller vinkelrette.

Vinklen forveksles ofte med dens mål. Således er f.eks. En flad vinkel fejlagtigt sagt "lig med 180 °. Dette misbrug praktiseres bredt i resten af ​​denne artikel.

Følgende kvalifikationer bruges til vinkler, der tager mellemliggende værdier mellem disse bemærkelsesværdige værdier:

For at kvalificere de relative værdier for to vinkler bruger vi følgende udtryk:

Vi bruger stadig andre udtryk til at kvalificere vinklenes position på en figur, det vil sige mere præcist, den relative position af vinkelsektorer:

Bemærk, to komplementære eller yderligere vinkler er ikke nødvendigvis tilstødende: F.eks. I en retvinklet trekant ABE ved B er vinklerne  og Ê komplementære.

I forlængelse heraf definerer vi også vinklerne mellem halvlinjer, linjesegmenter og vektorer ved at udvide linjerne, der bærer disse objekter op til deres skæringspunkt. Definitionen med halvlinier eller vektorer gør det muligt at fjerne ubestemmelighed mellem de yderligere vinkler, det vil sige at definere uden tvetydighed, hvilken vinkelsektor der skal bruges til at definere retningenes hældning.

Geometrisk vinkel

En geometrisk vinkel er i den nuværende terminologi ækvivalensklassen for et par halvlinjer af samme oprindelse, idet to sådanne par betragtes som ækvivalente, hvis de er overlejrede .

Hvis man bemærker den geometriske vinkel, der er knyttet til paret med halvlinjer , har man (ved symmetri sammenlignet med halveringslinjen ) : det vil sige, at denne vinkel kun afhænger af parret .

Den fremtrædende vinkel og den nye indgangsvinkel forbundet med et sådant par ( se ovenfor ) svarer derfor til denne nye terminologi til den samme "geometriske vinkel", hvis foretrukne repræsentant er den fremtrædende vinkel (målt mellem 0 og 180 ° ).

Det kan fortolkes på flere måder: divergens mellem to retninger, retninger af et objekt (hjørne), retning rettet mod nord (vinkel givet af et kompas) ... Vinklen kan også fortolkes som åbningen af vinkelsektoren. Det er mål for hældningen af ​​den ene halvlinie i forhold til den anden.

Hvis en oversættelse forvandler i og i , ændrer det ikke den geometriske vinkel: . Vi kan derfor definere den geometriske vinkel for to ikke-nul- vektorer og som vinklen mellem to halvlinjer rettet af disse to vektorer og af vilkårlig fælles oprindelse. Eller igen: to par og ikke-nul-vektorer er ækvivalente (repræsenterer den samme geometriske vinkel), hvis der er en vektorisometri, der transformerer enhedsvektorerne og ind i og . (Vi definerer således et ækvivalensforhold mellem par, fordi vektorisometrierne danner en gruppe .)

Vinkler orienteret i planet

En multipel tilgang

Præsentationen af ​​orienterede vinkler i et plan kan ske på en intuitiv eller mere formalistisk måde.

Den første tilgang består i at se vinklen som spor af en rotation: den rotation, der sender halvlinjen (Ox) på halvlinjen (Oy) er generelt forskellig fra den, der sender (Oy) på (Ox). Vinklerne (Ox, Oy) og (Oy, Ox) betragtes derefter som forskellige, hvilket indikerer, at de har samme mål, men forskellige retninger.

En anden tilgang består i at forveksle den orienterede vinkel og dens mål. Denne tilgang kræver, at der defineres en forudgående orientering af planen for at kunne definere den såkaldte positive betydning . Det er denne type tilgang, som vi finder, når vi definerer målingen af ​​den orienterede vinkel på et par enhedsvektorer ved hjælp af længden af ​​den orienterede cirkelbue, som den bestemmer på en enhedscirkel.

Den sidste, mere formaliserede tilgang består i at se en orienteret vinkel som en klasse af ækvivalens af par af vektorhalvlinjer modulo planrotationerne, eller hvad der svarer til den samme ting, som baner af par af vektorhalvlinier ved gruppeaktionen af positive isometrier.

Derefter præsenteres fremgangsmåderne i længderne af buer af cirkler og som ækvivalensklasser. Ved at bruge de samme teknikker som ovenfor svarer det til den samme ting, når vi taler om vinkler, at betragte to halvlinjer af samme oprindelse, to ikke-nul-vektorer eller to enhedsvektorer. Vi begrænser derfor diskussionen til sidstnævnte sag.

Orienterede cirkelbuer

I en cirkel med centrum O og radius 1 definerer vi en såkaldt positiv kørselsretning , generelt mod urets retning, kaldet trigonometrisk retning. Hvis A og B er to punkter i cirklen, kalder vi længden af ​​den orienterede bue AB, længden af ​​en hvilken som helst rute på cirklen, der starter fra A og ankommer til B. Der er flere mulige ruter bestående af tilføjelse af komplette drejninger af den tilbagelagte cirkel i den positive retning eller i den negative retning. Når en længde a er kendt, har de øvrige længder af den orienterede lysbue al form a + 2 k π hvor k er et hvilket som helst relativt heltal. Længden, der svarer til den korteste vej at komme fra A til B, kaldes hovedmålingen for buen AB (hvis der er to mulige stier, vælger vi den positive måling). Hovedmål er derfor et tal, der hører til intervallet] -π, π].

Lad og være to enhedsvektorer, og A og B punkterne således, at og vi kalder mål for den orienterede vinkel enhver længde af den orienterede lysbue AB. Vinklens hovedmål har derfor som en absolut værdi måling af den geometriske vinkel . Tegnet på denne hovedmåling er positivt, hvis den korteste vej fra A til B er i direkte retning, er den ellers negativ. To par vektorer med samme mål definerer den samme orienterede vinkel.

I denne tilgang er det nødvendigt, at "viklingen" af den virkelige linje på cirklen opfattes som naturlig, en vikling, der stadig skal formaliseres.

Rettede vinkler af vektorer efter ækvivalensklasse

Flyet har følgende ejendommelighed sammenlignet med de højere dimensioner : vi kan forfine kongruensforholdet defineret for den geometriske vinkel på en sådan måde, at parene og ikke mere repræsenterer den samme vinkel generelt. For dette undgår man at involvere refleksionerne blandt de isometrier, der er autoriserede til at definere et nyt forhold mellem parene, det vil sige, at man begrænser sig til undergruppen af rotationer af vektorplanet (i dimension 3 for eksempel ville denne begrænsning mislykkes fordi de to par transformeres fra hinanden ikke kun ved refleksion i forhold til bisectorplanet, men også ved en rotation på en halv omgang). Dette fører til følgende definition:

En orienteret vinkel på vektorer er en ækvivalensklasse

(Vi dispenserer nu med de traditionelle pile på vektorer.)

To par (u, v) og (u ', v') af enhedsvektorer i planet repræsenterer den samme orienterede vinkel, hvis der er en rotation g således, at u '= g (u) og v' = g (v).

Ved forkert forveksling af et par og den orienterede vinkel, som det repræsenterer, har vi for eksempel: (–u, –v) = (u, v) ved halv drejning g = - Id .

Denne nye ækvivalensrelation er finere end den, der definerer de geometriske vinkler. Mere præcist, som en ækvivalensklasse, er den geometriske vinkel foreningen af ​​de to orienterede vinkler og .

Hver orienteret vinkel svarer til en rotation

Givet to enhedsvektorer er der en enkelt rotation af planet, der sender den første til den anden.

Denne unikhed gør det muligt at definere en applikation, som til parret (u, v) af enhedsvektorer associerer rotation f således, at f (u) = v.

Dette kort T: (u, v) ↦ f, fra vektorerne til rotationerne, "  overgår til kvotienten  " og definerer således en sammenhæng S fra vinklerne rettet mod rotationerne. Ja :

Sætning  -  (u, v) og (u ', v') repræsenterer den samme orienterede vinkel, hvis og kun hvis den rotation, der sender u på v, er den samme som den, der sender u 'på v'.

Dette skyldes det faktum, at gruppen af ​​rotationer af vektorplanet er abelsk .

Demonstration

Per definition repræsenterer (u, v) og (u ', v') den samme orienterede vinkel, hvis og kun hvis den rotation, der sender u på u ', er den samme som den, der sender v på v', med andre ord: T (u, u ') = T (v, v'). Ved kommutativitet af rotationsgruppen svarer dette til T (u ', v) ∘T (u, u') = T (v, v ') ∘T (u', v), dvs. T (u, v) = T (u ', v').

De orienterede vinkler af vektorer danner en gruppe

Ved at bruge denne bijection S, kan vi derefter ”kort” den  abelsk gruppe struktur (en) i gruppen af rotationer på sættet af vinkler, dvs. definere tilsætningen af vinklerne fra sammensætningen af drejningerne ved indstilling:

.
  • Med denne tilføjelse danner de orienterede vinkler af vektorer en abelsk gruppe.
  • Med T (u, v) ∘ T (v, w) = T (u, w) får vi for vinklerne Chasles-forholdet (u, v) + (v, w) = (u, w).
  • Nulvinklen svarer til identiteten: (u, u) = 0.
  • (v, u) + (u, v) = (v, v) = 0 og derfor er (v, u) det modsatte af (u, v) (jf. figur ovenfor).
  • Enhver vinkel kan deles med n på n måder. For eksempel for n = 2:
    • de to vinkler, hvis dobbelte er nulvinklen (u, u) er den flade vinkel (u, –u) og nulvinklen;
    • der er to rette vinkler, løsninger på 2 (u, v) = (u, –u).
Effekt af isometrier på orienterede vinkler af vektorer
  • Direkte isometrier (rotationer) bevarer pr. Definition orienterede vinkler af vektorer.
  • Indirekte isometrier (refleksioner) omdanner enhver orienteret vinkel på vektorer til den modsatte vinkel, for en linie D kan en vinkel altid repræsenteres af et par (u, v), hvoraf D er den halverede del, og aksereflektion D derefter udveksler u og v.
Nå, næsten et reelt mål for vinkler

Vi vil definere et mål på de orienterede vinkler, så målingen af ​​summen er lig med summen af ​​målene (for geometriske vinkler kunne vi delvist definere en tilføjelse af vinklerne og de tilsvarende mål: kun for "ikke for store "vinkler).

Valget af en af ​​de to mulige orienteringer af planet bestemmer en af ​​de to isomorfier af rotationsgruppen med gruppen SO (2) i matricerne for planrotationer eller med gruppen U af de komplekse tal af modul 1 . Den komplekse eksponentielle gør det derefter muligt at definere mål for vinklen på en rotation inden for 2π eller "modulo 2π" (i radianer). Hvis θ er et mål for rotationsvinklen f = T (u, v), vil vi sige, at θ også er et mål for den orienterede vinkel af vektorer (u, v).

For eksempel bemærkes målingen for den rigtige vinkel i direkte retning:

eller

.

Sammenfattende er en orientering af det plan, der vælges, målingen af ​​en orienteret vektorvinkel defineret af:

,

hvor matricen er den for T (u, v) på en hvilken som helst direkte ortonormal basis .

Det er en isomorfisme af gruppen af ​​orienterede vinkler i additivgruppen "reel modulo 2π" . Således er målingen af ​​vinkler endelig additiv.

Husk dog, at det afhænger af et valg af orientering af skuddet  : at vende dette valg ændrer alle foranstaltninger til deres modsætninger . Vi finder her det faktum, at en geometrisk vinkel, af mål α mellem 0 og π, svarer til to modsatte orienterede vinkler, tilskrivningen (modulo 2π) af målingen α til den ene og derfor –α til den anden er en funktion af orienteringen af flyet.

Derudover påpeger Daniel Perrin og Jean Dieudonné, at vi ikke kan tale strengt om måling, fordi ingen sammenligning mellem to vinkelmålinger er mulig.

Orienteret vinkel på to linjer

I et plan er den orienterede vinkel på to linjer modulo π-klassen af ​​den orienterede vinkel dannet af deres retningsvektorer. Dette modulo π-arbejde kommer fra det faktum, at vi kan tage som en retningsvektor for en lige linje u eller -u, og at ændring af en vektor til dens modsatte svarer til at tilføje π til målet for den tilsvarende vinkel.

Linieorienterede vinkler bruges til at bestemme vinklen på en rotation, der består af to refleksioner. Denne forestilling er også nyttig til alle problemer med tilpasning og cyklisme.

Vinkler i rummet

To skæringslinjer er nødvendigvis i samme plan, så vinklen mellem linjerne er defineret i dette plan på samme måde som ovenfor.

I rummet er der ingen forestilling om en orienteret linjevinkel, men vi kan definere vinklen på to linier i rummet, secant eller ej, forudsat at vi arbejder på deres retningsvektorer. Vinklen på to linjer kaldes den geometriske vinkel dannet af deres retningsvektorer. Der er generelt to mulige værdier for denne vinkel afhængigt af de valgte retningsvektorer. Nogle gange foretrækkes den mindste vinkel. Således er vinklen mellem to parallelle linjer nul, og den mellem to ortogonale linjer er 90 ° eller π / 2 rad.

Vinklen på to linjer med retningsvektorer u og v kan bestemmes ved hjælp af det skalære produkt: det er den vinkel, som cosinus er .

Vi kan også overveje den nærliggende forestilling om vinkel på to akser, hvor aksernes orientering pålægger en enkelt værdi på den vinkel, de danner.

For at definere vinklen mellem to plan eller dihedral vinkel betragter vi vinklen, der er lavet af deres normaler .

For at definere vinklen mellem et plan og en linje overvejer vi vinklen α mellem linjen og dens ortogonale fremspring på planet eller den komplementære vinkel mellem linjen og det normale til planet: vi trækker vinklen β mellem linjen og det normale i forhold til planet for den rette vinkel (α = π / 2 - β i radianer).

Vi definerer også de faste vinkler  : vi tager et punkt (undertiden kaldet "observationspunkt") og en overflade i rummet (den "observerede overflade"), den faste vinkel er den del af rummet, der er afgrænset af keglen med det betragtede punkt for toppunktet og hviler på overfladen. Den faste vinkel måles ved at beregne det areal af hætten, der er skåret af keglen på kuglen med radius en, og centrere toppen af ​​keglen. Måleenheden for solid vinkel er steradianen (forkortet sr), det fulde rum er 4π sr.

Brug af vinkler

  • I geodesi ( geografi ):
    • azimut  : vinkel i forhold til nord-syd aksen på et plan indeholdende denne akse og målpunktet, talt i forhold til nord talt i retning mod uret;
    • breddegrad  : vinkel lavet af en lodret start fra et punkt og går til midten af jorden i forhold til ækvatorplanet; punkterne med samme breddegrad danner en såkaldt "parallel" cirkel;
    • længdegrad  : vinkel, der gør det muligt at lokalisere sig på Jorden: vinkel dannet af planet, der indeholder nord-syd aksen og det betragtede punkt, kaldet "meridianplanet", med et referenceplan, der også indeholder nord-syd aksen; skæringspunktet mellem et meridianplan og jordens overflade er en halvcirkel kaldet meridianen . Reference meridianen er " Greenwich meridianen ";
    • højdelinje  : position for et beregnet punkt inklusive azimut og vinkelforskel i forhold til et estimeret punkt
    • hældning  : tangens af terrænets vinkel i forhold til vandret.
  • I astronomi  :
    • azimut (eller azimut): når man sigter mod et punkt fra midten af ​​jorden, vinkles i forhold til nord-syd aksen på et plan, der indeholder denne akse og målpunktet, talt med hensyn til syd;
    • tilsyneladende diameter  : vinkel, hvor vi ser et objekt eller en stjerne;
    • zenithal afstand  : vinkel mellem lodret og målpunkt;
    • højde  : vinkel mellem det vandrette og målpunktet
    • hældning  : vinkel mellem planet for himmellegemets bane og referenceplan
    • parallaks  : vinkel dannet af blikket fra en person, der fikser et punkt i et objekt og dets ændring af position;
    • nadir  : ret vinkel lodret ned til observatørens horisont;
    • zenith  : ret vinkel opad lodret til observatørens horisont.
Desuden gør begrebet vinkel det muligt at definere en længdeenhed, parsec .

Noter og referencer

  1. Matematik , CEPL, koll.  "Encyclopedier af moderne viden",1975( læs online ) , s.  154.
  2. Nadine Jacob, Claude Courivaud, Matematik. For det tredje Brevet Sequence, Bréal, s. 200
  3. Dany-Jack Mercier, AGA Upgrade: Balanced Review of Algebra, Geometry and Arithmetic Themes , vol.  1,2011( læs online ) , s.  242.
  4. Matematik CRPE , bind.  2, Dunod,2017( læs online ) , s.  51.
  5. Michèle Audin , Geometry ( L3 M1) , Les Ulis, EDP ​​Sciences ,2006, 3 e  ed. , 420  s. ( ISBN  978-2-86883-883-4 , varsel BNF n o  FRBNF40151336 , læse online ) , s.  79-80.
  6. Denne præsentation er, at man finder for eksempel i fransk undervisning i fjerde klasse i 1988 IREM Strasbourg, Matematik - 4. -collectinn Istra, s. 236)
  7. Dette er den fremgangsmåde, som Daniel Perrin foreslår i A propos d'angles orienteret , s.2.
  8. Denne præsentation er den, vi f.eks. Finder i franskundervisning i anden klasse i 1994 (Terracher Collection, Math - Seconde - Hachette-uddannelse, s.189)
  9. Marcel Berger, Géométrie T.2 Euklidiske rum, trekanter, cirkler og sfærer, Cedic Fernand Nathan, 1977, s. 42
  10. GEPS for matematik, ledsagedokument 1er S, 08-01-2001, s. 7/30
  11. Medmindre det er den flade vinkel eller nulvinklen .
  12. Audin 2006 , s.  73-74.
  13. Audin 2006 , s.  75.
  14. Audin 2006 , s.  76.
  15. Daniel Perrin, Om orienterede vinkler , s.4.
  16. Marie-Claude Davis, Frédéric Haglund og Daniel Perrin, euklidisk affin geometri , Capes 2009-2010, Université Paris sud Orsay, s. 27-28.
  17. "Vinkel med to linjer" arkGeometri og teori om algoritmer på universitetet i Liège
  18. Collective (dir. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) ( oversat  under ledelse af Jacques-Louis Lions, professor ved College de France), Lille encyklopædi for matematik [“Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Paris, Didier ,1997( 1 st  ed. 1980), 896  s. ( ISBN  978-2-278-03526-7 ) , s.  585.
  19. Vi antager her, at Jorden er sfærisk, hvilket ikke er helt sandt: dens generelle form er let fladt ved de to poler, og dens overflade præsenterer asperiteter (havgrøfter, bjerge).

Se også

Relaterede artikler

eksterne links

  • (en) "  Vinkler  " , om Math Open Reference
  • (en) David A. Wallis, "Historien om vinkelmåling" , i Proceedings, FIG Workshop Week 2005 & 8. internationale konference om global rumlig datainfrastruktur , Cairo ,April 2005( læs online )

Bibliografi

  • Gilles Cohen (dir.), Les angles sous tous les angles , Bibliothèque Tangente, nummer 53, Editions Pôle Paris, 2015, (Online præsentation) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">