Ortonormal base

I vektorgeometri er et ortonormalt grundlag eller ortonormalt grundlag ( BON ) for et euklidisk eller hermitisk rum et grundlag for dette vektorrum, der består af vektorer i norm 1 og ortogonalt to og to. På en sådan basis er koordinaterne for en hvilken som helst vektor i rummet lig med de respektive prikprodukter af den pågældende vektor af hver af basisvektorerne, og prikproduktet af en hvilken som helst to vektorer har et kanonisk udtryk som en funktion af deres koordinater.

Definitioner

I et prehilbertisk rum E (dvs. et reelt eller komplekst vektorrum forsynet med et skalarprodukt ) siges en familie ( v i ) i ∈ I af vektorer at være ortogonale, hvis disse vektorer er ortogonale parvis:

En sådan familie siges at være ortonormal, hvis alle disse vektorer desuden er ensartede  :

I sammendrag, en familie ( v i ) i ∈ I er orthonormal hvis ∀ i , j ∈ jeg ⟨ v i , v j ⟩ = δ i , j .

Enhver ortogonal familie dannet af ikke-nul-vektorer er gratis .

En ortonormal familie er derfor gratis. Det kaldes ortonormalbasis af E , hvis det er mere generator af E , dvs hvis det er en grundlæggende E .

Hvis prehilbert space E er euklidisk eller Hermitisk , det vil sige, hvis det er af begrænset dimension , en ortonormal familie er en base, hvis og kun hvis det indeholder n vektorer, hvor n er dimensionen af E .

I resten af ​​artiklen betegner E n et euklidisk rum med dimension n .

Ortonormalt (eller ortonormalt) vartegn

Lad A n være en affin euklidisk rum er forbundet med den euklidiske vektorrum E n og O be ethvert punkt af A n , derefter en affin referenceramme

siges at være ortonormal, hvis dens tilknyttede base i sig selv er ortonormal.

I geometri i rummet

I geometri i rummet bemærkes basen generelt i stedet for .

Hvis grundlaget er direkte , så er krydsproduktet af og af (det vil sige ).

Ejendomme

Eksistensen af ​​ortonormale baser

Fra ethvert grundlag for et euklidisk rum tilvejebringer Gram-Schmidt-metoden en konstruktiv metode til at opnå et ortonormalt grundlag for dette rum. Vi kan især sige:

I ethvert ikke-nul-dimensionelt euklidisk rum findes der ortonormale baser.

Ved at anvende dette resultat til den ortogonale af rummet genereret af en ortonormal familie af p vektorer af E n , vi etablere den ufuldstændige ortonormalbasis teorem:

Enhver ortonormal familie af vektorer i et euklidisk rum kan udfyldes på en ortonormal basis af dette rum.

Eksistensen af ​​ortonormale baser gør det muligt at fastslå, at uendeligheden af ​​euklidiske strukturer, som et vektorrum kan tilvejebringes med - med forskellige forestillinger om ortogonalitet - alle er isomorfe over for hinanden.

Beregninger på en ortonormal basis

Lade være en ortonormalbasis af E n .

Dekomponeringen af en vektor af E n i dette grundlag er givet ved:

.

Ekspressionen af skalarproduktet af to vektorer af E n er da givet ved:

.

Ekspressionen af kvadratet af normen af en vektor af E n er derfor:

.

Disse tre egenskaber er i virkeligheden svarer til hinanden, og svarer til det faktum, at familien er en ortonormalbasis af E n .

Den 1- lipschitziske karakter af en ortogonal projektor gør det muligt at udlede deraf Bessels ulighed , som inkluderer en generalisering til en uendelig ortonormal familie.

Ændring af ortonormalt grundlag

Hvis er en ortonormalbasis og enhver familie af E n , derefter

er en ortonormal basis, hvis og kun hvis matrixen til familien i basen er ortogonal.

Endomorfismerne, som omdanner en ortonormal basis til en ortonormal basis, er derfor ortogonale automorfismer .

Noter og referencer

  1. Gérard Debeaumarché, Francis Dorra og Max Hochart, Mathematics PSI-PSI *: Komplet kursus med prøver, øvelser og korrigerede problemer , Pearson , coll.  "Cap Prépa",2010( læs online ) , s.  113-114.
  2. Steeve Sarfati og Matthias Fegyvères, Matematik: metoder, know-how og tip , Bréal , coll.  "Optimal matematik",1997( læs online ) , s.  129-130, for en endelig familie med et ægte præhilbertisk rum.
  3. Jean Dieudonné , “Grupper: Algebra, analyse, geometri” , i ordbog over matematik , algebra, analyse, geometri , Albin Michel & Encyclopædia Universalis ,2002, 924  s. ( ISBN  2-226-09423-7 ) , s.  534.

Relaterede artikler