En grad , som regel repræsenteret af ° (gradssymbolet), er et mål for en plan vinkel , der repræsenterer 1/360 af en fuld drejning ; en grad svarer også til π / 180 radianer . Når denne vinkel vedrører en referencemeridian, angiver den en placering langs en stor cirkel af en sfære, såsom Jorden (se Geografiske koordinater ), Mars eller himmelsfæren . Forholdet mellem 365,25 (gennemsnitligt antal dage af Jordens rotation omkring Solen ) og 360 ° (fuld omdrejning) giver os mulighed for at etablere følgende tilnærmelse: "Jorden drejer omkring en grad omkring solen hver dag".
Graden, opdelt i minutter og sekunder, som er tresindstyve, kommer fra babylonierne , der tællede i base 60 (sexagesimal) ligesom kineserne, der for mere end 4.700 år siden ifølge den kinesiske kalender allerede brugte 60 i ifølge deres astronomi og astrologi. For kineserne svarer 60 til en grundlæggende tidscyklus. Persiske matematikere forfulgte og målte himmel- og jordvinkler på samme måde. Måling af tid på denne måde, direkte afledt af astronomiske vinkler, skyldtes den.
Der er givet flere forklaringer på oprindelsen af 360 ° -skæringen.
Som det år, hvor Jorden kredser den Solen varer 365 dage, hver nat stjernerne roterer en brøkdel af en omgang (ca. 1/365) i forhold til aksen. Da tidsmålingen ikke nødvendigvis var præcis i sine tidlige dage, var den babyloniske kalender baseret på et år på 360 dage fordelt på 12 måneder på 30 dage, som vist i Mul Apin- tabletten . Det er muligt, at graden blev defineret som brøkdelen af forskydningsvinklen mellem en natts himmel og den følgende nat på samme tid (jf. Kosmologi ), hvor stjernerne således bevæger sig omkring 30 ° mellem to på hinanden følgende måner . Denne definition måtte imidlertid være omtrentligt inden for 1 eller 2%.
Den almindelige forklaring er, at den oprindelige nytte af 360 ° i sexagesimal-systemet er at lette beregningen af brøker (og multiplikationer). Faktisk er 360 det multiplum af 1, 2, 3 og 5, det divideres med disse tal såvel som med deres multipler 6, 8, 9, 10, 12, 15 osv. og alle deres kombinationer, hvilket forenkler de fleste beregninger og konverteringer.
ikke | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 15/2 | 8 | 9 | 10 | 45/4 | 12 | 15 | 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
360 ° / n | 180 | 120 | 90 | 72 | 60 | 48 | 45 | 40 | 36 | 32 | 30 | 24 | 20 |
60 'eller "/ n | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 | 8 | 7.5 | 6. 666 | 6 | 5. 333 | 5 | 4 | 3. 333 |
ikke | 2/9 | 1/4 | 4/15 | 3/10 | 1/3 | 3/8 | 2/5 | 5/12 | 4/9 | 7/15 | 8/15 | 5/9 | 7/12 | 3/5 | 5/8 | 2/3 | 7/10 | 11/15 | 3/4 | 7/9 | 4/5 | 5/6 | 7/8 | 8/9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n. 360 ° | 80 | 90 | 96 | 108 | 120 | 135 | 144 | 150 | 160 | 168 | 192 | 200 | 210 | 216 | 225 | 240 | 252 | 264 | 270 | 280 | 288 | 300 | 315 | 320 |
Endelig, da 360 ° er lig med 0 °, ender vi med at beregne i modulo 360, når vi taler i grader. Beregningerne kan ofte udføres i de lavere moduler, der er multiplikatorerne på 360. Når det er enklest, er syv halvdrejninger værd en halv omgang. I matematisk sprog: 7 ≡ 1 (mod 2), syv er kongruent til en, modulo to; og 7 × 180 ° = 1260 ° ≡ 180 ° (mod 360 °). I praksis er vi tilfredse med at sige "syv gange hundredeogfirs grader er lig med hundrede og firs grader" . Tilsvarende 120 ° + 270 ° = 390 ° ≡ 30 ° (mod 360 °).
Men virkeligheden om oprindelsen af 360 grader er sandsynligvis anderledes. Den enkleste geometriske figur er ikke cirklen, men den ligesidede trekant med sine tre sider og tre lige store vinkler. Det ser ud til, at sumererne, for at definere graden af vinkel, tog vinklen på den ligesidede trekant som reference, og at de ved anvendelse af deres kønssimale base delte den i 60 grader, derefter graden i 60 minutters vinkel, derefter minut på 60 vinkelsekunder.
Summen af vinklerne i en trekant er lig med en flad vinkel (eller to retvinkler), det følger, at den flade vinkel, som derfor er lig med 3 vinkler i en ligesidet trekant, er værd 60 × 3 = 180 grader, at den rette vinkel, som er halvdelen af den, er lig med 90 grader, og at den fulde drejning, der er lig med to flade vinkler, derfor er 360 grader. Graden vil hellere den 60 th del af en ligesidet trekant vinkel (vinkel reference), og det ville kun konsekvens af denne definition, at en hel omgang ville måle 360 grader.
Desuden skylder det faktum, at 360 er et tal, der kan deles med mange heltal, intet til tilfældighederne. Det skylder selve oprindelsen af det sexagesimale system, der bruges af sumerne, derefter af babylonierne, baseret på en beregningsmetode på falangerne (som stadig ville være i brug i Vietnam). Disse folk tællede deres falanger med tommelfingrene på den ene hånd; tommelfingeren ruller over de tre phalanges af de andre fire fingre, dvs. tolv phalanges: vi tæller således fra 1 til tolv, deraf den oprindelige base 12, et tal, der vises under andre omstændigheder: de 12 apostle, de 12 repræsentanter for de 12 stammer af Israel, de 12 timer på dagen og de 12 timer på natten osv. Derefter bruges fingrene på den anden hånd til begrænsningerne. Tommelfingeren tæller i modsætning til en af de andre fire fingre fra 1 til 4 dusin. Med begge hænder kan vi tælle op til 5 × 12 = 60.
Nummeret 360 er derfor resultatet af multiplikationen af 3 falanger × 4 fingre på den ene hånd × 5 dusin × 6 referencevinkler for en fuldstændig drejning af en cirkel. Det faktum, at der er 360 grader i en cirkel, vises således både på grund af det store antal delere på 360 og som et resultat af en ensartet beregning. Trekanten kan også fremkalde astronomi i det gamle Egypten gennem sin stjernetegn Dendérah eller de flere grave med det astronomiske loft, især den for graven TT353 af Sénènmout, der vidste, at en dag tæller 24 timer.
Bue-graden (symbol ° ) er en praktisk enhed af plan vinkel . En grad er π / 180 radianer , 10/9 karakterer eller 160/9 mils eller 1/360 af en fuld drejning.
Bue-graden gør det muligt at måle vinklerne på en fem-spids stjerne (36 °) og vinklerne på en seks-pegede stjerne (60 °) med heltal - to figurer fra flere årtusinder - såvel som de vinkler, de form med deres kryds, og vinklerne dannes ved tilføjelse eller sletning af vinkler.
Selvom det ikke er en enhed i det internationale system (SI), accepteres dets anvendelse sammen med det . Den præfikser SI anvendes kun sjældent til symbolerne i den buegrad og dets underinddelinger (kun den anden af bue , faktisk); disse symboler er også de eneste, der ikke adskilles fra tallet foran dem med et mellemrum: man skal skrive “ 12 ° 30 ′ ” og ikke “ 12 ° 30 ′ ”.
I positionelle astronomi , den firkantede grad anvendes til at måle en rumvinkel på himmelkuglen . En kvadratgrad er steradian .
En grad er opdelt i 60 bueminutter (symbol ′ ), som igen er opdelt i 60 buesekunder (symbol ″ ).
Vi bruger også ofte decimaltegningen: Vi vil notere både “12,5 °” og “12 ° 30 ′” eller endda “48.59039 °” som “48 ° 35'25.4” ”. Præferencen afhænger her af beregningen og / eller målingen værktøj.
De trigonometriske funktioner er uafhængige af den valgte vinkelenhed. Men i analyse defineres funktionerne af de værdier, der tages af funktionerne for variabler udtrykt i radianer.
For en målevinkel d ° , udtrykt i grader, har vi derfor sin ( d °) = sin ( d ×π180) , og det samme for de andre trigonometriske funktioner .
I astronomi eller optik bruger vi tilnærmelsen til lave vinkler (mindre end 5 °).
Sinus og tangens af en lille vinkel er næsten lig med dens værdi i radianer .