I matematik gør en funktion det muligt at definere et resultat (oftest numerisk ) for hver værdi af et sæt kaldet domæne . Dette resultat kan opnås ved en række aritmetiske beregninger eller ved en liste over værdier, især i tilfælde af fysiske målinger eller igen ved andre metoder såsom at løse ligninger eller krydse grænsen . Den faktiske beregning af resultatet eller dets tilnærmelse kan være baseret på udviklingen af en computerfunktion .
I skoleuddannelsen vedrører udtrykket "funktion" specifikt de reelle funktioner i en reel variabel . Talrige såkaldte sædvanlige funktioner defineres således som affine funktioner , kvadratroden eller den eksponentielle og kan kombineres ved hjælp af aritmetiske operationer, komposition eller stykkevis definition.
Disse funktioner tilfredsstiller forskellige egenskaber relateret til regelmæssighed, variationer, integrerbarhed ...
I sætteori er en funktion eller anvendelse et forhold mellem to sæt, for hvilket hvert element i det første er relateret til et enkelt element i det andet. Nogle gange skelner vi begrebet funktion ved at svække tilstanden som følger: hvert element i det første sæt er relateret til højst et element i det andet.
I typeteori er en funktion en beskrivelse af metoden for at opnå resultatet fra dens parametre. Med andre ord er en funktion algoritmen, der gør det muligt at beregne den.
Udtrykket funktion bruges undertiden til udvidelser af konceptet, såsom klasser af p- integrerbare funktioner eller distributioner såsom Dirac-funktionen .
Som standard, en funktion er ofte noteret eller , og om der er behov andre funktionstaster notationer inden for samme ræsonnement, følgende bogstaver anvendes generelt i det latinske alfabet, eller endda i den græske alfabet starter med φ eller ψ .
En funktion defineres ofte ved dens udtryk , generelt afhængig af en eller flere variabler , ofte x eller t . Ved at erstatte variablerne med eksplicitte værdier i udtrykket får vi en værdi af funktionen.
I reel analyse har funktioner reelle variabler , men nogle reelle værdier kan ikke bruges i udtrykket og kaldes forbudte værdier . Dette er for eksempel tilfældet med nul for den inverse funktion , fordi vi ikke kan dele med nul. Som standard betragter vi ofte, at funktionen er defineret overalt uden for de forbudte værdier. Man kan dog også specificere et definitionsdomæne, der samler alle mulige værdier for variablerne (assimileret med startsættet eller kilden til en applikation ) og et slutsæt ( mål ), der indeholder alle de mulige værdier for variabel funktion.
Denne information kan opsummeres med et diagram som følger, hvor pilen mellem kilden og målsætningerne er en simpel højrepil (→) , mens den mellem variablen og udtrykket har et stop (↦) .:
eller for en funktion f defineret på et sæt E med værdier i et sæt F :
En funktion kan defineres af flere udtryk, der er gyldige på usammenhængende domæner , såsom funktionen absolut værdi :
Definitionsdomænet for en funktion f er klassisk betegnet . Det billede sæt , det vil sige det sæt af mulige værdier for resultatet, derefter betegnes eller , og per definition indgår i målet sættet. Givet en værdi x i definitionsdomænet, og y et element i det mål, der er indstillet således, at vi siger, at y er det (unikke) billede af x, og at x er en fortilfælde af y . For eksempel er 9 billedet af 3 ved kvadratfunktionen , og 3 er derfor en fortilfælde af 9 (men det er ikke den eneste, da -3 også er en fortilfælde af 9).
Metoderne til at analysere funktioner varierer afhængigt af variabelens art og resultatet. Vi skelner især mellem:
Sættet af par definerer grafen for funktionen. I tilfælde af en reel funktion af en reel variabel er denne graf inkluderet i planet og præsenteres som en kurve kaldet repræsentativ kurve , hvorpå vi kan vise det lokale ekstrem , visse tangenter eller halvtangenser, asymptoter og fremhæve variationer og områder med konveksitet eller konkavitet . Denne repræsentation gør det også muligt at visualisere funktionens annulleringspunkter eller nuller , dets tegn og muligvis en stigning eller formindskelse , dens paritet og dens periodicitet .
En funktion defineret af en liste over numeriske værdier kan repræsenteres ved et spredningsdiagram , en polygonal kurve eller et søjlediagram .
For en reel funktion af to variabler svarer grafen generelt til en overflade i rummet , hvor niveaulinjer kan vises , muligvis ved hjælp af en farvekode til at fremhæve reliefen.
For en vektor eller holomorf funktion kan vi repræsentere et vektorfelt eller bruge farvning af regioner .
Sagittal diagram over en delvis funktion
Polygonal kurve, der repræsenterer en funktion defineret af en tidsserie
Overflade repræsentativ for en funktion af 2 variabler
Vektorfelt i flyet
Farvning af regioner til Riemann zeta-kompleks-funktionen
En funktion kan defineres punkt for punkt ved et eksplicit udtryk, der involverer andre referencefunktioner , grænser eller andre algoritmiske metoder . Det kan for eksempel være gensidigheden af en anden funktion. Den samme funktion kan også defineres ved forskellige formler, hvis lighed vises, som i tilfældet med den eksponentielle funktion .
En funktion kan også defineres globalt ved hjælp af en ligning eller et ligningssystem . Især definerer vi en implicit funktion, hvis sættet af løsninger i en ligning med to ukendte x og y kan svare til grafen for en funktion, dvs. hvis der for en værdi af x højst findes en løsning af formen . En funktion kan også defineres trin for trin ved en differentialligning eller endda en delvis differentialligning eller ved induktion i tilfælde af en aritmetisk funktion .
Vi kan stadig definere en funktion på et tæt sæt i en anden og udvide definitionen ved kontinuitet . Denne proces gør det især muligt at retfærdiggøre eksistensen af Peano-kurven og andre funktioner, der er kontinuerlige, men intetsteds differentierbare . Det kan også bruges til at definere funktioner over et felt med p -adiske tal .
Alle disse metoder til matematisk bestemmelse ledsages af problemer med effektiv beregning, som studeres inden for rammerne af numerisk analyse .
Den matematiske analyse er mest ofte hørt i studiet af et numerisk funktion , med den søgen efter hans tegn og dens variationer , bestemmelse af potentialet stigende eller faldende , faste punkter og grænser eller computing integral .
Mere generelt kan vi forsøge at bestemme, om en funktion er injektionsdygtig , det vil sige, om et element i ankomstsættet højst har en fortilfælde. I dette tilfælde er vi interesserede i at bestemme billedsættet , fordi funktionen derefter tillader et gensidigt billede af dets billedsæt til dets definitionssæt. Præcisionen i definitionssættet er her afgørende, som i tilfældet med kvadratfunktionen (som ikke er injektionsdygtig, hvis den er defineret , men som defineres ved begrænsning til sættet ) eller funktionen eksponentiel (injektiv som funktion af en reel variabel, men ikke som en funktion af en kompleks variabel).
For en aritmetisk funktion , der derfor er defineret på sættet af naturlige heltal , er vi især interesserede i forholdet mellem billedet af et produkt og billederne af faktorerne (især når sidstnævnte er primære indbyrdes ).
Ved en delmængde A af startsættet er det direkte billede sæt af billeder af elementerne fra A til og med f . Omvendt, givet et delsæt B af ankomstsættet, er dets præbillede eller det gensidige billede sættet med fortilfælde af elementerne i B ved f .
Disse forestillinger gør det især muligt at udtrykke en funktions kontinuitet mellem topologiske rum , at karakterisere eksistensen af grænser , at retfærdiggøre, at en funktion er målbar for at kunne overveje dens integrerbarhed .
Definitionen af begrebet funktion har udviklet sig siden indførelsen af Leibniz i slutningen af det XVII th århundrede. Det var derefter et spørgsmål om at knytte et objekt til hvert punkt i en kurve , for eksempel tangenten . Ved at identificere hvert punkt i kurven med dens ordinat omdefinerer Jean Bernoulli derefter Euler dette udtryk for at beskrive et udtryk, der består af en variabel og mulig konstant ( reel ) parameter . De anvendte operationer inkluderer ikke kun elementære algebraiske operationer, uendelige serier og produkter, men også eksponentielle , logaritme og trigonometriske linjer , betragtes som transcendente operationer.
Forbindelsen mellem udtryk for en funktion og dens repræsentative kurve får Euler til at udvide begrebet ved at tillade stykkevise definitioner (in) og derefter kurver, som ikke kan opnås ved analytiske udtryk . Betingelsen for kontinuitet er formaliseret ved Bolzano og Cauchy i begyndelsen af XIX th århundrede. I 1829 førte undersøgelsen af Fourier-serierne Dirichlet til at overveje mere generelle funktioner, såsom indikatoren for den rationelle .
Samtidig åbner domænet for variablen sig for komplekse tal . I begyndelsen af XX th århundrede, funktionerne acceptere flere variabler og kan indstilles til et sæt nogen. Under Fréchets impuls følger værdien af en funktion den samme generalisering. Den integration af teori og funktionel analyse går videre ved at overveje funktioner næsten overalt defineret, nødvendig for at opnå en struktur af Banach rum på rum L p funktioner -intégrables.
I kompleks analyse indebærer den analytiske udvidelse af holomorfe funktioner at tage højde for multivalente funktioner på kompleksetsæt, formelt realiseret som klassiske funktioner defineret på en Riemann-overflade .