Interval (matematik)

I matematik , et interval (fra latin intervallum ) er etymologisk et sæt mellem to værdier. Denne første forestilling udviklede sig, indtil den resulterede i følgende definitioner.

Intervaller af ℝ

Beholdning

I første omgang en reel interval kaldes et sæt af numre, afgrænset af to reelle tal , der udgør en nedre grænse og en øvre grænse . Et interval indeholder alle de reelle tal mellem disse to grænser.

Denne definition grupperer intervallerne for følgende typer (med a og b ægte og a < b ):

Intervaller af den første type kaldes åbne intervaller  ; de andet lukkede intervaller og de sidste to halvåbne intervaller .

En anden betegnelse (af engelsk oprindelse, men også meget udbredt) bruger til (semi) åbne intervaller en parentes i stedet for en parentes: De ovennævnte intervaller bemærkes hhv.

Disse to notationer er beskrevet i ISO 31- standarden (for matematik: ISO 31-11  (en) ). Til disse intervaller er der tilføjet sæt af reelle mindre end en værdi eller større end en værdi. Vi tilføjer derfor intervaller af denne type:

Til hvilke er tilføjet intervallerne:

Generel definition

Et interval på ℝ er en konveks del af ℝ, dvs. et sæt I af reelle tal, der tilfredsstiller følgende egenskab:

med andre ord :

Union og kryds

Et kryds af intervaller på ℝ er altid et interval. For eksempel,

En forening af intervaller på ℝ er ikke altid et interval. Det vil være et interval, hvis det opnåede sæt forbliver konveks (intuitivt, hvis der ikke er noget "hul"). I tilfælde af en forening med to intervaller er det tilstrækkeligt, at skæringspunktet mellem disse intervaller ikke er tomt for at deres forening skal være konveks. For eksempel,

Denne union danner ikke et interval, da der er et hul mellem 2 og 3.

Forbindelse og kompakthed

De tilsluttede dele af ℝ (for den sædvanlige topologi) er nøjagtigt intervallerne.

Lukkede intervaller afgrænset, det vil sige indeholde deres grænser, kaldes segmenter . Dette er de eneste rigtige kompakte intervaller . Dette resultat er et specielt tilfælde af Borel-Lebesgue-sætningen .

Nedbrydning af åbningerne i ℝ

Enhver åbning af ℝ er en tællelig forening af åbne intervaller to til to adskilt: dens tilsluttede komponenter .

Intervallerne er de mest interessante dele af ℝ når vi taler om kontinuitet og differentiering .

Et rigtigt interval siges at være ikke- trivielt, hvis det ikke er tomt og ikke reduceres til et punkt.

Vi finder derefter (blandt andre) for de reelle funktioner i en reel variabel, egenskaber som:

  • Billedet med en kontinuerlig funktion af et interval på ℝ er et interval på ℝ ( sætning af mellemværdier ).
  • En differentierbar funktion med identisk nul derivat over et interval er konstant over dette interval.
  • En differentierbar funktion øges (i bred forstand) over et ikke-trivielt interval, hvis og kun hvis dets afledte forbliver positiv (i bred forstand) over dette interval.

Bemærk  : Funktionen f  : ℝ * → ℝ defineret af f ( x ) = x / | x | kan differentieres på ℝ *, og dets afledte er identisk nul; men f er ikke konstant. Dette skyldes, at ℝ * = ℝ \ {0} ikke er et interval.

Generalisering

I ethvert totalt ordnet sæt ( S , ≤) kan vi definere intervallerne på samme måde som i as, som de konvekse sæt (i den forstand, som den generelle definition er angivet ovenfor). Vi finder blandt dem følgende typer (men de er ikke de eneste):

De første fire notationer generaliserer henholdsvis det åbne interval, det lukkede interval, det halvåbne interval til venstre og det halvåbne interval til højre. Den femte notation er et specielt tilfælde af en åben begyndelsessektion  ; den næste tre er den lukkede begyndelsesafsnit , den åbne slutning sektion og den lukkede slutter sektion bestemmes af en henholdsvis.

Det er derfor fuldt ud muligt at definere i ℤ intervallet relative heltal mellem –5 og 3, men det ville være farligt at skrive det ned [–5, 3] uden forudgående advarsel på grund af risikoen for forveksling med notationen af ​​intervallerne. ℝ. Vi bruger undertiden notationen med hvide parenteser ⟦– 5, 3⟧ og undertiden notationen med dobbelte parenteser (meget brugt i sandsynligheden).

Et skæringspunkt mellem intervaller er stadig et interval.

Noter og referencer

  1. Se for eksempel Nawfal El Hage Hassan, generel topologi og standardiserede rum: Korrigerede kurser og øvelser , Dunod ,2018, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 2011) ( læses online ) , s.  10 og 246, eller denne korrigerede øvelse fra lektionen "Generel topologi" på Wikiversity .
  2. For flere detaljer, se § monotonicity og underskrive af den afledte af artiklen om monoton funktion .
  3. D. Guinin og B. Joppin, Algebra og geometri MPSI , Bréal 2003 ( ISBN  9782749502182 ) , Definition 27 s.  176 .
  4. Dette er kun et specielt tilfælde, fordi der kan eksistere åbne udgangspunkter sektioner, hvoraf en er ikke den øvre grænse - det er især tilfældet for Dedekind nedskæringer , som definerer et reelt tal og ikke nødvendigvis har af øvre grænse i .
  5. Analog : et slutafsnit har ikke nødvendigvis en nedre grænse.
  6. J.-M. Arnaudiès og H. Fraysse, matematik-1 Algebra Course , Dunod, 1987 ( ISBN  2040164502 ) , s.  52 .

Relateret artikel

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">