Central styrkebevægelse
I punktmekanik er en bevægelse med en central kraft bevægelsen af et materielt punkt M, der kun udsættes for en central kraft , det vil sige en kraft, der altid er rettet mod det samme punkt, der er noteret O kaldet kraftcenter .
Denne type bevægelse er en model for visse fysiske fænomener: den er ikke strengt til stede i naturen, men visse bevægelser ligner den. For eksempel kan vi overveje, at Jorden er udsat for en central kraft fra solen . Desuden kan vi, når vi bruger en klassisk beskrivelse af atomet , overveje, at elektronernes bevægelse er ved en central kraft omkring kernen .
Den matematiske undersøgelse af denne type bevægelse giver os mulighed for at opnå nogle generelle resultater. Vi kan f.eks. Vise, at banen er indeholdt i et plan, at områdets hastighed er konstant osv.
Historisk
Problemet med centralstyrkebevægelse blev først løst af Isaac Newton i 1687 . Newton demonstrerer især, at banen er indeholdt i et plan, der passerer gennem centrum af kraften og vinkelret på vinkelmomentet , som derefter er konstant. Det er også oprindeligt i den modsatte retning, som Newton demonstrerede det: det vinkelmoment, der vises konstant, dette indebærer, at banen er plan. Denne bane er beskrevet i henhold til Keplers anden lov, også kendt som områdets love : lige områder scannes på lige tid .
Robert Hooke løste den særlige sag kendt som "Hooke's", hvor den centrale kraft er proportional med afstanden, der adskiller kraftens centrum fra det bevægelige punkt (se Hookes ellipse ).
Jacques Binet udtryk, gennem sine formler , den hastighed og acceleration for et punkt animeret af en central kraft bevægelse. Disse formler gør det f.eks. Muligt at opnå planetenes elliptiske baner og demonstrerer således Keplers første lov igen .
Eksempler på undersøgelser
Nogle specielle tilfælde er blevet studeret matematisk:
- tilfældet med en elastisk gendannelseskraft: se Hookes ellipse ,
- tilfælde af kræfter proportional med r p for p er -5, -3, 0, 1/3, 3/2, 5/3, 7/3, 5/2, 4, 5 eller 7 siges at være løselige.
- planetenes bevægelse: se Keplers love ,
- The Rutherford-spredning kan behandles via symmetri Corinne .
Definition
En central kraftbevægelse er bevægelsen af et materielt punkt, der udsættes for en kraft, der passerer gennem et fast punkt .
F→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}}}O{\ displaystyle \ scriptstyle O}
Banen er plan (se nedenfor): to koordinater er tilstrækkelige til at beskrive bevægelsen i dette plan. Bevarelse af energi gør det muligt at reducere bevægelsen til et kvadratur.
Fladhed af banen
Den impulsmoment teorem anbragt i centrum af kraft O i galilæer ramme af forelæggelsesafgørelsen, at den afledte af impulsmoment ved punkt O er den cross produktet af radiusvektor og kraften :, eftersom de to vektorer er collinear.
L→{\ displaystyle {\ vec {L}}} O→M{\ displaystyle {\ vec {O}} M}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}dL→dt=OM→∧F→=0→{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {L}}} {dt}} = {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {F}} = {\ vec {0}}}
Derfor er vinkelmomentet konstant under bevægelsen.
Ved definition af vinkelmomentet betyder dette, at det er konstant, derfor at positionsvektoren og momentet for punktet M til enhver tid er vinkelret på vektoren med konstant retning. Banen er derfor plan : den er helt indeholdt i det plan, der indeholder det tiltrækkende centrum O , og vinkelret på vinkelmomentet .
OM→∧s→=L→{\ displaystyle {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {p}} = {\ vec {L}}}OM→{\ displaystyle {\ vec {OM}}} s→=m⋅v→{\ displaystyle {\ vec {p}} = m \ cdot {\ vec {v}}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}
Lov om områder
Vi har netop set, at bane af partiklen forbliver i en fast plan oprindelse O . Ved at passere til polarkoordinaterne r og θ , i dette plan, kan vi skrive
-
OM→=r→=rer→{\ displaystyle {\ vec {OM}} = {\ vec {r}} = r {\ vec {e_ {r}}}},
- derfor , hvor er enhedsvektoren sådan, at det er et direkte ortonormalt koordinatsystem.v→=dr→dt=r˙er→+rθ˙eθ→{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} + r {\ prik {\ theta}} {\ vec {e _ {\ theta}}}}eθ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}(M,er→,eθ→){\ displaystyle (M, {\ vec {e_ {r}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}})}
- derefter ,, i hvilken er enhedsvektoren vinkelret på banen, således at den er et direkte ortonormalt koordinatsystem.L→=r→∧mv→=mrr˙er→∧er→+mr2θ˙er→∧eθ→=mr2θ˙ez→{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ wedge m {\ vec {v}} = mr {\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} \ wedge { \ vec {e_ {r}}} + mr ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} \ wedge {\ vec {e _ {\ theta}}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {z}}}}e→z=er→∧eθ→{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z} = {\ vec {e_ {r}}} \ wedge {\ vec {e _ {\ theta}}}}(M,er→,eθ→,ez→){\ displaystyle (M, {\ vec {e_ {r}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e_ {z}}})}
I dette sidste forhold, at værdien af den ene trækker standard , konstant impulsmoment: . Nu er området fejet af vektorstrålen i en uendelig minimal tid dt er .
L=mr2θ˙{\ displaystyle L = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}12r2θ˙dt=L2mdt=VS2dt{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} r ^ {2} {\ dot {\ theta}} dt = {\ frac {L} {2m}} dt = {\ frac {C} {2}} dt}
Denne lov, i den form , der udtrykker, at områdets hastighed er konstant, kaldes områdeloven . Udråbt som en empirisk observation i 1609 af Johannes Kepler om bevægelse af planeter omkring Solen (se Keplers love ), er det derfor i realiteten en generel ejendom for al bevægelse med en central styrke.
r2θ˙=VS{\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = C}
Keplers ligning
Lovgivningen om områder indebærer især at holde et konstant tegn, dvs. at det materielle punkt altid drejer i samme retning. Især θ = f ( t ) er en strengt monoton funktion af tiden. Der er derfor en omvendt funktion t = f −1 ( θ ) . Det vil sige, det er muligt at bestemme den tid, som det faste stof tager at rotere med en given vinkel omkring det centrale punkt. At udføre denne inversion var et værk af Legendre , derefter Cauchy ( opløsning af Keplers ligning ).
θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}
Acceleration i polære koordinater
I polære koordinater har accelerationen udtryk:
d2r→dt2=(r¨-rθ˙2)er→+(rθ¨+2r˙θ˙)eθ→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = ({\ ddot {r}} - r {\ prik {\ theta}} ^ {2}) {\ vec {e_ {r}}} + \ left (r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta} } \ højre) {\ vec {e _ {\ theta}}}}
hvor og danner en roterende base, det vil sige, og hvor og danner en fast kartesisk ortonormal base af banens plan.
er→{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}}}eθ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}er→≜cosθex→+syndθey→{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}} \ triangleq \ cos \ theta {\ vec {e_ {x}}} + \ sin \ theta {\ vec {e_ {y}}}}eθ→≜-syndθex→+cosθey→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} \ trekantsq - \ sin \ theta {\ vec {e_ {x}}} + \ cos \ theta {\ vec {e_ {y}}}}ex→{\ displaystyle {\ vec {e_ {x}}}}ey→{\ displaystyle {\ vec {e_ {y}}}}
Fordi accelerationen er radial, projiceringen af on er nul, har vi derfor . Ved at bemærke det , og derfor det , konkluderer vi, at parameteren faktisk er konstant, hvilket retfærdiggør dens betegnelse af arealkonstant .
d2r→dt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}rθ¨+2r˙θ˙=0{\ displaystyle r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} = 0}dr2θ˙dt=r⋅(rθ¨+2r˙θ˙){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2} {\ dot {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = r \ cdot \ left (r {\ ddot {\ theta} } +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} \ højre)}dr2θ˙dt=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2} {\ dot {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = 0}r2θ˙{\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}
Den kinetiske energi af materialepunktet M opdeles i to termer (Leibniz, 1695):
Evs.=12mr˙2+L22mr2{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}- den første er den af en massepartikel m, der udfører en endimensionel bevægelse (i retning af r),
- det andet er analogt med en frastødende Coulomb potentiel energi, der fungerer som en centrifugalkraft .
Effektiv potentiel energi
I henhold til loven om bevarelse af energi er den samlede energi E = E c + V en konstant. Under hensyntagen til det tidligere udtryk for kinetisk energi anbringes denne samlede energi i form:
E=12mr˙2+Ueff(r){\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} + U _ {\ textrm {eff}} (r) \ quad}hvor kaldes den effektive potentielle energi .
Ueff(r)=V(r)+L22mr2{\ displaystyle \ quad U _ {\ textrm {eff}} (r) = V (r) + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}Fænomenet er derfor analog med en endimensional bevægelse af en fiktiv partikel med masse m i en potentiel U eff ( r ) . Dette potentiale afslører foruden V den centrifugale effekt, der er introduceret ovenfor. Dette svarer derfor til en konkurrence mellem to kræfter: for eksempel i tilfælde af en planets bevægelse er der konkurrence mellem tiltrækningen mod solen og den centrifugale effekt.
Tilfælde af et attraktivt felt
I tilfælde af et attraktivt felt præsenterer det effektive potentiale U eff ( r ) en potentiel brønd : det er stærkt frastødende ved kort afstand i henhold til "centrifugalbarrieren" og attraktivt ved lang afstand. Og da r 2 altid er positiv, har vi nødvendigvis følgende ulighed:
E≥Umin{\ displaystyle E \ geq U _ {\ min}},
hvor U min er minimumsværdien taget af det effektive potentiale (i afstanden r m ).
Bevægelsen er derefter forskellig i henhold til værdierne på E m .
- Ja , kroppen kan bevæge sig ad infinitum ( ubegrænset bevægelse ).E≥0{\ displaystyle E \ geq 0}
- Hvis det er bevægelsen begrænset mellem positionerne r min og r max . Den radiale bevægelse (langs r ) er derefter periodisk : den udviser en svingning mellem r min og r max .Umin<E≤0{\ displaystyle U _ {\ min} <E \ leq 0}
- Hvis banen er cirkulær med radius r m uanset V ( r ) kan være .E=Umin{\ displaystyle E = U _ {\ min}}
- Ja , bevægelse er umulig. I tilfælde af Coulomb-tiltrækningsfeltet svarer denne situation faktisk til en indledende mekanisk energi, der er utilstrækkelig til at "kredse" om partiklen.E<Umin{\ displaystyle E <U _ {\ min}}
Generelle udtryk for time- og polligninger
Bevægelsen med en konservativ central kraft har i planet to frihedsgrader : koordinaterne r og θ i bevægelsesplanet. Derudover er der to bevægelseskonstanter: vinkelmoment og mekanisk energi . Problemet siges at være løst op til en kvadratur.
LO→{\ displaystyle {\ vec {L_ {O}}}} E{\ displaystyle E}
Løsningen kan skrives enten ved en times ligning ( r ( t )) eller ved en pollig ligning ( r ( θ )). Faktisk viser loven i områder, der er set ovenfor, at det er muligt at udveksle t og θ . Vi studerer kort disse to muligheder:
t-t0=∫r(t0)rdr′2m(Em-Ueff(r′)){\ displaystyle t-t_ {0} = \ int _ {r \ left (t_ {0} \ right)} ^ {r} {\ frac {dr '} {\ sqrt {{\ frac {2} {m} } \ venstre (E_ {m} -U _ {\ textrm {eff}} \ venstre (r '\ højre) \ højre)}} \,}.
Ved inversion er det muligt at opnå den analytiske form af r ( t ). Vi kan derefter bruge denne værdi til at beregne θ ( t ) takket være områdekonstanten. Endelig giver timelovene r ( t ) og θ ( t ) den parametriske ligning af banen i
polære koordinater .
- Hvis vi kun ser efter banen , og ikke udviklingen af bevægelsen over tid, kan vi eliminere tiden t og erstatte den med θ ved hjælp af områdets lov. Man opnår derefter en anden differentialligning af Newton, som man også kan finde løsningen:
θ-θ0=∫r(θ0)rVSdr′r′22m(Em-Ueff(r′)){\ displaystyle \ theta - \ theta _ {0} = \ int _ {r \ left (\ theta _ {0} \ right)} ^ {r} {\ frac {Cdr '} {r' ^ {2} { \ sqrt {{\ frac {2} {m}} \ venstre (E_ {m} -U_ {eff} \ venstre (r '\ højre) \ højre)}}}}.
Vi opnår således den polære ligning r ( θ ), det vil sige ligningen af banen i
polære koordinater .
Disse integrerede udtryk kan måske ikke løses. Endelig kan der i visse tilfælde, især for to-kropsproblemet , anvendes enklere opløsningsteknikker end den eksplicitte evaluering af integralen.
Muligheder for lukkede baner
I tilfælde af et afgrænset bevægelse, den radiale bevægelse ( r ( t )) er periodisk, med perioden T r . I henhold til det foregående afsnit giver timesligningen følgende udtryk:
Tr=2∫rminrmaksdr2m(Em-Ueff(r)){\ displaystyle T_ {r} = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {dr} {\ sqrt {{\ frac {2} {m}} \ venstre (E_ {m} -U_ {eff} \ venstre (r \ højre) \ højre)}}} \,},
hvor r min og r max er den mindste og maksimale tilgængelige radius.
Dette betyder ikke, at den globale bevægelse er periodisk, derfor at banen er en lukket kurve . Faktisk ville det være nødvendigt for dette, at ved udgangen af et helt antal n af radiale perioder T r er vinklen θ har udført et helt antal p af hele omdrejninger. Det siges også, at den vinkelmæssige periode T ang skal være et rimeligt forhold radiale periode T r .
Imidlertid variationen af den polære vinkel θ i den radiale periode T er r udtrykt ved:
Δθ{\ displaystyle \ Delta \ theta}
Δθ=2∫rminrmaksVSdrr22m(Em-Ueff(r)){\ displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {C \, dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {2} {m}} \ venstre (E_ {m} -U_ {eff} (r) \ højre)}}}}.
I henhold til det foregående vil banen være lukket for alle indledende forhold, hvis og kun hvis man har det . Dette bekræftes kun for konservative felter af to typer centrale kræfter: styrken i 1 / r 2 (af newtonsk type) og Hooke-styrken (-kr): (dette resultat udgør Bertrands sætning ).
Δθ=2πsikke{\ displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ pi {\ frac {p} {n}}}
Tekniske bemærkninger
- Eksistensen af lukkede baner er forbundet med symmetri , som manifesterer sig i eksistensen af en ekstra bevægelseskonstant. For eksempel for Coulomb-feltet er det Runge-Lenz-vektoren .
- I kvantemekanik udviser felter, der klassisk præsenterer lukkede baner, en utilsigtet degeneration af deres energiniveauer . For eksempel, for Coulomb feltet, mens den generelle teori forudsiger niveauer E n, l , vi får niveauer E n afhængigt kun på et enkelt kvantetal. Oprindelsen er en yderligere symmetri af Coulomb-feltet med hensyn til rotationer af det 4-dimensionelle rum (gruppe O (4)).
- Lad P den fremskrivning af W langs tangenten til bane M . Banen for P kaldes pedalen til O. Pedalens inverse giver med en rotation det, vi kalder hodografen . Omvendt genopretter antipodaire af pedalens omvendte bane. Således er banerummet i faseområdet, hvis projektion på ( O , x , y ) er banen, og hvis projektion på hastighedsrummet ( O , Vx , Vy ) er hodografen, er derfor meget ejendommelig. Newton var særlig opmærksom på fodbælg og antipodaries. På det tidspunkt var det velkendt, at det inverse af en cirkel var en cirkel og det antipodary af en cirkel en ellipse. En Keplers elliptiske bane svarede derfor til en cirkulær hodograf. På en eller anden måde er Keplers love blevet demonstreret via denne cirkulære hodograf. Flere forskere kunne være oprindelsen til denne opdagelse: Newton i sine mistede kladder, som han bekræftede i august 1684 til Halley , Hermann ( 1678 - 1733 ), hvis demonstration vi ser i den tredje udgave af Principia osv. At sige, at hodografen er cirkulær, er at sige, at der er Runge-Lenz-vektoren .
Noter og referencer
-
Newton, Mathematical Principles of Natural Philosophy , Book I, Section II, Prop.I, p.49 i Mme du Châtelet's oversættelse
-
Grundlæggende kommer det faktum, at vinkelmomentet er konstant, af det faktum, at problemet er uforanderligt under virkningen af en rotation omkring O, og at man kan anvende Noethers sætning på gruppen SO (3).
-
Dette udelukker ethvert attraktivt potentiale, der ikke har tendens til konstant til uendelig.
-
se Landau og Lifshitz, Teoretisk Fysik T1: Mekanik , 5 th fransk udgave, ellipser-Marketing 1994.
-
Vi har derefter degeneration af bevægelse, se Landau, op. cit. , afsnit 52.
-
Se Landau og Lifchitz, Teoretisk fysik T3: kvantemekanik , Mir, Moskva, 1988.
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">