Radius (geometri)
I geometri er en radius af en cirkel eller en kugle et hvilket som helst segment af enhver lige linje, der forbinder dens centrum med sin omkreds . I forlængelse heraf den radius af en cirkel eller kugle er længden af hver af disse segmenter. Radien er halvdelen af diameteren . I videnskab og teknik bruges udtrykket krumningsradius ofte synonymt med radius.
Mere generelt - inden for geometri , teknik , grafteori og i mange andre sammenhænge - er en genstands radius (for eksempel en cylinder , en polygon , en graf eller en mekanisk del) afstanden fra dens centrum eller symmetriaksen yderst overfladepunkter. I dette tilfælde kan radius være forskellig fra halvdelen af diameteren (i betydningen den største afstand mellem objektets to punkter).
Det kan også have flere specifikke definitioner, som vi vil se for ellipsen nedenfor.
Radius af en cirkel
Forholdet mellem radius og omkreds af en cirkel er .R{\ displaystyle R}L{\ displaystyle L}R=L2π{\ displaystyle R = {\ frac {L} {2 \ pi}}}
For at beregne radius af en cirkel, der passerer gennem tre punkter, kan vi bruge følgende formel (se Indskrevet vinkelsætning , Indskrevet vinkel i en halvcirkel og figuren modsat):
R{\ displaystyle R}PÅ,B,VS{\ displaystyle A, B, C}
R=på2synda{\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}}}, hvor er længden og målingen af vinklen .
på{\ displaystyle a}BVS{\ displaystyle BC}a{\ displaystyle \ alpha} BPÅVS^{\ displaystyle {\ widehat {BAC}}}
Hvis de tre punkter er angivet af deres koordinater , og , kan vi også bruge følgende formel (se lov om sines og areal af en trekant ):
(x1,y1){\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}(x2,y2){\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}(x3,y3){\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3})}
R=((x2-x1)2+(y2-y1)2)((x2-x3)2+(y2-y3)2)((x3-x1)2+(y3-y1)2)2|x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2|{\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {\ left (\ left (x_ {2} -x_ {1} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {2} -y_ {1} \ right) ^ {2} \ højre) \ venstre (\ venstre (x_ {2} -x_ {3} \ højre) ^ {2} + \ venstre (y_ {2} -y_ {3} \ højre) ^ {2} \ højre) \ venstre (\ venstre (x_ {3} -x_ {1} \ højre) ^ {2} + \ venstre (y_ {3} -y_ {1} \ højre) ^ {2} \ højre)}} { 2 \ venstre | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} \ right |}}}.
Stråler af en ellipse
Man kan definere flere begreber om radius for en ellipse , idet begreber igen giver den for klassisk radius i tilfælde af cirklen.
- Ellipsens semi-hovedakse fortolkes som cirkelens radius, der er afgrænset til ellipsen eller hovedcirklen , og den semi-mindre akse som radien af den indskrevne cirkel eller sekundær cirkel. Kan defineres som "gennemsnitlig radius" , den gennemsnitlige aritmetik for disse to stråler .på{\ displaystyle a}R1=(på+b)/2{\ displaystyle R_ {1} = (a + b) / 2}
- Områdets radius er radius af en cirkel med et areal (areal), der er lig med ellipsens.
Det er lig med kvadratroden af produktet af de to halvakser af ellipsen:
R2=påb=på1-e24{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}}hvor
e er ellipsens excentricitet
Det er derfor det geometriske gennemsnit af halvakserne.
- En anden bemærkelsesværdig radius af ellipsen er den gennemsnitlige afstand for et punkt, der krydser ellipsen med konstant hastighed til fokus for denne ellips. Denne radius, som pr. Definition er lig med, er forenklet til værdien af den semi-store akse.R3=∫02π(på(cost-e)2+b2synd2tpå2synd2t+b2cos2tdt∫02πpå2synd2t+b2cos2tdt{\ displaystyle R_ {3} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {(a (\ cos te) ^ {2} + b ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ over {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}}R3=på{\ displaystyle R_ {3} = a}
- Den gennemsnitlige afstand ved konstant hastighed til centrum af ellipsen: giver ikke en simpel værdi.R4=∫02πpå2cos2t+b2synd2tpå2synd2t+b2cos2tdt∫02πpå2synd2t+b2cos2tdt{\ displaystyle R_ {4} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2 } t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ over { \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d } t}}}}
- Den gennemsnitlige afstand fra centrum af ellipsen, hastigheden af den excentriske anomali t konstant: er lig, den hvor er længden af ellipsen. Det er derfor radius af en cirkel med en længde svarende til ellipsens.R5=12π∫02πpå2cos2t+b2synd2tdt{\ displaystyle R_ {5} = {1 \ over {2 \ pi}} {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}L2π{\ displaystyle L \ over {2 \ pi}}L{\ displaystyle L}
- Man kan også overveje standardafvigelsen af afstanden mellem to punkter i det indre af ellipse :, det vil sige, der er forenklet i , kvadratiske middelværdi af de halve akser.∬(M1M2)2dM1dM2∬dM1dM2{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ iint (M_ {1} M_ {2}) ^ {2} dM_ {1} dM_ {2}} {\ iint dM_ {1} dM_ {2}}}}}∫01∫01∫02π∫02π((pår1cost1-br2cost2)2+(pår1cost1-br2cost2)2)r1r2dr1dr2dt1dt2∫01∫01∫02π∫02πr1r2dr1dr2dt1dt2{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} ((ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2} + (ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2}) r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1} dt_ {2}} {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1 } dt_ {2}}}}}R6=på2+b22{\ displaystyle R_ {6} = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {2}}}}
Stråler fra en ellipsoid
Vi kan definere flere begreber om radius for ellipsoiden af halvakser .
på⩾b⩾vs.{\ displaystyle a \ geqslant b \ geqslant c}
Gennemsnitlig radius
Den " gennemsnitlige radius " er lig med det aritmetiske gennemsnit af de 3 halvakser:
R1=på+b+vs.3{\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {a + b + c} {3}}}.
Volumetrisk radius
Den volumetriske radius er radius af en fiktiv volumenkugle svarende til den for den betragtede ellipsoid.
Det er lig med det geometriske gennemsnit af halvakserne:
R2=påbvs.3{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt [{3}] {abc}}}.
Authalisk stråle
Den authaliske radius er radius af en fiktiv areal (overflade) svarende til arealet af den betragtede ellipsoid .
S{\ displaystyle S}R3=S/4π{\ displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {S / 4 \ pi}}}
For eksempel i tilfælde af en langstrakt ellipsoid af rotation (rotation af en ellipse omkring dens hovedakse) R3=b22+påb2bueskindee{\ displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {{\ frac {b ^ {2}} {2}} + {\ frac {ab} {2}} {\ frac {\ arcsin e} {e}}} }}
Radius af en polygon
En radius af en regelmæssig polygon er et segment, der forbinder midten af denne polygon med en af dens hjørner. Dens længde er derfor radius af cirklen, der er afgrænset til denne polygon.
Radius af en polygon med side c og n sider er derfor lig med
vs.22-2cos(2π/ikke)=vs.2synd(π/ikke){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ frac {c} {2 \ sin (\ pi / n)} }}
eller igen, afhængigt af længden af apothem h , til
hcos(π/ikke){\ displaystyle {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}}.
Jordstråler
Data
Ray |
Værdi i kilometer |
Kommentar
|
---|
maksimum |
6 384,4 |
på toppen af Chimborazo
|
minimal |
6 352, 8 |
|
ækvatorial |
6 378,8 |
semi-hovedakse for referenceelipsoiden
|
polar |
6 356,8 |
semi-mindre akse for referenceellipsoiden
|
vej |
6.371.009 |
|
authalisk |
6.371.007 2 |
|
volumetrisk |
6 371.000 8 |
|
Historisk
Den første måling af Jordens radius i astronomi blev udtænkt af Eratosthenes . Dens beregning er som følger: Solen er så langt væk, at dens stråler ankommer parallelt til ethvert punkt på jorden . Han læste, at i Syene falder strålerne lodret i en brønd på sommersolhvervets dag . Dette betyder, at solen passerer gennem zenithen , så der er ingen skygge. Længere mod nord, i samme øjeblik, når strålerne Alexandria i en ikke-nul vinkel, som han måler. Den målte vinkel er en femtendedel af en cirkel. Dette betyder, at jordens omkreds er halvtreds gange større end afstanden Syene-Alexandria. Han havde også læst, at det tog halvtreds dage at nå kamelvogne, der rejste fra Syene, til Alexandria og dækkede hundrede stadioner om dagen. Han beregnede, at afstanden mellem de to byer i Nildalen var 5.000 stadioner. Stadionet svarer til 158 m .
Ved at måle skyggen, der kastes af disse genstande med kendt højde placeret på to punkter med forskellig bredde, finder han værdien af 250.000 stadier for længden af meridianen, det vil sige jordens omkreds . Denne måling er nøjagtig inden for 2%. Han udledte jordbaseret radius fra den.
brug
Jordens radius bruges til mange astronomiske beregninger, såsom beregning af en stjernes døgnparallaks :
Døgnparallax: to observatører placeres i to punkter A og B på jorden så langt fra hinanden som muligt og bemærker konfigurationen af stjernerne omkring den observerede stjerne. De kan således beregne vinklerne og derefter udlede parallaxen, som gør det muligt at opnå afstanden TP.
PÅBP^{\ displaystyle {\ widehat {ABP}}}BPÅP^{\ displaystyle {\ widehat {BAP}}}
Se også
Relateret artikel
Bibliografi
- Michel Morin og Alain Roy, geometri 4: relationer i cirklen , Mont-Royal (Quebec), Modulo, 1995 ( OCLC 32548158 )
-
For eksempel har en bagagerum af en cylinder med omdrejningstal i højden h og radius r en diameter lig med h, hvis h> 2 r , og i dette tilfælde .r≠h/2{\ displaystyle r \ neq h / 2}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">