Talteori

Traditionelt er talteori en gren af matematik, der beskæftiger sig med egenskaberne for heltal (hvad enten det er naturlige eller relative heltal ). Mere generelt vedrører undersøgelsens felt denne teori en stor klasse af problemer, der naturligt opstår ved studiet af heltal. Talteori indtager en særlig plads i matematik, både gennem dens forbindelser til mange andre områder og gennem fascinationen med dens sætninger og åbne problemer, hvis udsagn ofte er lette at forstå, selv for dem der ikke er. -Matematikere . Dette udtrykker følgende citat fra Jürgen Neukirch :

”Talteori indtager en idealiseret position blandt disciplinerne i matematik, der er analoge med matematikens selv blandt de andre videnskaber. "

Udtrykket " aritmetik " bruges også til at henvise til talteori. Det er et ret gammelt udtryk, som ikke længere er så populært som det engang var; for at undgå forvirring blev talteorien indtil begyndelsen af det tyvende århundrede undertiden også omtalt som "højere aritmetik". Ikke desto mindre forbliver adjektivet aritmetik ret udbredt, især for at betegne matematiske felter ( aritmetisk algebraisk geometri , aritmetik af kurver og elliptiske overflader osv.), Hvor begrænsningen af spørgsmål og løsninger til heltal eller til nogle af deres udvidelser spiller en afgørende rolle. Denne betydning af udtrykket aritmetik bør ikke forveksles med det, der anvendes i logik til undersøgelse af formelle systemer, der aksiomatiserer heltal, som i Peanos aritmetik .

Talteori er opdelt i flere studieretninger afhængigt af de anvendte metoder og de stillede spørgsmål.

De forskellige grene af talteori

Elementær talteori

Udtrykket elementær betegner generelt en metode, der ikke bruger kompleks analyse . For eksempel blev primærtalteoremet bevist ved hjælp af kompleks analyse i 1896, men elementært bevis blev først fundet i 1949 af Erdős og Selberg . Udtrykket er noget tvetydigt: F.eks. Betragtes bevis baseret på komplekse tauberiske sætninger (fx Wiener-Ikehara-sætningen ) ofte som meget oplysende, men ikke elementære. Elementært bevis kan være længere og vanskeligere for de fleste læsere end ikke-elementært bevis.

Talteori har ry for at være et felt, hvor lægmand kan forstå mange resultater. Samtidig er beviset for disse resultater ikke særlig tilgængeligt, dels fordi rækkevidden af værktøjer, de bruger, er usædvanligt bred i matematik.

Mange spørgsmål i elementær talteori fremstår enkle, men kræver meget dyb overvejelse og nye tilgange, såsom følgende eksempler:

Den Goldbach formodninger om angivelse af lige tal som en sum af to primtal ,
Den primtalstvillinger formodninger om uendelighed af par af på hinanden følgende primtal , og
Den Syracuse formodninger om en enkelt iteration .

Teorien om diofantiske ligninger har endda vist sig at være ubeslutsom , det vil sige, at man kan konstruere en eksplicit ligning, hvis eksistens af løsninger ikke kan demonstreres ved hjælp af de sædvanlige aksiomer i matematik (c 'er Matiyasevichs sætning ).

Analytisk talteori

Den analytiske talteori kan defineres:

i forhold til dets værktøjer, det vil sige undersøgelse af heltal ved hjælp af reelle og komplekse analyseværktøjer ;
i forhold til dets interesser, det vil sige at studere skøn over størrelse og tæthed i modsætning til identiteter.

Nogle emner, der generelt betragtes som en del af analytisk talteori, for eksempel sigteori , defineres i stedet for ved den anden definition.

Eksempler på problemer i analytisk talteori er Primtalssætningen, den Goldbach formodninger (eller primtalstvillinger formodninger eller Hardy-Littlewood formodninger ), den Waring problemet eller Riemann hypotese . Nogle af de vigtigste værktøjer i analytisk talteori er cirkelmetoden , sigte metoder og L- funktioner . Teorien om modulære former (og mere generelt om automatiske former ) indtager også en stadig mere central plads i analytisk talteori.

Algebraisk talteori

Et algebraisk tal er et komplekst tal, der er løsningen på en polynomligning med koefficienter i marken . For eksempel er enhver løsning af et algebraisk tal. Den algebraiske talteori studerer felterne med algebraiske tal. Således kan de analytiske og algebraiske talteorier overlappe hinanden: den første defineres af dens metoder, den anden af dens objekter for undersøgelse. $\ mathbb {Q}$ $x$ ${\ displaystyle x ^ {5} + (11/2) x ^ {3} -7x ^ {2} + 9 = 0}$

Grundlaget for denne gren, som vi kender, blev etableret i slutningen af det XIX th århundrede, hvor de idealer og evaluering er blevet udviklet. Drivkraften for udviklingen af idealer (af Ernst Kummer ) ser ud til at komme fra studiet af lovene om højere gensidighed, dvs. generaliseringer af loven om kvadratisk gensidighed .

Ligene er ofte studeres som udvidelser af andre mindre organer: et organ L siges at være en forlængelse af et legeme K , hvis L indeholder K . Klassificeringen af Abelian udvidelser har været programmet for klassen felt teori , indledt i slutningen af XIX th århundrede (dels ved Kroneckers og Eisenstein ) og realiseret en stor del 1900-1950.

Den Iwasawa teori er et eksempel på et aktivt forskningsområde i algebraisk talteori. Den Langlands program , en større fuldskala nuværende forskningsprogram i matematik, undertiden betegnes som et forsøg på at generalisere kroppen af teoriundervisning til ikke-Abelian udvidelser.

Diofantin geometri

Det centrale problem med Diophantine geometri er at bestemme, hvornår en Diophantine ligning har løsninger, og i så fald hvor mange. Den valgte tilgang er at betragte en lignings løsninger som et geometrisk objekt.

For eksempel definerer en to-variabel ligning en kurve i planet. Mere generelt definerer en ligning eller et ligningssystem med to eller flere variabler en kurve, en overflade osv. I et n- dimensionelt rum . I Diophantine geometri undrer man sig over, om der er rationelle punkter (punkter, hvis koordinater alle er rationelle) eller hele punkter (punkter, hvis koordinater alle er heltal) på kurven eller overfladen. Hvis der er sådanne punkter, er det næste trin at spørge, hvor mange der er, og hvordan de fordeles. Et grundlæggende spørgsmål i denne retning er: er der et endeligt eller uendeligt antal rationelle punkter på en given kurve (eller overflade)? Hvad med hele punkter?

Et eksempel ville være den pythagoriske ligning ; vi vil gerne undersøge dens rationelle løsninger, det vil sige dens løsninger, således at x og y begge er rationelle . Dette svarer til at bede om alle løsninger til ; nogen løsning på denne ligning giver os en løsning , . Dette svarer til at bede om alle punkter med rationelle koordinater på kurven beskrevet af (denne kurve er tilfældigvis enhedens cirkel ). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $(x, y)$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ ${\ displaystyle x = a / c}$ ${\ displaystyle y = b / c}$ $x ^ {2} + y ^ {2} = 1$

Omformuleringen af spørgsmålene om ligningerne med hensyn til punkter på kurverne viser sig at være vellykket. Endeligheden eller ellers af antallet af rationelle eller heltal punkter på en algebraisk kurve viser sig at være afgørende afhængig af slægten af kurven. Dette område er tæt knyttet til Diophantine tilnærmelser : givet et tal, hvor tæt kan det være på rationalitet? (Vi mener, at en rationel , med a og b prime imellem, er en god tilnærmelse af, hvis , hvor er stort.) Dette spørgsmål er af særlig interesse, hvis det er et algebraisk tal. Hvis det ikke kan tilnærmes godt, så har nogle ligninger ikke fulde eller rationelle løsninger. Derudover viser flere begreber sig at være afgørende både i Diophantine geometri og i studiet af Diophantine tilnærmelser. Dette spørgsmål er også af særlig interesse i transcendent talteori : hvis et tal kan tilnærmes bedre end noget algebraisk tal, så er det et transcendent tal . Det er ved dette argument, at det er blevet vist, at og er transcendent. $a / b$ $x$ ${\ displaystyle | xa / b | <{\ frac {1} {b ^ {c}}}}$ $vs.$ $x$ $x$ $\ pi$ ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$

Diofantin geometri bør ikke forveksles med talgeometri , som er en samling af grafiske metoder til besvarelse af visse spørgsmål i algebraisk talteori. Udtrykket aritmetisk geometri bruges utvivlsomt oftest, når man vil fremhæve forbindelserne med moderne algebraisk geometri (som Faltings 'sætning ) snarere end på teknikkerne med diofantiske tilnærmelser.

Nylige tilgange og grene

Probabilistisk talteori

Hvis man tager et tilfældigt tal mellem en og en million, hvad er sandsynligheden for, at det er primært? Dette er bare en anden måde at spørge, hvor mange primtal der er mellem en og en million. Og hvor mange skillevægge vil det have i gennemsnit?

Meget af den sandsynlige talteori kan ses som en gren af studiet af variabler, der er næsten uafhængige af hinanden. Nogle gange fører en ikke-streng probabilistisk tilgang til en række heuristiske algoritmer og åbne problemer, især Cramér-formodningen .

Kombinatorisk talteori

Lad A være et sæt N- heltal. Overvej sættet A + A = { m + n | m , n ∈ A } består af alle summer af to elementer af A . Er A + A meget større end A ? Knap højere? Ser A ud som en aritmetisk sekvens ? Hvis vi starter med et stort nok uendeligt sæt A , indeholder det så mange elementer i den aritmetiske progression ? ${\ displaystyle a + b, a + 2b, a + 3b, \ ldots, a + nb}$

Disse spørgsmål er karakteristiske for kombinatorisk talteori. Hans interesse i spørgsmål om vækst og distribution skyldes til dels udviklingen af dens bånd til den ergodiske teori , teorien om endelige grupper , modelteorien og andre områder. De studerede sæt behøver ikke at være sæt af heltal, men snarere delmængder af ikke- kommutative grupper , hvor multiplikationssymbolet og ikke tillægssymbolet traditionelt anvendes; de kan også være undergrupper af ringe .

Algoritmisk talteori

Der er to hovedspørgsmål: "kan vi beregne dette?" Og "kan vi beregne det hurtigt?" ". Enhver kan teste, om et tal er prime eller, hvis det ikke er, få dets primære faktorisering ; gør det hurtigt mere kompliceret. I dag kender vi hurtige algoritmer til test af primality , men på trods af meget arbejde (både teoretisk og praktisk) er ingen algoritme virkelig hurtig til denne opgave.

Vanskeligheden ved en beregning kan være nyttig: moderne beskedkrypteringsprotokoller (for eksempel RSA ) afhænger af funktioner, der er kendt for alle, men hvis inverser kun er kendt af et lille antal, og det ville tage for lang tid at finde dem ved deres egne ressourcer . Mens der er mange beregningsproblemer uden for tallteori, er de fleste aktuelle krypteringsprotokoller baseret på vanskeligheden ved nogle få teoretiske problemer.

Det viser sig, at nogle ting måske slet ikke kan beregnes ; dette kan bevises i nogle tilfælde. For eksempel blev det i 1970 bevist og dermed løst Hilberts tiende problem , at der ikke er nogen Turing-maskine , der er i stand til at løse alle diofantiske ligninger. Dette betyder, at der i betragtning af et sæt beregne- og tællbare aksiomer er diofantiske ligninger, for hvilke der ikke er noget bevis fra aksiomerne, om ligningssættet har hele løsninger eller ej.

Historie

Oprindelse

Aritmetikens daggry

Den historiske opdagelse af aritmetisk natur er et fragment af en tabel: den ødelagte lerplade Plimpton 322 ( Larsa , Mesopotamien , ca. 1800 f.Kr.) indeholder en liste over " Pythagoras-tredobler ", det vil sige heltal som f.eks . Disse er for store til at være opnået ved udtømmende forskning . Tablettens layout antyder, at den blev konstrueret ved hjælp af det, der i moderne sprog svarer til identitet ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (x - {\ frac {1} {x}} \ right) \ right) ^ {2} + 1 = \ left ({\ frac {1} {2}} \ venstre (x + {\ frac {1} {x}} \ højre) \ højre) ^ {2}}

Mens den babylonske talteori består af dette enkelt fragment, var babylonisk algebra (i betydningen high school "algebra" ) usædvanligt veludviklet. Pythagoras ville have lært matematik fra babylonierne. Mange tidligere kilder siger, at Thales og Pythagoras rejste og studerede i Egypten .

Opdagelsen af irrationalitet √ 2 tilskrives de tidlige Pythagoræerne. Denne opdagelse ser ud til at have forårsaget den første krise i matematisk historie; dens bevis og formidling til tider tilskrives Hippasus , som blev udvist fra den pythagorasiske sekt. Dette tvang til at skelne mellem tal (heltal og rationelle) på den ene side og længder og proportioner (reelle tal) på den anden.

Den kinesiske restklassesætning vises som en øvelse i traktaten Sunzi suanjing ( III E , IV E eller V th århundrede f.Kr.. ).

Det antikke Grækenland og begyndelsen af den hellenistiske periode

Bortset fra et par fragmenter er matematikken i det antikke Grækenland kendt for os enten gennem rapporterne fra nutidige ikke-matematikere eller gennem matematiske værker fra den hellenistiske periode. I tilfælde af talteori inkluderer dette Platon og Euklid . Platon var interesseret i matematik og skelnede tydeligt mellem aritmetik og calculus. (For aritmetik hørte han teorien om antallet.) Det er gennem en af dialogerne af Platon, Theaetetus , vi ved, at Theodore beviste, at det er irrationelle tal . Theaetetus var ligesom Platon en discipel af Theodore; han arbejdede med at skelne mellem forskellige former for commensurability og var derfor uden tvivl en pioner inden for studiet af digitale systemer. ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ dots, {\ sqrt {17}}}$

Euclid viet en del af sine elementer til primtal og delelighed, centrale emner i talteori (Bøger VII til IX i Euclids elementer ). Især gav han en algoritme til at beregne den største fælles skiller med to tal ( Elements , Prop. VII.2) og det første kendte bevis for eksistensen af en uendelighed af primtal ( Elements , Prop. IX. 20).

Diophantus

Vi ved meget lidt om Diophantus af Alexandria ; han levede sandsynligvis i det tredje århundrede e.Kr., dvs. omkring fem hundrede år efter Euclid. Den Arithmetica er en samling af problemer, hvor opgaven er at finde rationelle løsninger til ligninger, som regel i form eller eller . I dag taler vi således om diofantiske ligninger, når vi taler om polynomiske ligninger, som vi skal finde rationelle eller heltalsløsninger for. ${\ displaystyle f (x, y) = z ^ {2}}$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = w ^ {2}}$

Mens Diophantus primært var interesseret i rationelle løsninger, formodede han om naturlige heltal, såsom det faktum, at ethvert heltal er summen af fire firkanter .

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Mens græsk astronomi sandsynligvis har haft indflydelse på indisk læring, ser det ud til, at indisk matematik er en oprindelig tradition, indtil det indfører trigonometri Faktisk er der ingen beviser for, at elementer af Euclid har nået Indien inden XVIII th århundrede.

Aryabhata viste, at par af kongruens (476-550 f.Kr.). , Kunne løses ved en metode, han kaldte kuṭṭaka ; det er en tæt og generaliseret procedure i Euclids algoritme , som sandsynligvis blev opdaget uafhængigt i Indien. Brahmagupta (628 f.Kr.) begyndte studiet af kvadratiske ligninger, især Pell-Fermat ligningen , som Archimedes allerede havde været interesseret i, og som kun begyndte at blive løst i Vesten med Fermat og Euler . En generel fremgangsmåde (metode chakravala ) for at løse ligningen af Pell blev fundet af Jayadeva (citeret i XI th århundrede, er hans arbejde tabt); den første overlevende eksponering vises i Bija-ganita af Bhāskara II . Indiske matematik forblev ukendt i Europa indtil slutningen af det XVIII th århundrede. Værket af Brahmagupta og Bhāskara blev oversat til engelsk i 1817 af Henry Colebrooke . ${\ displaystyle n \ equiv a_ {1} {\ bmod {m}} _ {1}}$ ${\ displaystyle n \ equiv a_ {2} {\ bmod {m}} _ {2}}$

Aritmetik i den islamiske guldalder

Tidligt i IX th århundrede, kalif Al-Mamun beordrede oversættelse af talrige værker af græske matematik og mindst ét værk sanskrit (det Sindhind , som måske eller måske ikke er den Brāhmasphuṭasiddhānta af Brahmaguptas ). Diophantus 'hovedværk, Arithmetica , blev oversat til arabisk af Qusta ibn Luqa (820-912). Ifølge Roshdi Rashed vidste Alhazen , en samtid af Al-Karaji , hvad der senere ville blive kaldt Wilsons sætning .

Vesteuropa i middelalderen

Bortset fra en afhandling om firkanter i aritmetisk progression af Fibonacci , blev der ikke gjort fremskridt inden for talteori i Vesteuropa i middelalderen . Ting begyndte at ændre sig i Europa i slutningen af renæssancen takket være en fornyet undersøgelse af det antikke Grækenlands værker.

Moderne talteori

Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) offentliggjorde aldrig sine skrifter; især er hans arbejde med talteori næsten udelukkende indeholdt i breve til matematikere og i private noter og margener. Han skrev næppe noget bevis for talteori. Han havde ingen rollemodel i marken. Han brugte gentagne gange gentagelsesræsonnement og introducerede metoden til uendelig afstamning . En af Fermats første interesser var perfekte tal (som vises i Euclids Elements IX) og venlige tal ; dette fører ham til at arbejde på heltalsdelere, der fra begyndelsen var blandt emnerne i korrespondancen (år 1636 og derefter), som bragte ham i kontakt med datidens matematiske samfund. Han havde allerede nøje studeret Bachet-udgaven af Diophantus; efter 1643 vendte hans interesser sig til Diophantine og summen af kvadratproblemer (også behandlet af Diophantus).

Fermats resultater i aritmetik inkluderer:

Den Fermats lille sætning (1640), hvilket indikerer, at hvis en ikke er deleligt med et primtal p , derefter . ${\ displaystyle a ^ {p-1} \ equiv 1 {\ bmod {p}}}$
Hvis a og b ikke er prime for hinanden, kan det ikke deles med noget primtal, der er kongruent til -1 modulo 4, og ethvert primtal, der er kongruent til 1 modulo 4, kan skrives som . Disse to udsagn stammer fra 1640; i 1659 skrev Fermat til Huygens, at han havde bevist den sidste erklæring ved uendelig afstamning. Fermat og Frenicle har gjort noget arbejde (nogle fejlagtige) på andre kvadratiske former. $a ^ {2} + b ^ {2}$ $a ^ {2} + b ^ {2}$
Fermat stillede problemet med at løse som en udfordring for engelske matematikere (1657). Problemet blev løst på få måneder af Wallis og Brouncker. Fermat betragtede deres løsning som gyldig, men påpegede, at de havde leveret en algoritme uden bevis (som Jayadeva og Bhaskara, selvom Fermat aldrig ville vide det). Han siger, at bevis kan findes ved uendelig afstamning. ${\ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1}$
Fermat erklærer og beviser (ved uendelig afstamning) som et tillæg til observationer om Diophantus (Obs XLV), at den diofantiske ligning ikke har nogen ikke-trivielle løsninger i heltal. Fermat nævnte også for sine korrespondenter, at der ikke er nogen ikke-trivielle løsninger på , og at dette kunne bevises ved uendelig afstamning. Det første kendte bevis skyldes Euler (1753, ved uendelig afstamning). ${\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3}}$

Fermats erklæring ("Fermats sidste sætning") om at have vist, at der ikke er nogen løsninger på ligningen for alt, vises kun i margenen på en kopi af Diophantus ' Arithmetica . ${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$ $n \ geq 3$

Euler

Interessen for Leonhard Euler (1707-1783) til teorien om numre blev først stimuleret i 1729, da en af hans venner, amatør Goldbach , instrueret ham til en del af arbejdet for Fermat om emnet. Dette er blevet kaldt "genfødsel" af moderne talteori efter Fermats relative mangel på succes med at henlede opmærksomheden fra hans samtidige om emnet. Eulers arbejde med talteori inkluderer følgende:

Bevis for Fermats udsagn . Dette inkluderer Fermats lille sætning (generaliseret af Euler til ikke-primære moduler); det faktum, at hvis og kun hvis ; et værk med henblik på bevis for sætningen af de fire firkanter (det første komplette bevis er af Joseph-Louis Lagrange (1770), derefter forbedret af Euler selv); fraværet af ikke-nul-heltalsløsninger til (hvilket antyder sagen n = 4 i Fermats sidste sætning, sagen n = 3 blev også behandlet af Euler). ${\ displaystyle p = x ^ {2} + y ^ {2}}$ ${\ displaystyle p \ equiv 1 {\ bmod {4}}}$ ${\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {2}}$
Den Pell-Fermat ligningen , og dens forbindelse til kædebrøker .
Første skridt mod analytisk talteori . I sit arbejde med summer på fire firkanter, skillevægge , femkantede tal og fordelingen af primtal, var Euler banebrydende for brugen af, hvad der kan ses som analyse (især uendelige serier ) i teorien. Han gjorde bemærkelsesværdigt (men ikke helt stringent) tidligt arbejde med det, der senere ville blive kaldt Riemann zeta-funktionen .
Kvadratiske former. Efter Fermat fortsatte Euler sin undersøgelse af spørgsmålet om, hvilke primtal der kunne udtrykkes i formen og således varede for loven om kvadratisk gensidighed . ${\ displaystyle x ^ {2} + Ny ^ {2}}$
Diofantiske ligninger. Euler arbejdede på nogle diofantiske ligninger. Især studerede han Diophantus 'arbejde og forsøgte at systematisere det, men tiden var endnu ikke moden til en sådan indsats - algebraisk geometri var stadig i sin barndom. Han bemærkede en sammenhæng mellem diofantinske problemer og elliptiske integraler , som han selv havde indledt studiet af.

Lagrange, Legendre og Gauss

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) var den første til at give komplette beviser til visse værker og observationer af Fermat og Euler - for eksempel sætningen af fire firkanter og teorien om Pell-Fermat-ligningen . Han studerede også kvadratiske former, der definerer deres ækvivalensforhold, viser hvordan man sætter dem i reduceret form osv.

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) var den første til at angive loven om kvadratisk gensidighed . Han formodede også, at i dag svarer til primtal sætning og Dirichlets sætning om aritmetiske fremskridt . Han gav en fuldstændig analyse af ligningen . I slutningen af sit liv var han den første til at bevise Fermats sidste sætning for n = 5. ${\ displaystyle ax ^ {2} + af ^ {2} + cz ^ {2} = 0}$

I sine Disquisitiones Arithmeticae (1798) demonstrerede Carl Friedrich Gauss (1777-1855) loven om kvadratisk gensidighed og udviklede teorien om kvadratiske former. Han introducerede også kongruensnotation og viet et afsnit til primality tests . Den sidste del af Disquisitiones forbinder rødderne til enhed til talteori. På denne måde indledte Gauss utvivlsomt arbejdet med Évariste Galois og algebraisk talteori .

Opdeling i underdomæner

Begyndende i det tidlige XIX th århundrede har følgende udviklinger fandt sted gradvist:

Fremkomsten af talteori som studiefelt.
Udviklingen af meget af den moderne matematik, der er nødvendig for moderne talteori: kompleks analyse , gruppeteori , Galois-teori - ledsaget af større strenghed i analyse og abstraktion i algebra.
Den primitive underopdeling af talteori i dens moderne underdomæner, især analytisk og algebraisk talteori. Algebraisk talteori opstår med studiet af gensidighed og cyklotomi, men sidstnævnte startede virkelig med udviklingen af abstrakt algebra og værdiansættelsesteori . Et udgangspunkt for analytisk talteori er Dirichlets sætning om aritmetiske progressioner (1837), hvis bevis introducerede L- funktioner og involverede asymptotisk analyse . Den første brug af analytiske ideer i talteorien går tilbage til Euler (1730) med brug af serier og grænser. Anvendelsen af kompleks analyse i talteorien kommer senere: Bernhard Riemanns (1859) arbejde med zeta-funktionen er udgangspunktet. Den sætning af de fire pladser i Jacobi (1839) har taget en ledende rolle i analytisk talteori ( modulære former ).

Citere

“Matematik er dronningen af videnskaben, og talteori er dronningen af matematik. » Gauss

Referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Number theory " ( se listen over forfattere ) .

Introduktion til talfelters kohomologi . “ Die Zahlentheorie nimmt unter the mathematishen Disziplinen one ähnlich idealisierte Stellung ein wie the Mathematik selbst unter the anderen Wissenschaften. "
Se f.eks. Den indledende kommentar til Iwaniec og Kowalski 2004 , s. 1.
Apostol 1976 , s. 7.
Granville 2008 , afsnit 1: " Hovedforskellen er, at man i algebraisk talteori [...] typisk overvejer spørgsmål med svar, der er givet ved nøjagtige formler, mens man i analytisk talteori [...] ser efter gode tilnærmelser . "
Granville 2008 , afsnit 3: " [Riemann] definerede det, vi nu kalder Riemann zeta-funktionen [...] Riemanns dybe arbejde fødte vores emne [...] "
Se bemærkningerne i indledningen til Iwaniec og Kowalski 2004 , s. 1: " Hvor meget stærkere ... " .
Edwards 2000 , s. 79.
Martin Davis , Yuri Matiyasevich og Julia Robinson , ”Hilbert tiende Problem: diofantisk ligninger: positive aspekter af en negativ Løsning” , i Felix E. Browder (eds.), Matematiske udvikling som følge af Hilbert Problemer , AMS , coll. “Proc. Pæn. Ren matematik. "( N o XXVIII.2)1976( ISBN 0-8218-1428-1 , zbMATH 0346.02026 ) , s. 323-378. Genoptrykt i The Collected Works of Julia Robinson , redigeret af Solomon Feferman , s. 269-378, AMS, 1996.
Neugebauer ( Neugebauer 1969 , s. 36-40) diskuterer tabellen detaljeret og nævner i øvrigt Euclids metode i moderne notation: ( Neugebauer 1969 , s. 39).
Neugebauer og Sachs 1945 , s. 40. Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
Udtrykket takiltum er problematisk. Robson foretrækker gengivelsen
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) " Hold-firkanten af diagonalen, hvorfra 1 rives ud, så kortsiden kommer op ... " Robson 2001 , s. 192.
Robson 2001 , s. 189. - Andre kilder giver den moderne formel . Van der Waerden giver både den moderne formel og den, Robson synes at foretrække. ( van der Waerden 1961 , s. 79). ${\ displaystyle (p ^ {2} -q ^ {2}, 2pq, p ^ {2} + q ^ {2})}$
van der Waerden 1961 , s. 184.
van der Waerden 1961 , s. 43.
Jamblique , Pythagoras liv , citeret i van der Waerden 1961 , s. 108. Se også Porphyry , Life of Pythagore , afsnit 6. Van der Waerden ( van der Waerden 1961 , s. 87-90) styrker ideen om, at Thales kendte babylons matematik.
Herodot (II. 81) og Isocrates ( Busiris 28), citeret i (en) Carl A. Huffman og Edward N. Zalta , "Pythagoras" i Stanford Encyclopaedia of Philosophy ,8. august 2011( læs online ). Se Eudemus om Thales Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
ap.
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) Proclus, 65,7 (fx i Morrow 1992 , s. 52) citeret i: O'Grady 2004 , s. 1. Proclus bruger et værk af Eudemus fra Rhodos (nu nedlagt), kataloget over geometre . Se også introduktion, Morrow 1992 , s. xxx Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst til oversættelse:
om Proclus pålidelighed
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) .
Platon, Theaetetus , s. 147 B, citeret i von Fritz 2004 , s. 212: " Theodorus skrev noget om rødder for os, såsom rødderne til tre eller fem, der viste, at de er umålelige af enheden; ... " . Se også Theodore of Cyrene spiral .
van der Waerden 1961 , s. 109.
Becker 1936 .
von Fritz 2004 .
Heath 1921 , s. 76.
Sunzi Suanjing , kap. 3, problem 26. Dette kan findes i Lam og Ang 2004 , s. 219-220, som indeholder en komplet oversættelse af Suan Ching (efter Qian 1963 ). Se også diskussionen i Lam og Ang 2004 , s. 138-140.
Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
Datoen for teksten er indsnævret til 220-420 e.Kr. (Yan Dunjie) eller 280-473 e.Kr. (Wang Ling) gennem interne beviser (= beskatningssystemer antaget i teksten).
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) Se Lam og Ang 2004 , s. 27-28.
Boyer og Merzbach 1991 , s. 82.
Plofker 2008 , s. 119.
Muligheden for tidlig kontakt mellem babylonisk og indisk matematik er fortsat et spørgsmål om formodninger. ( Plofker 2008 , s. 42).
Mumford 2010 , s. 387.
Āryabhaṭa, Āryabhatīya , kap. 2, c. 32-33, citeret i: Plofker 2008 , s. 134-140. Se også Clark 1930 , s. 42-50. En væsentlig mere eksplicit beskrivelse af kuṭṭaka blev senere lavet i Brahmagupta , Brāhmasphuṭasiddhānta , XVIII, 3-5 (i Colebrooke 1817 , s. 325, citeret i Clark 1930 , s. 42).
Mumford 2010 , s. 388.
Plofker 2008 , s. 194.
Plofker 2008 , s. 283.
Colebrooke 1817 .
Colebrooke 1817 , s. lxv, citeret i (i) JFP Hopkins , "Geografisk og navigationslitteratur" , i JL Young, JD Latham og RB Serjeant, Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period , Cambridge University Press, coll. "Cambridge History of Arabic Literature",1990( ISBN 978-0-521-32763-3 ) , s. 302. Se også forordet (i) Eduard Sachau , Alberuni 's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India , vol. 1, London, Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co.,1888( online præsentation ), citeret i Smith 1958 , s. 168.
(in) David Pingree , " The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq (in) " , Journal of Near Eastern Studies , bind. 26,1968, s. 97-125og (en) David Pingree , " The Fragments of the Works of al-Fazari " , Journal of Near Eastern Studies , bind. 28,1970, s. 103-123, citeret i Plofker 2008 , s. 256.
Udslæt 1980 , s. 305-321.
Weil 1984 , s. 45-46.
Weil 1984 , s. 118. Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
Dette var mere i talteorien end i andre områder (bemærkning i Mahoney 1994 , s. 284). Bachets egne beviser var "latterligt klodset"
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) ( Weil 1984 , s. 33).
Mahoney 1994 , s. 48, 53-54. Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
De første emner i Fermats korrespondance omfattede skillevægge ("alikvotdele") og mange emner uden for talteori; se listen i brevet fra Fermat til Roberval, 22.IX.1636
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) , Garveri og Henry 1891 , bind. II, s. 72, 74, citeret i Mahoney 1994 , s. 54.
Weil 1984 , s. 1-2.
Weil 1984 , s. 53.
Garveri og Henry 1891 , bind. II, s. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, citeret i Weil 1984 , s. 56.
Garveri og Henry 1891 , bind. II, s. 204, citeret i Weil 1984 , s. 63. Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk oversættelse:
Alle følgende citater fra Fermats Varia Opera er hentet fra Weil 1984 , kap. II. Standardværket Tannery & Henry inkluderer en revision af Fermats postume Varia Opera Mathematica oprindeligt udarbejdet af hans søn
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) ( Fermat 1679 ).
Garveri og Henry 1891 , bind. II, s. 213.
Garveri og Henry 1891 , bind. II, s. 423.
Weil 1984 , s. 80, 91-92.
Weil 1984 , s. 92.
Garveri og Henry 1891 , bind. Jeg, s. 340-341.
Weil 1984 , s. 115.
Weil 1984 , s. 115-116.
Weil 1984 , s. 2, 172.
Varadarajan 2006 , s. 9.
Weil 1984 , s. 2 og Varadarajan 2006 , s. 37
Varadarajan 2006 , s. 39 og Weil 1984 , s. 176-189.
Weil 1984 , s. 178-179.
Weil 1984 , s. 174. Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst at oversætte:
Euler var generøs i at give andre kredit ( Varadarajan 2006 , s. 14), ikke altid korrekt.
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+)
Weil 1984 , s. 183.
Varadarajan 2006 , s. 45-55; se også kap. III.
Varadarajan 2006 , s. 44-47.
Weil 1984 , s. 177-179.
Edwards 1983 , s. 285-291.
Varadarajan 2006 , s. 55-56.
Weil 1984 , s. 179-181.
Weil 1984 , s. 181.
Weil 1984 , s. 327-328 og 332-334.
Weil 1984 , s. 337-338.
Goldstein og Schappacher 2007 , s. 14.
Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
Fra forordet til
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) Disquisitiones Arithmeticae ; Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
oversættelsen er taget fra
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) Goldstein og Schappacher 2007 , s. 16
Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
Se diskussionen i afsnit 5 i Goldstein og Schappacher 2007 . Tidlige tegn på selvbevidsthed er allerede til stede i breve fra Fermat: hans bemærkninger om, hvad talteori er, og hvordan "Diophantus 'arbejde [...] ikke rigtig tilhører [det]" (citeret i
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+) Weil 1984 , s. 25).
Davenport og Montgomery 2000 , s. 1.
Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
Se beviset i Davenport og Montgomery 2000 , afsnit 1.
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+)
Iwaniec og Kowalski 2004 , s. 1.
Varadarajan 2006 , afsnit 2.5, 3.1 og 6.1.
Granville 2008 , s. 322-348.
Del af engelsk tekst, der skal oversættes til fransk
Engelsk tekst, der skal oversættes:
Se kommentaren til vigtigheden af modularitet i Iwaniec og Kowalski 2004 , s. 1.
Oversæt denne tekst • Værktøjer • (+)

Omtalte værker

(en) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , Springer, coll. "Undergraduate Texts in Mathematics",1976, 340 s. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , læs online )
(de) Oskar Becker , “ Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente ” , Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik , vol. 3,1936, s. 533-553
(en) Carl Benjamin Boyer og Uta C. Merzbach , A History of Mathematics , New York, Wiley ,1991, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1968), 736 s. ( ISBN 978-0-471-54397-8 ), 1968-udgave på archive.org
(en) Aryabhata og Walter Eugene Clark (oversætter), Āryabhaṭīya af Āryabhaṭa: Et gammelt indisk værk om matematik og astronomi , University of Chicago Press ,1930( læs online )
(en) Henry Thomas Colebrooke , Algebra, med aritmetik og mensurering, fra Sanscrit of Brahmegupta og Bháscara , London, J. Murray ,1817( læs online )
(en) Harold Davenport og Hugh L. Montgomery , Multiplikativ talteori , Springer, koll. " GTM " ( nr . 74)2000, 3 (revideret) udg. ( ISBN 978-0-387-95097-6 )
(in) Harold M. Edwards , " Euler and Quadratic Reciprocity " , Mathematics Magazine , bind. 56, nr . 5,1983, s. 285-291 ( JSTOR 2690368 )
(en) Harold M. Edwards , Fermats sidste sætning: en genetisk introduktion til algebraisk talteori , Springer Verlag, koll. "GTM" ( nr . 50)2000, genoptryk af 1977-udgaven ed. ( 1 st ed. 1977) ( ISBN 978-0-387-95002-0 , læse online )
(fr + la) Pierre de Fermat , Varia Opera Mathematica , Toulouse, Joannis Pech,1679( læs online )
(en) Kurt von Fritz , "Opdagelsen af uforlignelig af Hippasus fra Metapontum" , i J. Christianidis, Klassikere i historien om græsk matematik , Berlin, Kluwer (Springer),2004( ISBN 978-1-4020-0081-2 )
(en) Catherine Goldstein og Norbert Schappacher , "En bog på jagt efter en disciplin" , i C. Goldstein, N. Schappacher og Joachim Schwermer, The Shaping of Arithmetic after CF Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae" , Berlin & Heidelberg, Springer,2007( ISBN 978-3-540-20441-1 , læs online ) , s. 3-66
(en) Andrew Granville , "Analytisk talteori" , i Timothy Gowers , June Barrow-Green og Imre Leader , Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press,2008( ISBN 978-0-691-11880-2 , læs online )
(en) Thomas L. Heath , A History of Greek Mathematics , bind. 1: Fra Thales til Euclid , Oxford, Clarendon Press ,1921( læs online )
(en) Henryk Iwaniec og Emmanuel Kowalski , Analytic Number Theory , vol. 53, Providence, RI, AMS, koll. "AMS Colloquium Publications",2004( ISBN 0-8218-3633-1 )
(da) Lay Yong Lam og Tian Se Ang , flygtige fodspor: sporing af opfattelsen af aritmetik og algebra i det antikke Kina , Singapore, World Scientific,2004( ISBN 978-981-238-696-0 , læs online )
(en) MS Mahoney , Den matematiske karriere fra Pierre de Fermat, 1601–1665 , Princeton University Press,1994, 2 nd ed. ( ISBN 978-0-691-03666-3 , læs online )
(en) Proclus og Glenn Raymond Morrow (redaktør og oversætter), en kommentar til bog 1 i Euclids elementer , Princeton University Press,1992( ISBN 978-0-691-02090-7 , læs online )
(en) David Mumford , " Matematik i Indien : gennemgået af David Mumford " , Notices of the American Mathematical Society , bind. 57, nr . 3,2010, s. 385-390 ( læs online )
(en) Otto E. Neugebauer , The Exact Sciences in Antiquity , New York, Dover Publications ,1969, korrigeret genoptryk af 1957-udgaven ed. , 240 s. ( ISBN 978-0-486-22332-2 , læs online )
(en) Otto E. Neugebauer , Abraham Sachs (en) og Albrecht Götze , Mathematical Cuneiform Texts , American Oriental Society etc., coll. "American Oriental Series" ( nr . 29)1945
(en) Patricia O'Grady , " Thales of Miletus " , Internet Encyclopaedia of Philosophy,September 2004(adgang til 7. februar 2012 )
(en) Kim Plofker , Matematik i Indien , Princeton (NJ), Princeton University Press ,2008, 357 s. ( ISBN 978-0-691-12067-6 , læs online ).
(zh) Baocong Qian ( dir. ), Suanjing shi shu (Ti matematiske klassikere) , Beijing, Zhonghua shuju,1963( læs online )
Roshdi Rashed , " Ibn al-Haytham og Wilsons sætning ," Archive for History of Exact Sciences , bind. 22, nr . 4,1980, s. 305-321 ( DOI 10.1007 / BF00717654 )
(en) Eleanor Robson , " Hverken Sherlock Holmes eller Babylon: en revurdering af Plimpton 322 " , Historia Mathematica , bind. 28, nr . 28,2001, s. 167-206 ( DOI 10.1006 / hmat.2001.2317 , læs online [ arkiv af21. oktober 2014] )
(en) DE Smith , Mathematikhistorie , bind. I, New York, Dover-publikationer,1958
(fr + la) Paul Tannery , Charles Henry (redaktører) og Pierre de Fermat , Œuvres de Fermat , Paris, Gauthier-Villars ,1891, 4 vol. (1912)
(en) VS Varadarajan , Euler Through Time: A New Look on Old Themes , AMS,2006( ISBN 978-0-8218-3580-7 , læs online )
(en) Bartel L. van der Waerden og Arnold Dresden (oversætter), Science Awakening , vol. 2, New York, Oxford University Press,1961
(en) André Weil , Number Theory: En tilgang gennem historien fra Hammurapi til Legendre [ detalje af udgaver ]

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

(da) Tom M. Apostol , En introduktion til talteorien ( matematikanmeldelser 0568909 )
GH Hardy og EM Wright ( oversat fra engelsk af François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introduktion til talteorien [“ En introduktion til teorien om tal ”] [ detaljer i udgaven ]
(en) Hugh L. Montgomery og Robert C. Vaughan , Multiplicative Number Theory , vol. I: Klassisk teori , Cambridge (GB), Cambridge University Press ,2007, 552 s. ( ISBN 978-0-521-84903-6 , læs online )
Jean-Pierre Serre , aritmetik ,1970[ detaljer om udgaver ]
(en) CA Truesdell , "Leonard Euler, Supreme Geometer" , i John Hewlett (overs.), Leonard Euler, Elements of Algebra , New York, Springer-Verlag,1984, 5 th ed. ( ISBN 978-0-387-96014-2 , læs online ). Onlineversionen indeholder ikke introduktionen til Truesdell, som igen gengives (let forkortet) i:
(da) CA Truesdell , “Leonard Euler, Supreme Geometer” , i William Dunham, The Genius of Euler: refleksioner over hans liv og arbejde , New York, MAA , koll. "MAA tercentenary Euler-fest" ( nr . 2),2007( ISBN 978-0-88385-558-4 , læs online )

eksterne links

Introduktion til talteori
Uddannelsestillæg fra OpenClassRoom
(en) JS Milne , " Algebraisk talteori " ,2014