B-spline

I matematik er en B-spline en lineær kombination af positive splines med minimal kompakt støtte. B-splines er generaliseringen af Bézier-kurver , de kan igen generaliseres af NURBS .

Definition

Givet m +1 noder t i i [0, 1] med en grad spline kurve er en parametrisk kurve sammensat af B-spline-funktioner i grad n , hvor P jeg danner en polygon kaldes kontrol polygon  ; antallet af punkter, der sammensætter denne polygon, er lig med m - n .

De m - n B-spline funktioner af graden n er defineret af induktion på lavere grad:

Når knudepunkterne er ækvidistante, dvs. når de er i aritmetisk progression er B-splines siges at være ”ensartet”: dette er tilfældet for Bézier kurver , som er ensartede B-splines, hvis knudepunkter t jeg (for jeg mellem 0 og m ) danner en aritmetisk sekvens fra 0 til 1 med et konstant trin 1 / m , og hvor graden n af Bézier-kurven ikke kan være større end m .

Ved forlængelse, når to på hinanden følgende knudepunkter og er slået sammen, udgør en  : dette har den virkning, at det definerer en diskontinuitet i tangenten, for det punkt i kurven, der er parametreret med en værdi af t , derfor skabes der en ikke-vinkel-toppunktret; dog er det ofte enklere at definere denne "udvidede B-spline" som foreningen af ​​to B-splines defineret med forskellige noder, idet disse splines simpelthen er forbundet med dette fælles toppunkt uden at indføre nogen vanskeligheder i den parametriske evaluering her. B-splines for bestemte værdier af parameteren t . Men dette gør det så muligt at overveje enhver simpel polygon som en udvidet B-spline.

Ejendomme

Formen på de grundlæggende funktioner bestemmes af nodernes position.

Kurven er inde i den konvekse konvolut af kontrolpunkterne.

En B-spline af grad n er ikke-nul i intervallet [ t i , t i + n + 1 ]:

Med andre ord ændres kurvens form kun ved at flytte et kontrolpunkt lokalt.

Endimensionelle b-splines

B-splines kan bruges som grundlæggende funktioner i tilnærmelsesteori. B-spline af grad n er givet ved: , hvor (y) + er en udvidet version af funktionen positiv del  :

Vi genkender især spline af grad 0 som portfunktion .

Disse funktioner interpolerer ikke, men deres høje regelmæssighed på et kompakt medium gør dem til interessante kandidater i tilnærmelsen af ​​funktioner.

Referencer

  1. (i) P. Thevenaz, Blu T. og M. Unser, "  interpolation revisited  " , IEEE Transactions on Medical Imaging , Vol.  19, nr .  7,juli 2000( DOI  10.1109 / 42.875199 )

Interne links

eksterne links

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">