Matematik



Den information, vi har kunnet samle om Matematik, er blevet omhyggeligt gennemgået og struktureret for at gøre den så nyttig som muligt. Du er sandsynligvis kommet her for at finde ud af mere om Matematik. På internettet er det let at fare vild i et virvar af sider, der taler om Matematik, men som ikke giver dig det, du gerne vil vide om Matematik. Vi håber, at du vil fortælle os i kommentarerne, om du kan lide det, du har læst om Matematik nedenfor. Hvis de oplysninger om Matematik, som vi giver dig, ikke er hvad du søgte, så lad os det vide, så vi kan forbedre denne hjemmeside dagligt.

.

De matematik (eller matematisk ) er et sæt af viden abstrakt resulterende fra ræsonnement logik anvendes til forskellige objekter, såsom sæt matematik, numre , de former , de strukturer , de transformationeretc.  ; såvel som de matematiske forhold og operationer, der findes mellem disse objekter. De er også forskningsfelt, der udvikler denne viden såvel som den disciplin, der lærer den.

De har flere grene såsom: aritmetik , algebra , analyse , geometri , matematisk logiketc. Der er også en vis adskillelse mellem ren matematik og anvendt matematik .

Matematik skelnes fra andre videnskaber ved et bestemt forhold til virkeligheden, fordi observation og eksperiment ikke vedrører fysiske objekter; matematik er ikke en empirisk videnskab . De er fuldstændig intellektuelle, baseret på aksiomer, der erklæres for at være sande, eller på postulater, der er midlertidigt accepteret. Disse aksiomer udgør dets fundament og afhænger derfor ikke af noget andet forslag. En matematisk udsagn - generelt kaldet, efter at være valideret, en sætning , proposition, lemma , faktum, scholia eller følge - betragtes som gyldig, når den formelle diskurs, der fastslår dens sandhed, respekterer en bestemt rationel struktur kaldet demonstration eller logisk deduktiv begrundelse. En erklæring, som endnu ikke er demonstreret, men som alligevel anses for plausibel , kaldes en formodning .

Selvom matematiske resultater er rent formelle sandheder, finder de anvendelser inden for andre videnskaber og inden for forskellige teknologiske områder . Dette er, hvordan Eugene Wigner taler om "den urimelige effektivitet i matematik inden for naturvidenskab".

Etymologi

Ordet "matematisk" kommer fra græsk gennem latin . Ordet μάθημα ( máthēma ) stammer fra verbet μανθάνω ( manthánô ) ("at lære"). Det betyder "videnskab, viden" og derefter "matematik" af μαθὴματα  ; det fødte adjektivet μαθηματικός ( mathematikos ), først "relateret til viden" og derefter "som vedrører matematiske videnskaber". Dette adjektiv blev vedtaget i latin ( mathematicus ) og i de romanske sprog derefter ( "matematik" i fransk , matematica i italienskosv ), såvel som i mange andre sprog.

Den neutrale form for adjektivet μαθηματικός er blevet underbygget i τα μαθηματικά ( ta mathēmatiká ) for at betegne de matematiske videnskaber som en helhed. Denne flertalsform, brugt af Aristoteles , forklarer brugen af ​​flertal til det substantive på latin i Cicero ( mathematica ) derefter på fransk og på visse andre europæiske sprog.

Brugen af ​​flertallet er en arv fra oldtiden , da quadrivium grupperede de fire såkaldte “matematiske” kunst: aritmetik, geometri, astronomi og musik. Entalet ("matematik") bruges undertiden på fransk, men "ordet giver derefter sammenhængen et strejf af arkaisme eller didaktik  ". Imidlertid insisterer nogle forfattere efter Nicolas Bourbaki på brugen af ​​ental for at vise standardiseringen med den moderne aksiomatiske tilgang: Jean Dieudonné ser ud til at være den første til at have insisteret på dette punkt og den store afhandling de Bourbaki (af som han er en af ​​hovedredaktørerne) har titlen Elementer i matematik , mens derimod den historiske fascikule, der ledsager den, har titlen Elementer i matematikens historie . Cédric Villani anbefaler brugen af ​​ental til at bekræfte domænet.

I skoleslang er udtrykket "matematik" ofte apokopieret i "matematik", undertiden også skrevet "matematik".

Historie

Et portræt af Euclid fra Megara , som faktisk repræsenterer matematikeren Euclid .

Det er sandsynligt, at mennesket udviklede matematiske færdigheder inden begyndelsen af skrivningen . De tidligste genkendte objekter inden for beregningsevner er at tælle pinde , såsom benet fra Ishango (i Afrika ) fra 20.000 fvt. Udviklingen af ​​matematik som viden transmitteret i de første civilisationer er knyttet til deres konkrete anvendelser: handel , høststyring , måling af områder , forudsigelse af astronomiske begivenheder og undertiden udførelse af religiøse ritualer .

Den første udviklingsmatematik involverede udvinding af kvadratrødder , terningsrødderne , opløsningen af polynomiske ligninger , trigonometrien , den brøkdelte beregning , aritmetikken af naturlige tal ... De løb i civilisationer akkadisk , babylonisk , egyptisk , kinesisk eller indus Valley .

I den græske civilisation søgte matematik, påvirket af tidligere arbejde og filosofiske spekulationer, mere abstraktion. Begreberne bevis og aksiomatisk definition er specificeret. To grene skiller sig ud, aritmetik og geometri . Hos III th  århundrede  f.Kr.. J. - C. , Elements of Euclid opsummerer og bestiller den matematiske viden om Grækenland.

Den kinesiske matematik og indiske (specielt Indus-dalen ) nåede i Vesten af ​​den islamiske civilisation gennem bevarelse af arvgræken og krydsning med fundene, især med hensyn til antal repræsentation . Matematisk arbejde er betydeligt udviklet både i trigonometri (introduktion af trigonometriske funktioner) og i aritmetik . Den kombinatoriske analyse , den numeriske analyse og polynomalgebra opfindes og udvikles.

Under "  genfødsel af det XII th  århundrede  ", er en del af det græske og arabiske tekster studeret og oversat til latin . Matematisk forskning er koncentreret i Europa. På XVI th  århundrede vokser - herunder Pierre La Ramee - tanken om, at der er en universel videnskab ( Mathesis Universalis ), som det er muligt at basere al viden. Descartes så fra 1629 i reglerne for sindets retning de muligheder, som matematik giver til at spille denne rolle. Descartes understreger i diskursen om metoden tiltrækningen af ​​matematik, "på grund af deres årsags sikkerhed og åbenhed". Den algebra derefter udvikler sig som et resultat af arbejdet i Beliggenhed og Descartes . Newton og Leibniz opfinder uafhængigt den uendelige kalkulator .

I det XVII th  århundrede , Galileo indså, at matematik er det ideelle værktøj til at beskrive den fysiske verden, kan vi opsummere ved at sige, at naturens love er skrevet i matematisk sprog . Matematik udgør derfor sammen med den eksperimentelle tilgang en af ​​de to søjler i udviklingen af moderne videnskab .

David Hilbert , tysk matematiker.

I løbet af XVIII th  århundrede og XIX th  århundrede , matematik oplever stærk udvikling med en systematisk undersøgelse af konstruktioner , startende med de grupper fra arbejdet i Galois om polynomielle ligninger, og ringe indført ved Dedekind .

Den XIX E  århundrede sav med Cantor og Hilbert udviklingen af en aksiomatisk teori om alle de undersøgte objekter, det vil sige den forskning af de matematiske fundament . Denne udvikling vil føre aksiomatiske flere matematikere af XX th  århundrede at forsøge at definere alle matematik ved hjælp af et sprog, matematisk logik .

Den XX th  århundrede har oplevet en stærk udvikling i matematik med speciale områder og fødsel eller udvikling af mange nye grene ( foranstaltning teori , spektral teori , algebraisk topologi og algebraisk geometri , for eksempel). Den computer havde en indvirkning på forskningen. På den ene side lettede det kommunikation og videndeling, på den anden side var det et formidabelt værktøj til at konfrontere eksempler. Denne bevægelse førte naturligvis til modellering og digitalisering .

Områder

Inddeling af matematik i to, tre eller fire forskellige felter foreslås: algebra og analyse eller algebra, analyse og geometri eller algebra , analyse , geometri og sandsynlighed . Sådanne splittelser er ikke åbenlyse, og de grænser, der adskiller dem, er altid dårligt definerede. Faktisk kræver mange resultater en række matematiske færdigheder. Den Fermat-Wiles sætning , etableret i 1994, er et eksempel. Selvom udsagnet er formuleret på en såkaldt aritmetisk måde, kræver beviset dybe færdigheder inden for analyse og geometri.

Kerneområder

Den algebra er det sæt af matematiske metoder til at studere og udvikle algebraiske strukturer og forstå de relationer, de har med hinanden. I den nuværende forstand finder Algebra sin oprindelse i forståelsen af polynomiske ligninger og i udviklingen af ​​opløsningsmetoder: forskning inden for disse områder har givet anledning til fremkomsten af ​​forestillingerne, der fandt teorien om grupper , teorien om Galois . eller endda algebraisk geometri .

I en meget restriktiv forstand er analyse den del af matematik, der vedrører spørgsmål om regelmæssigheden af ​​anvendelserne af en reel eller kompleks variabel: man taler så lettere om reel analyse eller kompleks analyse . I bred forstand omfatter det alle relaterede matematiske metoder og en række metoder til forståelse og analyse af funktionsrum.

Den geometri forsøger at forstå først af alle objekter i rummet og i forlængelse heraf er interesseret i egenskaber for mere abstrakte objekter, multidimensionale, der blev indført i flere tilgange, at bemærke, at en stor del af analysen af algebra.

De sandsynligheder forsøger at formalisere alt relateret til tilfældighed. Selvom de er gamle, har de oplevet en genoplivning med målingsteorien .

De Statistikken er at indsamle, bearbejde og sammenfatte et sæt data, som regel mange.

Eksempler på tværgående områder

Charles Gustave Jacob Jacobi , kendt for sin udvikling inden for analytisk talteori , mellem kompleks analyse og aritmetik.

Mange forskningsområder ligger på tværs med hensyn til ovenstående opdeling:

  • Den diskrete matematik (forbundet med stigningen i computeren ) er det mest typiske eksempel på tværskæring, fordi de maler en spaltning i næsten alle grene af matematik ( endelige grupper , diskret sandsynlighed, diskret geometri , lineær optimering i antal hele , nye grene af algebra: monoider , dioider ...).
  • Den teori om tal (som generaliserer den elementære aritmetiske ) bruger så meget af de analysemetoder som algebraiske metoder avancerede, til at løse problemer, der ofte kan indstilles i en elementær måde.
  • Den algebraiske topologi har tendens til at være forbundet med geometriske objekter af forskellige slags algebraiske invarianter i naturen. Det er derfor placeret ved grænsen mellem differentiel geometri og algebraisk geometri. Men for geometriske objekter, der præsenterer en bestemt analytisk struktur, kan disse algebraiske invarianter undertiden defineres eller forstås ved kun at kalde på værktøjer, der i det væsentlige er analytiske. Meget af den nuværende forskning inden for algebraisk topologi har tendens til at glemme topologisk struktur og reducere spørgsmålene til primært algebraiske problemer.
  • På en måde falder dynamiske systemer mellem geometri, analyse og sandsynlighed. De har en tendens til at forstå kvalitativt, hvad der er assimileret med en lov om evolution. De undersøgte objekter kommer under analyse (f.eks. Differentialligninger), sandsynligheder (iteration af en målbar sammenhæng ) eller geometri ( homogene rum ). Behandlingen, der er afsat til det, er genstand for fortolkninger i det væsentlige af geometrisk karakter, mens der anvendes avancerede værktøjer til funktionel analyse , processteori , differentiel geometri  osv. Aritmetiske resultater kan også opnås ved overvejelser vedrørende dynamiske systemer.
  • Den differential geometri er placeret ved grænsen af geometrien og af analysen, og i flere henseender. Definitionen af ​​dets genstande til undersøgelse henvender sig til differentieringsberegningens teoremer, men selve undersøgelsen er en stor analyseforbruger. Der findes også forbindelser mellem differentieret geometri og sandsynligheder.
  • Den algebraiske geometri er et eksempel på et felt i streng forstand til mødet mellem algebra og geometri. Den finder sin oprindelse i arbejdet med at løse kubiske ligninger. Det første objekt til undersøgelse af algebraisk geometri er den algebraiske variation, stedet for annullering af polynomiske ligninger: den har både algebraisk og geometrisk betydning. Dette område har oplevet en stærk udvikling i XIX th  århundrede, herunder sætning af Bezout . Den seneste udvikling initieret af Alexandre Grothendieck kender mange anvendelser inden for talteori, som udgør aritmetisk geometri .
  • Den operatorteori mere et spørgsmål om analyse, eller den funktionelle analyse (for eksempel for at problemerne med regelmæssighed af opløsninger af ligninger til elliptiske partielle differentialligninger, herunder Poisson problem ). Men denne teori kender mange anvendelser inden for differentiel geometri, hvor operatørernes sprog viser sig at være særligt egnet. Udviklingen af ​​operatorteori krævede metoder af sandsynlig karakter, især hvad der kaldes funktionel beregning . Denne teori finder udvidelser i ikke-kommutativ geometri . Genstandene for undersøgelsen tilfældigvis er generaliseringer af operatøralgebras.

Anvendt og ren matematik

Numerisk simulering af et bilulykke. - Numerisk analyse  : anvendelsesområdet for matematik.

Der skelnes undertiden mellem ren matematik og anvendt matematik:

  • Ren matematik sigter mod at udvikle matematisk viden for sig selv uden nogen forudgående interesse i applikationer uden nogen motivering fra andre videnskaber. Formålet med matematisk forskning kan således være en bedre forståelse af en række særlige abstrakte eksempler, som er baseret på og udvikler den matematiske refleksion, generaliseringen af ​​et aspekt af en disciplin eller de fremhævende forbindelser mellem forskellige discipliner i matematik.
  • Tværtimod er anvendt matematik implementeringen af ​​matematisk viden til andre videnskabers behov for formalisme ( fysik , datalogi , biologi , astrofysik ...) og til industrielle anvendelser (f.eks. Teknik). De har tendens til at udvikle disse matematiske værktøjer til at imødekomme disse krav og løse problemer, der stilles konkret.

I Frankrig strukturerer denne skelnen ofte forskerhold uden nødvendigvis at gå på kompromis med mulighederne for interaktion mellem dem. Relevansen af ​​denne sondring stilles dog spørgsmålstegn ved et bestemt antal matematikere. Udviklingen af ​​felter og deres studieobjekter kan også hjælpe med at skifte en mulig grænse eller forestilling om adskillelse. Ifølge et quip fra Ian Stewart , forfatter til adskillige værker om populær matematik, i sit arbejde My Cabinet of Mathematical Curiosities , “Forholdet mellem rene og anvendte matematikere er baseret på tillid og forståelse. Rene matematikere stoler ikke på anvendte matematikere, og anvendte matematikere forstår ikke rene matematikere . Anvendt matematik i en dårligt defineret forstand inkluderer blandt andet numerisk analyse , anvendt statistik og teori om teori. Matematisk optimering . Nogle forskningsområder inden for matematik blev født på grænsen til andre videnskaber (se nedenfor).

Filosofi

De traditionelle spørgsmål, som filosofien stiller til matematik, kan klassificeres efter tre temaer:

  1. Matematiske objekters natur: hvis de eksisterer alene, eller hvis de er mentale konstruktioner Hvad er arten af ​​en demonstration (logisk og matematisk)   Hvad er forbindelserne mellem logik og matematik
  2. Oprindelsen til matematisk viden: hvor kommer matematikens sandhed fra, og hvad er dens natur Hvad er betingelserne for, at matematik kan eksistere, og deres sammenhæng med mennesket Hvad er indvirkningen af ​​strukturen af ​​menneskelig tænkning på formen og udviklingen af ​​den nuværende matematik De grænser, det fremkalder
  3. Forholdet mellem matematik og virkelighed: hvilket forhold har abstrakt matematik med den virkelige verden Hvad er forbindelserne med andre videnskaber

Matematik kaldes undertiden "videnskabens dronning". Imidlertid går udtrykket tilbage til Carl Friedrich Gauss  : Regina Scientiarum og ordet scientiarium betyder faktisk " viden  ".

Fundamenter

Aristoteles  : grundlæggeren af formel logik (maleri af Raphael ).

Formentlig bruger matematik logik som et redskab til at demonstrere sandheder organiseret i teorier . En første analyse giver håb om, at en kraftig brug af dette så sikre værktøj, en stadig mere omfattende reduktion af baserne, aksiomerne , som den matematiske bygning er bygget på, ender med at føre til en række ubestridelige fakta. Flere forhindringer står dog op.

På den ene side bevæger matematik sig som en menneskelig aktivitet væk fra modellen til en konstruktion, der nøje følger logikkens love og uafhængig af virkeligheden. Lad os citere en kendsgerning og et fænomen for at illustrere dette. Først og fremmest er beviserne, som matematikere skriver, ikke formaliseret til det punkt at følge logikens love detaljeret, fordi dette er umuligt på en rimelig kort tid. Som med enhver videnskab hviler accepten af ​​sandheden af ​​et bevis og derfor af en sætning i sidste endeenighed mellem specialister om gyldigheden af ​​den foreslåede formelle bevistilnærmelse (se La Structure of Scientific Revolutions af Thomas Samuel Kuhn ). Computervidenskabens fremkomst har dog ændret situationen, i det mindste marginalt, da det gør det muligt at formalisere og kontrollere stadig mere komplekse demonstrationer.

Augustin Louis Cauchy , en af ​​de første til at give et grundigt grundlag for analyse .

Imidlertid er matematisk aktivitet langt fra reduceret til søgning efter bevis og til deres verifikation. Tilliden, som det matematiske samfund placerer i et af sine medlemmer, der foreslår et nyt resultat, griber ind i den modtagelse, som dette resultat vil have, og desto mere, hvis det er uventet eller ændrer måden at se tingene på. Vi kan tage for eksempel den historiske kontrovers over ikke-euklidisk geometrier i XIX th  århundrede, hvor arbejdet i Lobachevsky stort set blev ignoreret; eller i en anden retning vanskeligheden med at modtage den unge republikanske Galois arbejde i begyndelsen af ​​det samme århundrede, især af Cauchy . Matematikens sociologi studerer sådanne fænomener (se videnskabssociologi ).

På den anden side kan basenes meget soliditet ikke baseres på matematik alene. Faktisk de ufuldstændighed teoremer , bevises af Kurt Gödel i første halvdel af det XX th  århundrede viser, at i modsætning til , hvad der håbede på David Hilbert , er det umuligt at formelt at reducere det grundlæggende i matematik i et system, hvis sikkerhed er beviser fra disse, og dette indebærer, at visse egenskaber, der betragtes som "sande", forbliver utilgængelige for demonstrationen, uanset hvilke aksiomer der vælges.

Uddannelse

Undervisningen i matematik kan henvise til læring af grundlæggende eller grundlæggende matematiske forestillinger såvel som til læring og indledning til forskning ( videregående uddannelse i matematik ). Afhængigt af tid og sted ændres valg af emner, der undervises, og undervisningsmetoder ( moderne matematik , Moores metode , klassisk uddannelse osv. ). I nogle lande foretages valg af skoleplaner i offentlig uddannelse af officielle institutioner.

Cédric Villani minder på en TED-konference om en vigtig vanskelighed, som undervisningen i matematik ikke løser alene: processen med en matematisk opdagelse vedrører ikke i sig selv matematik. George Polya angivet dog midten 20 th  århundrede nogle teknikker til at løse eksisterende problemer, i sin bog Sådan udgøre og løse et problem ( "Hvordan man løser det").

Omkring samme tid foreslog nogle værker at erhverve mekanismerne for opløsning ved en række øvelser, der blev foreslået med deres detaljerede korrektion modsat. I Frankrig og inden for matematik var der værker af Pierre Louquet i gymnasiet. I den engelsktalende verden og inden for en bred vifte af discipliner forfølger serien af Schaums omrids  (in) dette mål.

I dag giver mange undersøgelser os mulighed for at forstå de faktorer, der har indflydelse på undervisningen i matematik. Undersøgelser i industrialiserede lande har vist, at børn af mere uddannede forældre tager mere gymnasiale lektioner i matematik og naturfag og klarer sig bedre. Andre undersøgelser, der sammenligner de forskellige påvirkninger på børns matematiske præstationer, har vist, at mødres uddannelsesniveau har den største effekt. Højere socioøkonomisk status har vist sig at være forbundet med højere matematiske scores for både drenge og piger. PISA-undersøgelsen 2015 viste, at en stigning på en enhed i PISA-indekset for økonomisk, social og kulturel status resulterede i en stigning på 38 point i naturvidenskab og 37 point i matematik. Denne stigning kan være relateret til det faktum, at forældre giver mere støtte til læring i skolen og derhjemme med højere akademiske forventninger og mindre traditionelle overbevisninger om kønsroller og holdninger. Karriereveje i disse sammenhænge. Børnenes interesse for STEM og deres succes i STEM kan også forbedres ved at arrangere, at forældre yder uddannelsesmæssig støtte, herunder privat vejledning.

Praktisk

Forskningsaktivitet

Matematisk forskning er ikke begrænset til bevis for sætninger . En af de mest succesrige metoder til matematisk forskning er at samle domæner, der er a priori fjerne ved at bringe analoge fænomener i lyset (for eksempel euklidisk geometri og lineære differentialligninger ). Identifikationen af ​​analoge fænomener kan føre til, at man ønsker at tilpasse resultaterne fra et matematikfelt til et andet, at omformulere beviselementer i ækvivalente termer, at forsøge at aksiomatisere et objekt (for eksempel kan det være begrebet vektorrum ), som ville omgruppere de to domæner ... I sidstnævnte tilfælde vil dette nye objekt derefter blive et genstand for undersøgelse i sig selv. I nogle tilfælde bliver identifikation af tilsyneladende forskellige objekter nødvendig: Kategoriens sprog gør det muligt at gøre denne slags ting.

En anden forskningsmetode er sammenligningen med eksempler og særlige tilfælde. Denne konfrontation kan gøre det muligt at tilbagevise egenskaber, som man troede eller håbede var sande ( formodninger ). Tværtimod kan det gøre det muligt at verificere egenskaber eller formalisere dem. For eksempel i Riemannian-geometri førte undersøgelsen af ​​overflader (derfor objekter i dimension 2 ) og deres geodesik endelig Anosov til at formalisere Anosov diffeomorfisme , en transformation med interessante dynamiske egenskaber.

Sprog

Matematik bruger et eget sprog. Visse udtryk i hverdagssprog, såsom gruppe , ring , felt eller variation, kan lånes og omdefineres for at betegne matematiske objekter. Men ofte dannes og introduceres termer efter behov: isomorfisme , topologi , iteration ... Det store antal af disse udtryk gør det vanskeligt for ikke-matematikere at forstå matematik.

Matematisk sprog er også baseret på brugen af ​​formler. De inkluderer symboler , nogle relateret til propositionel beregning som det binære stik for implikation eller det unære stik negation , andre relateret til beregningen af ​​predikater , som den universelle kvantificering eller den eksistentielle kvantificering . De fleste af de bemærkninger der anvendes i XXI th  århundrede blev indført efter XVII th  eneste århundrede.

Der er et matematisk sprog, der beskriver matematik. I denne forstand siger vi, at det handler om en metalsprog  : det handler om matematisk logik .

Forholdet til andre videnskaber

Matematik har et særligt forhold til alle videnskaber i bred forstand af udtrykket. Dataanalyse (grafisk fortolkning, statistiske data osv.) Kræver en række matematiske færdigheder. Men avancerede matematiske værktøjer er involveret i modelleringen .

Alle de såkaldte hårde videnskaber , med undtagelse af matematik, har tendens til en forståelse af den virkelige verden. Denne forståelse kræver etablering af en model under hensyntagen til et bestemt antal parametre, der betragtes som årsager til et fænomen. Denne model udgør et matematisk objekt, hvis undersøgelse muliggør en bedre forståelse af det undersøgte fænomen, muligvis en kvalitativ eller kvantitativ forudsigelse af dets fremtidige udvikling.

Modellering kræver færdigheder primært relateret til analyse og sandsynlighed, men algebraiske eller geometriske metoder er nyttige.

Fysisk

Matematik opstod fra et ønske om at forstå det omgivende rum: geometri stammer fra modellering af idealiserede former og aritmetik ud fra behovet for mængdestyring. Astronomi og geometri er længe blevet forvirret, selv i islamiske civilisationer. Efter at være blevet differentieret har matematik og fysik holdt nære forbindelser. I nutidens historie om disse to videnskaber har matematik og fysik påvirket hinanden. Moderne fysik gør omfattende brug af matematik og udfører systematisk modellering for at forstå resultaterne af dens eksperimenter:

Et specifikt forskningsfelt, matematisk fysik , har en tendens til netop at udvikle de matematiske metoder, der anvendes til brug af fysik.

Den nære forbindelse mellem matematik og fysik afspejles i matematikens højere uddannelse. Undervisningen i fysik involverer matematik kurser for fysikere; og det er ikke ualmindeligt, at matematikkurser på universiteter inkluderer en valgfri introduktion til fysik.

Ikke desto mindre er Albert Einstein en af ​​de første til at relativisere matematikfeltet ved at minde om, at fysik bruger flere former i henhold til dens behov og ikke kun en. Hans teori om generel relativitet bruger for eksempel en ikke-euklidisk geometri formaliseret af Minkowski . Han vil sige: ”Som det vedrører virkeligheden, er den euklidiske geometri ikke nøjagtig. Som nøjagtigt vedrører det ikke virkeligheden ”(Berlin-konferencen i 1921, geometri og erfaring ).

Computer videnskab

Udviklingen af teknikker XX th  århundrede banet vejen for en ny videnskab, computer . Dette er tæt forbundet med matematik på forskellige måder: visse forskningsområder inden for teoretisk datalogi kan betragtes som i det væsentlige matematiske, andre grene inden for datalogi gør mere brug af matematik. Nye kommunikationsteknologier har banet vejen for applikationer til undertiden meget gamle grene af matematik ( aritmetik ), især med hensyn til transmissionssikkerhedsproblemer: kryptografi og kodeteori .

På den anden side påvirker datalogi den moderne udvikling af matematik.

Den diskrete matematik er et aktuelt forskningsfelt inden for matematik for at udvikle de metoder, der anvendes i datalogi, herunder kompleksitetsteori , informationsteori , grafteori ... Blandt de åbne problemer er især den berømte P = NP i kompleksitetsteori, som er et af de syv årtusinde-prisproblemer . Dette vil tilfældigvis afgøre, om P og NP er forskellige eller lige, modtager $ 1 000 000  USD .

Datalogi er også blevet et vigtigt redskab til at opnå nye resultater (et sæt teknikker kendt som eksperimentel matematik ) og endda til at bevise bestemte sætninger. Det mest berømte eksempel er Four Color Theorem , der blev demonstreret i 1976 ved hjælp af en computer, fordi nogle af de krævede beregninger er for komplekse til at blive udført i hånden. Denne udvikling forstyrrer traditionel matematik, hvor reglen var, at matematikeren selv kunne kontrollere hver del af beviset. I 1998 ser det ud til , at Keplers formodning også er blevet demonstreret delvist af computeren, og et internationalt team har siden arbejdet med at skrive et formelt bevis, som blev afsluttet (og verificeret) i 2015.

Hvis beviset er skrevet på en formel måde, bliver det faktisk muligt at verificere det ved hjælp af speciel software, kaldet en bevisassistent . Dette er den bedste teknik, der vides at være (næsten) sikker på, at en computerassisteret demonstration er fejlfri . I løbet af omkring tredive år var forholdet mellem matematikere og datalogi derfor fuldstændig omvendt: først et mistænkt instrument, der om muligt undgås i matematisk aktivitet, er computeren tværtimod blevet et væsentligt redskab.

Biologi, kemi og geologi

Den biologi er storforbruger af matematik, herunder sandsynlighed. Dynamikken i en population er almindeligt modelleret af Markovkæder (teori af diskrete processer) eller ved koblede differential ligninger. Det samme gælder for udviklingen af ​​genotyper: Hardy-Weinberg-princippet , der ofte nævnes i genetik, vedrører generelle egenskaber på diskrete tidsprocesser (eksistensen af ​​grænselove). Mere generelt bruger fylogeografi sandsynlighedsmodeller. Derudover bruger medicin (statistiske) tests for at forstå gyldigheden af ​​en bestemt behandling. Et specifikt forskningsfelt ved biologiens grænse blev født: biomatematik .

Siden begyndelsen af det XXI th  århundrede, organisk kemi har brugt computere til at modellere molekyler i tre dimensioner: Det viser sig, at som et makromolekyle biologi er variabel og bestemmer dets virkning. Denne modelisering kræver euklidisk geometri  ; atomerne danner en slags polyhedron, hvis afstande og vinkler er fastlagt af interaktionsloven.

De strukturelle geologi- og klimamodeller er afhængige af at kombinere probabilistiske og analytiske metoder for at forudsige risikoen for naturkatastrofer. Modellernes kompleksitet er sådan, at en forskningsgren blev født ved grænsen for matematik og geofysik , nemlig matematisk geofysik . Ligeledes er meteorologi , oceanografi og planetologi store forbrugere af matematik, fordi de har brug for modellering.

Samfundsvidenskab

Forholdet mellem matematik og humaniora skabes primært gennem statistik og sandsynligheder , men også gennem differentialligninger , stokastiske eller ej, anvendt i sociologi , psykologi , økonomi , økonomi , forretningsadministration , lingvistik osv.

Den logik er siden oldtiden en af de tre vigtigste discipliner af filosofi , med etik og fysik. Filosoffer som Pythagoras og Thales of Miletus formaliserede de berømte geometriske sætninger, der bærer deres navn. "At ingen kommer ind her, hvis han ikke er en landmåler", blev indgraveret på portalen af Akademiet for Platon , for hvem matematik er et mellemled til at få adgang til en verden af ideer .

Især finansiel matematik er en gren af ​​anvendt matematik med det formål at forstå udviklingen på de finansielle markeder og estimere risici. Denne gren af ​​matematik udvikler sig ved grænsen for sandsynlighed og analyse og bruger statistik.

Meget mere subtil er tilfældet med matematisk økonomi . Det grundlæggende postulat i denne disciplin er, at økonomisk aktivitet kan forstås ud fra et aksiom af antropologisk karakter , som den rationelle individuelle aktør. I denne vision søger hver enkelt ved sine handlinger at øge en bestemt fortjeneste , og dette på en rationel måde . Denne form for atomistsyn af økonomien giver det mulighed for at matematisere sin tænkning relativt let, da individuel beregning transponeres til matematisk beregning. Denne matematiske modellering i økonomi gør det muligt at afdække økonomiske mekanismer, som kun kunne have været opdaget med store vanskeligheder ved en "litterær" analyse. For eksempel er forklaringer på konjunkturcyklusser ikke trivielle. Uden matematisk modellering er det vanskeligt at gå ud over enkle statistiske fund eller uprøvede spekulationer. Visse sociologer, som Bourdieu og endog visse økonomer, afviser imidlertid dette postulat af homo œconomicus og bemærker, at motivationen hos enkeltpersoner ikke kun inkluderer gaven , men også afhænger af andre emner, hvis økonomiske interesse ikke er, at en del eller helt simpelthen ikke er rationelle. Den mathematization er derfor, ifølge dem, et dækkende for en videnskabelig udnyttelse af materialer.

Vi er også vidne til begyndelsen af det XX th  århundrede , en refleksion at sætte de historiske bevægelser i formel, som gør Nikolai Kondratiev , der skelner en cyklus basis for at forklare bomme og politisk økonomi i krise, eller Nicolas- Remi Brück og Charles Henri Lagrange som fra slutningen af XIX E  århundrede forstærkede deres analyse, indtil de trængte ind i geopolitikken , ved at ønske at etablere eksistensen i historien af ​​bevægelser med stor amplitude, der fører folk på deres højdepunkt og derefter ved deres tilbagegang.

En matematisering af humanvidenskaben er dog ikke uden fare. I de kontroversielle essay bedrageri intellectuelles , Sokal og Bricmonts opsige forholdet, ubegrundet eller misbrug, af videnskabelig terminologi, især matematik og fysik, i humanvidenskaberne. Undersøgelsen af ​​komplekse systemer (udvikling af ledighed, kapital i en virksomhed, befolkningens demografiske udvikling osv.) Kræver elementær matematisk viden, men valget af tællekriterier, især i tilfælde af arbejdsløshed eller modellering, kan være kontroversielt.

Økologi

Økologi bruger også et stort antal modeller til at simulere befolkningsdynamik , studere økosystemer såsom byttedyrmodellen, måle spredningen af ​​forurening eller vurdere klimaændringer som følge af opvarmning. Disse værktøjer gør det muligt at kommunikere på krypterede data for muligvis at kritisere dem eller sammenligne dem med hinanden. Problemet opstår derefter ved validering af disse modeller, især i det tilfælde, hvor resultaterne kan påvirke politiske beslutninger, og hvor eksistensen af ​​modstridende modeller giver staterne mulighed for at vælge det mest gunstige for deres beslutning.

Forholdet til astrologi, esoterik

Matematik har længe haft meget tætte forbindelser med astrologi . Dette, gennem astral charts, tjente som motivation i studiet af astronomi. Kendte matematikere blev også betragtet som store astrologer. Vi kan citere Ptolemaios , de arabisk-talende astronomer, Regiomontanus , Cardan , Kepler eller John Dee . I middelalderen blev astrologi betragtet som en videnskab, der falder inden for matematik. Således angiver Theodor Zwingler i sin store encyklopædi, der vedrører astrologi, at det er en matematisk videnskab, der beskæftiger sig med "aktiv bevægelse af kroppe i den udstrækning , at de virker på andre kroppe" og forbeholder sig til matematik omsorg for "beregning med sandsynlighed af påvirkningerne af stjernerne] ” ved at forudse deres “ konjunktioner og modsætninger ” . De vestlige astrologiske teorier nutidige praler følger videnskabelige metoder. Især bruger statistisk astrologi statistiske tests til at fremhæve eventuelle sammenhænge mellem stjernernes position og mænds skæbne. Imidlertid har disse undersøgelser, der er indledt af Choisnard og Gauquelin , udført i udkanten af ​​videnskabelig forskning, fra 2009 ikke været produktive og har ikke leveret noget tilladt bevis for årsag og virkning.

Matematik er også en komponent i esoterik . Meget ofte har matematikere selv været fristet til at finde i figuren eller tallet en skjult betydning, der tjener som en nøgle til opdagelsen af ​​verden. I den Pythagorasiske skole har hvert nummer en symbolsk betydning, og de indviedes ed ville være blevet erklæret før et tretraktys . Ligeledes er Platon ikke tilfreds med at opregne de faste stoffer, der bærer hans navn, han tilskriver hver af dem en natur (vand, jord, ild, luft, univers). Aritmosofi, numerologi , gematria , aritmancy forsøg gennem beregninger af tal for at finde skjulte betydninger i tekster eller for at udtrække forudsigelige egenskaber fra dem. Vi finder denne fascination for antallet og figuren selv i dag, hvor nogle tilskriver skjulte dyder til et pentakel eller et gyldent tal .

I det XXI th  århundrede, disse discipliner ikke længere anses for videnskab.

Kulturel indvirkning

Kunstnerisk udtryk

Noterne, der lyder godt sammen til et vestlig øre, er lyde, hvis grundlæggende vibrerende frekvenser er i enkle forhold. For eksempel er oktaven en fordobling af frekvensen, den femte en multiplikation med 32 .

Denne sammenhæng mellem frekvenser og harmoni er især beskrevet i traktaten om harmoni reduceret til dets naturlige principper af Jean-Philippe Rameau , fransk barokkomponist og musikteoretiker. Den er delvist baseret på analysen af harmoniske ( betegnet 2 til 15 i den følgende figur) af en lav C grundlæggende lyd ( betegnet 1 ), hvor de første harmoniske og deres oktaver lyder godt sammen.

Hvis kurven tegnet i rødt, der følger de harmoniske noter, har et logaritmisk udseende , svarer dette til forholdet mellem to fænomener:

  • på den ene side, gengivelsen af banen af en lyd ved vores auditive system , som er proportional med logaritmen af frekvensen af lyden (en dobbelt frekvens altid svarer til det samme "lyd afstand" kaldte oktav );
  • på den anden side de harmoniske frekvenser, som er heltalsmultipler af den grundlæggende frekvens.
Fraktal med skala symmetri og central symmetri.

Vesterlændinge forbinder en vis skønhed med symmetriske figurer. En symmetri af en geometrisk figur er intuitivt eksistensen af ​​et mønster af figuren, der gentager sig efter en præcis regel, mens den delvist transformeres. Matematisk er en symmetri eksistensen af ​​en ikke-triviel handling af en gruppe , meget ofte ved isometri , det vil sige hvilken bevarer afstanden på figuren. Med andre ord realiseres intuitionen af ​​reglen matematisk af det faktum, at det er en gruppe, der virker på figuren, og følelsen af, at en regel styrer symmetrien, skyldes netop denne gruppes algebraiske struktur.

For eksempel er gruppen relateret til spejlsymmetri den to-element cykliske gruppe , ℤ / 2ℤ. En Rorschach-test er en figur, der er uforanderlig ved denne symmetri, som en sommerfugl og mere generelt dyrenes krop, i det mindste på overfladen. Når vi tegner havets overflade, har alle bølgerne en symmetri ved oversættelse: at flytte vores blik i længden, der adskiller to bølgetoppe, ændrer ikke den udsigt, vi har af havet. Symmetri, denne gang ikke isometrisk og næsten altid kun omtrentlig , er det, der præsenteres af fraktaler  : et bestemt mønster gentages i alle synsskalaer.

Popularisering

Den Formålet med popularisering af matematik er at præsentere matematik på et sprog, blottet for tekniske termer. Da genstanden for matematikstudie ikke har nogen fysisk virkelighed, bruger popularisering ofte et billedligt ordforråd og ikke-strenge sammenligninger eller analogier til at formidle ideen om matematisk udvikling. Blandt de værker, der satte dette mål, er Oh, matematik fra Yakov Perelman og The book that makes you crazy af Raymond Smullyan . Imidlertid er matematik sjældent populært i trykte aviser eller tv-aviser.

  • Tidsskriftet Tangente , det matematiske eventyr, er det største matematiske populariseringsmagasin udgivet i Frankrig.
  • Tidsskriftet Images of Mathematics , støttet af National Center for Scientific Research (CNRS), tager også udfordringen op. Det gør det muligt for så mange mennesker som muligt at opdage moderne matematisk forskning og dens miljø.
  • Gennemgangen Accromαth er understøttet af Institute of Mathematical Sciences and Mathematics Research Center i Montreal . Det er primært beregnet til gymnasieelever og CEGEP studerende og lærere og distribueres gratis i Quebec .
  • Den online dagbog Delibere har udgivet hver uge siden december 2015 matematiske kolonne af Yannick Cras titlen ”imaginære tal”.
  • Tidsskriftet Quadrature, der udgives hvert kvartal, er rettet mod lærere, studerende, ingeniører og matematikentusiaster. Artikleniveauet er variabelt, og nogle er tilgængelige fra den videnskabelige terminal eller Math-Sup. Forfatterne er matematikere, men også lærere og studerende. Kvadratur er eklektisk: nogle artikler præsenterer meget ny matematik, mens andre giver et nyt synspunkt på traditionelle emner eller endda genopliver spørgsmål om gammel geometri.

Litteratur og filmografi

Hvis en række biografier vedrører matematikere, er matematik bestemt et emne, der kun er lidt brugt i litteratur eller filmografi, men er til stede.

Romaner

Film

Teater

Dramaserie
  • Beviset for David Auburn , 2000 ( Proof ,   red. Dramatists Play Service , 2002)
  • Denis Guedj , One zero show: aritmetisk show i 0 akter og 1 whiteboard; (efterfulgt af) Fra punkt ... til linje: geometrisk skue i linje ... og på overfladen , Paris, Seuil ,, 61  s. ( ISBN  978-2-02-037379-1 , OCLC  48908950 )
  • Sag 3.14 , Logical Island Company (Cédric Aubouy)
  • Galois Poincaré, myter og matematik , The Logical Island Company (Cédric Aubouy, David Latini)
Videnskabsteater specialister
  • Det videnskabelige teater af Louis Figuier , Fabienne Cardot, Romantisme , 1989
  • Teater og videnskab, dobbeltstifteren , Jacques Baillon, L'Harmattan , 1998
  • Teaterforskning i et teknologisk og videnskabeligt institut , Ouriel Zohar , i teater og videnskab ,   red. P r  Lucile Garbagnati, F. Montaclair og D. Vingler, Presser af UNESCO Center for Besançon og af teatret fra University of Franche-Comté, Besançon, 1998.
  • Teater og materiale, Representationsmotorer, Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
  • Videnskabsteatret , Michel Valmer, CNRS Editions, 2006
  • Videnskab på scenen, fra D Dr.  Faustus til København , Kirsten Shepherd-Barr, Princeton University Press , 2006.
  • Den videnskabelige model i teatret af Tom Stoppard , Liliane Campos, i epistemokritik , gennemgang af studier og forskning i litteratur og viden, bind.  II , 2008
  • Logisk ø , teater og klovne om logik, matematik og teoretisk fysik (CNRS, Polyteknisk skole), Cédric Aubouy. 2008.

TV-shows

  • Numb3rs , serie af Nicolas Falacci og Cheryl Heuton.
  • Eureka , tv-serie oprettet af Andrew Cosby og Jaime Paglia.
  • Stargate Universe , tv-serie oprettet af Brad Wright og Robert C. Cooper.

Kilder

Noter og referencer

  1. (in) E. Wigner, Den urimelige effektivitet af matematik i naturvidenskab  (in)  " , Common. Ren appl. Matematik. , Vol.  13, nr .  1,, s.  1-14 ( læs online ).
  2. (i) The Oxford Dictionary of English Etymologi , Oxford University Press .
  3. Cédric Villani , " Alt er matematisk ", Honoris Causa-konference af Cédric Villani i HEC Paris  " , på youtube.com ,(adgang til 17. december 2016 ) , s.  1h33m27s
  4. (da) Matematikken i det gamle Egypten. Numeration, metrologi, aritmetik, geometri og andre problemer, 2014 , Safran (udgaver) .
  5. (in) Euclid's Elements (interaktiv webside).
  6. Michel Paty, Mathesis universalis og forståelighed i Descartes [PDF] .
  7. Konference om grundlaget for matematik af Jean-Yves Girard , 17. juni 2002, University of all knowledge .
  8. Forholdet mellem ren og anvendt matematikere er baseret på tillid og forståelse. Rene matematikere stoler ikke på anvendte matematikere, og anvendte matematikere forstår ikke rene matematikere ”, i professor Stewarts kabinet for matematiske kuriositeter
  9. (da) Matematik på Crystalinks.com.
  10. (in) Se specialudgaven i december 2008 af Notices of the American Mathematical Society viet til formel demonstration.
  11. Nicolas Bouleau, Proceedings of the Canadian Study Group in Mathematics Education [PDF] , side 24 .
  12. TEDxParis 2012 - Cedric Villani - The Ideas Birth  " [video] , på YouTube (adgang til 2. august 2020 ) .
  13. “  PISA 2015-resultater (bind I) (oversigt på spansk)  ”, PISA 2015-resultater (bind I) ,( ISSN  1996-3777 , DOI  10.1787 / 3a838ef3-es , læst online , adgang til 7. maj 2021 )
  14. (i) Kathleen M. Jodl , Alice Michael , Oksana Malanchuk og Jacquelynne S. Eccles , Forældrenes Roller i Shaping Tidlig unges erhvervsmæssig Forhåbninger  " , Børns Udvikling , Vol.  72, nr .  4, 2001-08-xx, s.  1247-1266 ( ISSN  0009-3920 og 1467-8624 , DOI  10.1111 / 1467-8624.00345 , læst online , adgang til 7. maj 2021 )
  15. Simpkins, SD, David-Kean, P. og Eccles, JS, ”  Matematik og videnskabsmotivation: En langsgående undersøgelse af sammenhængen mellem valg og overbevisning.  », Udviklingspsykologi, bind. 42, nr. 1 ,, s. 70-83 (DOI: 10.1037 / 0012-1649.42.1)
  16. (i) EF Melhuish , K. Sylva , P. Sammons og I. Siraj-Blatchford , DE FØRSTE ÅR: Børnehave påvirkninger er Mathematics Achievement  " , Science , vol.  321, nr .  5893,, s.  1161–1162 ( ISSN  0036-8075 og 1095-9203 , DOI  10.1126 / science.1158808 , læst online , adgang til 7. maj 2021 )
  17. (i) Selcuk R. Sirin , socio-økonomisk status og Academic Achievement: A Meta-Analytisk Gennemgang af Research  " , Gennemgang af Educational Research , Vol.  75, nr .  3, 2005-09-xx, s.  417-453 ( ISSN  0034-6543 og 1935-1046 , DOI  10.3102 / 00346543075003417 , læst online , adgang til 7. maj 2021 )
  18. UNESCO, Dechifrering af koden: Uddannelse af piger og kvinder i videnskab, teknologi, teknik og matematik (STEM) , Paris, UNESCO,( ISBN  978-92-3-200139-9 , læs online ) , Side 47
  19. (i) Harriet R. Tenenbaum og Campbell Leaper , Forældre-barn samtaler om videnskab: Socialisering af kønsuligheder  ” , Udviklingspsykologi , bind.  39, nr .  1,, s.  34–47 ( ISSN  1939-0599 og 0012-1649 , DOI  10.1037 / 0012-1649.39.1.34 , læst online , adgang til 7. maj 2021 )
  20. UNESCO, Dechifrering af koden: Pige- og kvinders uddannelse inden for videnskab, teknologi, teknik og matematik (STEM) , Paris, UNESCO,( ISBN  978-92-3-200139-9 , læs online )
  21. Meddelelse om Charles Lagrange af André Jaumotte ( gratis universitet i Bruxelles ) på webstedet for Royal Academy of Belgium
  22. Ordbog i økonomi og samfundsvidenskab, Ed. Nathan Paris, Larousse ordbog i 3. bind, Paris. Definitionerne af cyklusser er talrige, blandt andre inden for videnskab: udvikling af systemer, der bringer dem tilbage til deres oprindelige tilstand eller, i sociologi, tilbagevendende bevægelse (r) af politisk og økonomisk aktivitet (er)).
  23. Se f.eks. Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Nye tendenser inden for modellering af miljøet, konferencehandlinger "Miljø, liv og samfundsprogram" 15.-17. Januar 1996, CNRS
  24. Nicolas Bouleau , filosofi om matematik og modellering: Fra forsker til ingeniør , Harmattan,, s. 282-283
  25. Birk 1999 , s.  285.
  26. Birk 1999 , s.  287.
  27. Guy Beaujouan, "Forståelse og mestring af naturen i middelalderen", Hautes Études Médiévales et Modernes , bind 13, Librairie Droz, 1994, s.  130
  28. A. Dahan-Dalmedico og J. Peiffer , A History of Mathematics: Veje og labyrinter ,[ detaljer om udgaver ], s.  47 .
  29. Platon, Timaeus, 53c - 56c
  30. Astrologi sat på prøve: det virker ikke, det har aldrig fungeret!" - Afis - French Association for Scientific Information  ” , på www.pseudo-sciences.org (adgang til 3. februar 2016 )
  31. Jean-Philippe Rameau , Harmony-traktaten , Paris, Méridiens Klincksieck , koll.  "Samling af musikvidenskab",( 1 st  ed. 1722), 432  s. ( ISBN  978-2-86563-157-5 )
  32. http://accromath.uqam.ca/
  33. Yannick Cras, "  Det imaginære tal  ", overvejet siden december 2015 ( læs online , hørt 22. april 2017 )
  34. http://www.quadrature.info/

Tillæg

Bibliografi

  • Henri-Poincaré Institute , Matematiske objekter , CNRS, 2017
  • Carina Louart, Florence Pinaud, det er matematisk! Actes Sud Junior, 2014
  • Jean-Pierre Escofier, Matematikhistorie , Dunod, 2008
  • Jean-Marc Buret, Maths forklarede simpelt - De støvede baser og fornøjelsen ved forståelse , Ellipses 2019, ( ISBN  9782340031777 )

Relaterede artikler

eksterne links

Vi håber, at de oplysninger, vi har indsamlet om Matematik, har været nyttige for dig. Hvis det er tilfældet, så glem ikke at anbefale os til dine venner og familie, og husk, at du altid kan kontakte os, hvis du har brug for os. Hvis du på trods af vores bestræbelser mener, at det, vi har leveret om _title, ikke er helt korrekt, eller at vi bør tilføje eller rette noget, vil vi være taknemmelige, hvis du vil give os besked. At give den bedste og mest omfattende information om Matematik og ethvert andet emne er essensen af denne hjemmeside; vi er drevet af den samme ånd, som inspirerede skaberne af Encyclopedia Project, og derfor håber vi, at det, du har fundet om Matematik på denne hjemmeside, har hjulpet dig med at udvide din viden.

Opiniones de nuestros usuarios

Ellen Svendsen

Endelig! I dag ser det ud til, at hvis de ikke skriver artikler på 10.000 ord til dig, er de ikke glade. Mine herrer indholdsskribenter, dette ER en god artikel om Matematik., Ja

Kim Holst

Jeg kan godt lide webstedet, og artiklen om Matematik er det, jeg ledte efter

Daniel Kofod

Jeg fandt de oplysninger, jeg fandt om Matematik, meget nyttige og fornøjelige. Hvis jeg skulle tilføje et men, kunne det være, at den ikke er tilstrækkelig rummelig i sin formulering, men ellers er den fantastisk., Artiklen om Matematik er meget nyttig og fornøjelig, Artiklen om Matematik er meget nyttig