Intuitivt er kurven i modsætning til højre : krumningen af et geometrisk objekt er et kvantitativt mål for den "mere eller mindre buede" karakter af dette objekt. For eksempel :
Denne intuitive opfattelse af krumning bliver mere præcis og indrømmer en generalisering til rum af enhver dimension inden for rammerne af den riemanniske geometri .
Som Gauss viste for tilfældet med overflader ( teorema egregium ), er det meget bemærkelsesværdigt, at krumningen af et geometrisk objekt kan beskrives på en iboende måde , det vil sige uden nogen henvisning til et "indlejringsrum", hvor den betragtede objekt ville være placeret. For eksempel er det faktum, at en almindelig kugle er en overflade med konstant positiv krumning, helt uafhængig af det faktum, at vi normalt ser denne kugle som nedsænket i vores tredimensionelle euklidiske rum. Kuglens krumning kunne meget vel måles af todimensionelle intelligente væsener, der lever på kuglen (slags "todimensionale myrer"), fra målinger af længder og vinkler lavet på kuglen. Legenden siger, at Gauss undrede sig over disse spørgsmål, når de konfronteres med vanskelighederne med at kortlægge Jorden.
Vi kan definere krumningen af en bue af det euklidiske plan på flere ækvivalente måder. Der er dog to konventioner i brug, den ene gør krumningen til en nødvendigvis positiv størrelse, den anden giver en algebraisk version af krumningen. Den beregnes ved hvert punkt i kurven under forudsætning af visse antagelser om derivaterne af de funktioner, der bruges til at definere den.
Den positive kurvaturmængde kan ses som normen for accelerationsvektoren for et bevægeligt legeme, der krydser kurven med konstant hastighed lig med 1. Det er også det inverse af den oscillerende cirkels radius, cirkel kommer for at følge kurven så tæt som muligt i nærheden af undersøgelsesstedet. Det er derfor, det omvendte af krumning kaldes radius af krumning. I denne forstand indikerer krumningen kurvens tilbøjelighed til at opføre sig som en cirkel med mere eller mindre stor radius, det vil sige at danne en mindre eller mere stram drejning.
For at introducere algebraiserede versioner af krumningen er det nødvendigt at give planet og kurven en retning og at indføre en mobil reference (in) tilpasset bevægelsen: Frenet-referencen . Krumningstegnet fortolkes derefter som en indikation af retningen, i hvilken kurvens konkavitet drejes . Krumningen angiver også hastigheden (pr. Enhed af krumlinjeabscissa), hvormed vektorerne i Frenet-koordinatsystemet drejer i forhold til en fast retning. Ved bøjningspunkter skifter krumning tegn.
Krumningen kan derefter generaliseres til venstre kurver (kurver tegnet i et tredimensionelt rum). Der er igen en osculerende cirkel, som er en meget god lokal tilnærmelse af kurven. Denne cirkel er inkluderet i oscilleringsplanet og har krumningens inverse radius for radius. Men de samme grunde, som forhindrer orientering på en kompatibel måde, forhindrer alle rummets planer i at definere en algebraisk krumning; det er derfor ved konvention altid positivt. Krumningen ledsages af en anden invariant, torsionen, som indikerer buens tilbøjelighed til at bevæge sig væk fra det oscillerende plan.
Krumningen måles ved hvert punkt. Den bugtning bueminutter, på den anden side, beskriver den generelle foldning af buen: Det er forholdet mellem længden af buen og afstanden mellem dens ender. Billedmæssigt sammenligner den længden på den bane, der opnås ved at følge buen med afstanden som kragen flyver. For eksempel er det muligt at måle sinuositeten af en figur dannet af flere buer i en cirkel forbundet med bøjningspunkter , hvilket svarer til vekslinger af negative og positive krumninger.
For at få introduceret algebraiserede versioner af alle begreberne krumning anbefales det at overveje en orienteret overflade. Ved hvert punkt på overfladen er de primære krumninger og hovedretninger defineret, intuitive geometriske forestillinger opnået fra kurverne trukket på overfladen. Men på en mere dybtgående måde kan disse objekter opnås som egenværdier og egenvektorer for en endomorfisme af det tangente plan, endomorfismen af Weingarten , hvilket gør det muligt at definere andre forestillinger om krumning: middel krumning og Gaussisk krumning.
På et punkt M på overfladen betragter vi et roterende plan, vinkelret i M på det plan, der er tangent til overfladen. Lokalt skærer dette plan den overflade, der betragtes i en kurve. På hver brønd bygget kurver associeret krumning i M .
Krumningens minimums- og maksimumværdier kaldes hovedkurver . Generelt er de forskellige, og i dette tilfælde er flyene, der svarer til de to hovedkurver, vinkelrette på hinanden. Deres skæringspunkt med det tangente plan definerer hovedretningerne . I illustrationen modsat er hovedkurverne af det modsatte tegn, da en af kurverne vender sin konkavitet i retning af den normale vektor og den anden i den modsatte retning.
Det Gaussiske kort forbinder den orienterede normale vektor med hvert punkt på overfladen. På et punkt M på overfladen kan vi overveje forskellen på dette kort, som udgør en endomorfisme af det tangente plan kaldet Weingarten endomorfisme . Intuitivt, denne endomorfien viser små afvigelser i normal vektor nær punktet M .
Det handler om en symmetrisk endomorfisme , hvoraf de vigtigste krumninger og hovedretninger er egenværdierne og egenvektorerne. Hovedretningerne er derfor ret ortogonale.
Den gennemsnitlige krumning af de vigtigste krumninger kaldes gennemsnitlig krumning, dvs. .
Dette er det halve spor af Weingartens endomorfisme .
Man kalder Gaussisk krumning produktet af de vigtigste krumninger, det vil sige .
Dette er determinanten for Weingarten endomorfisme. Men Gauss s Theorema Egregium viser en forskel i karakter mellem de vigtigste krumninger og den gennemsnitlige krumning på den ene side, som afhænger af den måde, hvor overfladen er nedsænket i den omgivende rum R 3 og den gaussiske krumning på den anden side. Som forbliver uændret ved enhver lokal isometri (deformation i længderetningen). Gaussisk krumning har derfor et "iboende" aspekt, og det er dette koncept, der generaliserer til højere dimensioner for at give anledning til begrebet krumning af en manifold . Derfor kaldes det undertiden simpelthen krumning .
Derudover udpeger visse forfattere krumningen af Gauss ved total krumning , betegnelse i konflikt med den følgende betegnelse.
Den samlede krumning af en orienteret overflade S af rummet er integrationen af den Gaussiske krumning på overfladen. Det kan også fortolkes som det (algebraiske) område fejet af enhedens normale vektor på enhedssfæren. Dens værdi er givet af Gauss-Bonnet-formlen : den afhænger kun af overfladens topologi .
I Riemannian-geometri er krumningen en tensor indført fra begrebet forbindelse . Dette objekt fremkom som det mest relevante, men det kan være svært at forstå på grund af den formalisme, der kræves for dets introduktion. Sektionskurveringen af en Riemannian-sort, i første omgang enklere, formidler lige så meget information som krumningstensoren og gør det muligt at skabe forbindelsen til den Gaussiske krumning.
Vi definerer en sektionskurvatur for hvert af de 2 planer, der er inkluderet i hvert af de tangente rum i en Riemannian-manifold . Hvis P er en sådan plan i et punkt m , anser vi først familien af geodætiske fra m som vektorer P . Denne familie udgør en parametreret overflade inkluderet i manifolden, billedet af 2-planet ved det eksponentielle kort .
Sektions krumningen af 2-planet er derefter den Gaussiske krumning af denne overflade. Formelt udgør indsamlingen af alle snitkurver en anvendelse på Grassmannian af 2-fly med reelle værdier.
Lad være en affin manifold M med dimension , det vil sige en manifold udstyret med en affin forbindelse . Fra denne forbindelse definerer vi krumningstensoren eller Riemann-tensoren . Denne tensor er defineret for X-, Y- og Z- vektorfelter på manifolden ved:
,hvor [X, Y] er den Lie krog af X og Y. er en endomorfien området tangent fiber plads TM : ethvert vektorfelt Z , det associerer en ny vektor felt betegnet R (X, Y) Z .
Introduktion af en metrikVi giver affin manifolden M en metrisk tensor g : er så en Riemannian manifold , og vi kan definere en krumning med reelle værdier ved at:
.I komponenter i en lokal basis , er den vektor der er skrevet:
.hvor de er komponenterne i krumningstensoren. Vi har derefter:
.Ved at tage dets spor (med hensyn til X og Y) får vi Ricci-krumningstensoren, og ved at tage spor af det får vi den skalære krumning (som er en funktion af M in ).
Pierre de la Harpe , " Buede rum " , på images.math.cnrs.fr ,2004(adgang til 6. september 2018 ) .
Johann Colombano, " Visualiser krumningen " , på images.math.cnrs.fr ,2017(adgang til 6. september 2018 ) .