Skæringspunkt (matematik)

I sætteori er skæringspunktet en sætoperation, der bærer det samme navn som resultatet, nemlig det sæt af elementer, der tilhører begge operander på samme tid : skæringspunktet mellem to sæt A og B er sættet, betegnet A ∩ B , sagde, " A cross B ", som indeholder alle de elementer, som tilhører både A og til B , og kun dem.

A og B er adskilt, hvis og kun hvis A ∩ B er det tomme sæt ∅.

A er inkluderet i B , hvis og kun hvis A ∩ B = A .

I reel analyse griber skæringspunkterne for kurver, der er repræsentative for to funktioner, ind i beskrivelsen af deres relative position .

Eksempler inden for geometri

Skæringspunktet mellem to linjer

I planen

I flyet er skæringspunktet mellem to ikke- parallelle linjer et punkt : Vi siger, at de er sekante. $start fra = \ {A \}.$
Hvis to linjer er strengt parallelle, har de ikke noget fælles punkt; deres kryds er tomt: $d \ cap d '= \ varnothing.$
Hvis to linjer er forvirrede, er alle deres punkter fælles; krydset er en linje: $d \ cap d '= d = d'.$

I rummet

Hvis to linjer ikke er af samme plan, har de ikke noget fælles; deres kryds er tomt: $d \ cap d '= \ varnothing.$
To parallelle eller secant linjer er coplanar.

Andre eksempler

I rummet

skæringspunktet mellem en ikke-parallel linje og et plan er et punkt.
skæringspunktet mellem to ikke-parallelle plan er en linje.

I planen

skæringspunktet mellem en linje og en cirkel er dannet af nul, et eller to punkter, afhængigt af om afstanden fra centrum af cirklen til linjen er større end, lig med eller mindre end cirkelens radius . Hvis krydset reduceres til et punkt, er linjen tangent til cirklen.
skæringen mellem to cirkler er dannet af to punkter, hvis afstanden mellem deres centre er (strengt) mindre end summen af deres radier og større end deres forskel, med et punkt, hvis denne afstand er lig med summen eller forskellen radier (tangent cirkler), ellers tom.

I analytisk geometri

I analytisk geometri er skæringspunktet mellem to objekter defineret af ligningssystemet dannet af foreningen af ligningerne forbundet med hvert objekt.

I dimension 2 er skæringspunktet mellem to linjer defineret af et system med to ligninger med 2 ukendte, som generelt har en unik løsning, undtagen hvis dens determinant er nul, i hvilket tilfælde den enten har nul eller en uendelighed: vi find de tre tilfælde af geometri.

I dimension 3 er krydset mellem tre plan defineret af et system med tre ligninger med 3 ukendte, som generelt har en unik løsning, medmindre dens determinant er nul.

I boolsk algebra

I boolsk algebra er krydset associeret med den logiske operator et : hvis A er det sæt af elementer af E, der besidder ejendommen P (eller tilfredsstiller betingelsen P), og B sæt af elementer af E, der har ejendommen Q (eller tilfredsstiller betingelsen Q), så er A ∩ B det sæt af elementer i E, der har egenskaben P etQ (eller tilfredsstiller både betingelsen P og tilstanden Q).

Eksempel 1: hvis E er sættet med naturlige tal mindre end 10, A sættet med ulige elementer i E og B sættet med elementer i E prime, så er A ∩ B sættet med ulige elementer i E og først:

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, A ∩ B = {3, 5, 7}.

Eksempel 2: skæringspunktet mellem rektanglesættet ( firkanter med deres fire rette vinkler) og sættet med romber (firkanter med deres fire lige sider) er sættet med firkanter (firkanter med deres fire lige vinkler og deres fire lige sider) .

Vi definerer på samme måde skæringspunktet mellem en uspecificeret klasse af sæt (ikke nødvendigvis reduceret til to sæt, hverken endelig eller endda indekseret af et sæt: vi beder kun om, at det ikke er frit).

Algebraiske egenskaber

Skæringspunktet er associerende , det vil sige, at vi for ethvert sæt A , B og C har:
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ).
Skæringspunktet er kommutativ , det vil sige, at for sættene A og B enhver, vi har:
A ∩ B = B ∩ A .
Den union er distributiv over krydset, det vil sige, at for sættene A , B og C enhver, vi har:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).

Skæringspunktet mellem en sæt familie

Vi generaliserer dette koncept til en familie af sæt ( E i ) i ∈ I (ikke nødvendigvis reduceret til to sæt eller endda endelig). Skæringspunktet mellem E i , betegnet ∩ i ∈ I E i , er det sæt af elementer, der er fælles for alle E i (hvis jeg er det tomme sæt , er dette kryds derfor ikke defineret i det absolutte).

Formelt:

{\ displaystyle \ forall x, \ quad x \ in \ bigcap _ {i \ i I} E_ {i} \ Leftrightarrow (\ forall i \ i I, \ x \ i E_ {i}).}

Bemærkninger

For at være streng, skal vi sige her: "er en singleton "; misbrug "er et punkt" betragtes som acceptabelt.
For at bevise det er det tilstrækkeligt at antage cirklerne, centreret i A og B, sekant i M, og at skrive de trekantede uligheder i trekanten ABM.

Relaterede artikler