Diskriminerende

At indse

I matematik er den bemærkelsesværdige diskriminerende , eller den bemærkede realiserende , en algebraisk forestilling . Det bruges til at løse kvadratiske ligninger . Det er generaliseret til polynomer af enhver grad> 0, og hvis koefficienter vælges fra sæt forsynet med en tilføjelse og en multiplikation . I denne sammenhæng giver diskriminerende oplysninger om eksistensen eller fraværet af en multipel rod . ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ rho$

Diskriminanten bruges inden for andre områder end undersøgelse af polynomer. Dens anvendelse giver os mulighed for bedre at forstå kegler og kvadrater generelt. Det findes i studiet af kvadratiske former eller talfelter inden for rammerne af Galois-teorien eller algebraiske tal . Dens definition er baseret på beregningen af en determinant .

Historisk

Diskriminantens historie og opdagelse er et element i algebraens mere generelle historie og især i opløsningen af kvadratiske ligninger . Det ser især ud, når disse ligninger løses ved hjælp af bemærkelsesværdige identiteter .

Kvadratisk polynom

Løsning af ligningen med reelle koefficienter

Overvej en kvadratisk ligning, her er a , b og c tre reelle koefficienter, således at a er forskellig fra nul :

økse ^ {2} + bx + c = 0.

Diskriminant af andengradsligningen - Diskriminanten af den tidligere ligning er antallet Δ defineret af:

\ Delta = b ^ {2} -4ac.

At kende forskellen gør det muligt at løse ligningen:

Løsning af ligningen - Hvis diskriminanten er positiv, tillader ligningen to løsninger x 1 og x 2 givet ved følgende formler:

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {et}} \ quad ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2 }).}

Hvis diskriminanten er nul, er de to opnåede løsninger ens, siger vi, at ligningen indrømmer en dobbelt rod :

ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x + {\ frac b {2a}} \ right) ^ {2} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {1} = x_ {2 } = - {\ frac b {2a}}.

Hvis diskriminanten er strengt negativ, har den ingen reel kvadratrod, og ligningen indrømmer derfor ikke en reel løsning.

I sidstnævnte tilfælde har diskriminanten imidlertid en kompleks rod og derfor en kompleks løsning:

Løsning af ligningen med løsninger eller komplekse koefficienter

Hvis ligningen med komplekse tal i ligningen er tilladt, eller hvis koefficienterne a , b og c er komplekse, er situationen lidt anderledes. The d'Alembert-Gauss sætning specificerer, at der altid er mindst en løsning på ligningen. I sættet med komplekser indrømmer et tal altid to kvadratrødder, der findes en værdi δ således at dens kvadrat δ 2 er lig med Δ:

Komplekse rødder - Ligningen tillader to løsninger x 1 og x 2 givet ved følgende formler:

x_ {1} = {\ frac {-b + \ delta} {2a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b- \ delta} {2a}}.

Hvis diskriminanten er nul, vises den samme løsning to gange: ligningen indrømmer en dobbelt rod svarende til:

\ quad x_ {1} = x_ {2} = - {\ frac b {2a}}.

Reduceret diskriminator

Den reducerede diskriminant vises, når vi skriver den kvadratiske ligning i form

økse ^ {2} + 2b'x + c = 0,

ved en ændring af variablen I dette tilfælde forenkles "2" og "4", der vises i udtrykket for løsningerne og for den diskriminerende, og man opnår: ${\ displaystyle b '= {\ frac {b} {2}}}$

Reduceret diskriminant - Den reducerede diskriminant fra den foregående ligning er antallet Δ 'defineret af:

\ Delta '= b' ^ {2} -ac.

Udtrykket af rødderne, hvis de findes, bliver:

x_ {1} = {\ frac {-b '+ \ delta'} {a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b '- \ delta'} { a}} \ quad {\ text {with}} \ quad \ delta '^ {2} = \ Delta' = b '^ {2} -ac.

Eksempler

Lad os prøve at løse følgende ligning:

5x ^ {2} -5x + 1 = 0.

Beregningen af den diskriminerende Δ og af rødderne x 1 og x 2 giver:

\ Delta = (- 5) ^ {2} -4 \ gange 5 \ gange 1 = 5 \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {1} = {\ frac {5 + {\ sqrt 5}} { 10}}, \ quad x_ {2} = {\ frac {5 - {\ sqrt 5}} {10}}.

I tilfælde af den følgende ligning er den reducerede diskriminant nul, og der er kun en rod svarende til –3.

x ^ {2} + 6x + 9 = 0 \ quad {\ text {:}} \ quad \ Delta '= 3 ^ {2} -1 \ gange 9 = 0 \ quad {\ text {; som}} \ quad x ^ {2} + 6x + 9 = (x + 3) ^ {2} \; {\ text {, vi har}} \ quad x_ {1} = x_ {2} = - 3.

Det sidste eksempel beskriver en situation, hvor diskriminanten er strengt negativ, her lig med –3. Bemærk, at $i$ √ 3 er en kvadratrod af den diskriminerende, hvis $jeg$ angiver den imaginære enhed . Dette gør det muligt at bestemme løsningerne:

{\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ Delta = 1 ^ {2} -4 \ times 1 \ times 1 = -3 \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {1} = - {\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, \ quad x_ {2} = - {\ frac {1} {2}} - {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}.}

Vi kan bemærke, at disse to rødder er rødder af enhed : de har for terning (for tredje magt) tallet 1. Det valgte polynom er et specielt tilfælde af cyklotomisk polynom .

Det gyldne forhold er den unikke positive løsning af ligningen $x 2 = x + 1$ : her derfor . ${\ displaystyle \ Delta = 5}$ $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$

Geometrisk fortolkning

Ligningen definerer (for ikke-nul) en parabel , og at finde løsningen y = 0 svarer til at finde skæringspunktet mellem denne parabel og x-aksen. Diskriminerende giver dig mulighed for at vide, om dette kryds eksisterer i henhold til de tre muligheder illustreret af billedet øverst i artiklen: ${\ displaystyle ax ^ ^ {2} + bx + c = y.}$ $på$

blå kurve (positiv diskriminant): parabolen krydser x-aksen to gange; for mellem de to løsninger har det modsatte tegn til og det samme tegn som udenfor; $x$ $y$ $på$ $på$
rød kurve (nul diskriminerende): parabolen tangent til x-aksen på et enkelt punkt (den dobbelte opløsning);
gul kurve (negativ diskriminant): parabolen krydser ikke x-aksen, har altid det samme tegn som . $y$ $på$

Kvadratisk form i dimension 2

På sættet med reelle tal forbinder en kvadratisk form φ i dimension 2 med to variabler x og y et tal ved hjælp af følgende formel:

\ varphi (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} \ quad {\ text {with}} \ quad a, b, c \ in \ mathbb {R}.

En kvadratisk form har også et matrixudtryk :

\ varphi (x, y) = {\ begin {pmatrix} x & y \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & {\ frac b2} \\ {\ frac b2} & c \ end {pmatrix} } {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.

Den determinant af matrixen udtryk er lig med - ( b 2 - 4 ac ) / 4; vi finder et udtryk tæt på det forrige. En ændring af basen ved hjælp af en passagematrix P ændrer værdien af determinanten. Mere nøjagtigt er værdien i det nye grundlag lig med værdien i det gamle basis ganget med kvadratet af determinanten af P , og tegnet på determinanten forbliver uændret. Denne egenskab analyseres i den detaljerede artikel.

Af denne grund er der tre forskellige definitioner af diskriminerende af en kvadratisk form i dimension to. Diskriminant af en kvadratisk form i en base B er determinanten af matrixen knyttet til kvadratisk form i basen B . Analogien med den tidligere situation gør det muligt at definere diskriminanten af den kvadratiske form som lig med b 2 - 4 ac . Endelig, som den eneste invariant forbundet med determinanten af den kvadratiske form, er diskriminanten også defineret som tegnet på determinanten, som kan tage værdierne +1, 0 eller –1.

Diskriminanten adskiller de kvadratiske former i tre familier. I to dimensioner, med definitionen af diskriminere værdien af determinant i kanoniske basis , hvis diskriminant er positivt tegn for en værdi har givet alle E har punkter ( x , y ) opfylder φ ( x , y ) = a svarer til en ellipse eller til det tomme sæt. Hvis diskriminanten er nul, svarer sættet E a til en parabel . Hvis diskriminanten er negativ, E et er en hyperbel . De kvadratiske former gør det således muligt at opnå de tre forskellige former for koniske .

Polynom af enhver grad

Rotextraktionen af et polynom ved hjælp af diskriminanten generaliserer ikke til grader større end to. Diskriminanten af et polynom bevarer alligevel en nytte.

I tilfælde af ligninger af grad to er diskriminanten nul, hvis og kun hvis polynomet har en multipel rod. Eksistensen af flere rod kan have vigtige konsekvenser. I lineær algebra ændrer tilstedeværelsen af flere rødder i endomorfismens minimale polynom dets natur. Denne tilstedeværelse forbyder diagonalisering . På udvidelser af rationelle tal, irreducerbare polynomer, det vil sige polynomer, som ikke kan faktoriseres, har aldrig en multipel rod (se artiklen Adskillelig udvidelse ) , denne situation er ikke sand for alle kroppe. I forbindelse med Galois-teorien er denne sondring vigtig, resultaterne er forskellige afhængigt af konfigurationen.

Definition og egenskaber

Generaliseringen af diskriminanten af et polynom i enhver grad tilbyder et værktøj, der gør det muligt at bestemme, om dets rødder er enkle eller flere. I dette afsnit betegner A en integreret ring og P et polynom af grad n, hvis koefficienter hører til A og bemærkes som følger:

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \; {\ text { og}} \ quad a_ {n} \ neq 0.

Den formelle derivat af P er betegnet med P ' , den eksisterer, selvom A er forskellig fra feltet med reelle eller komplekse tal. Endelig betegner R det resulterende ; det er en særlig applikation, der kombinerer to polynomier et element af A .

Diskriminanten af P , generelt betegnet med Δ ( P ), er den værdi, der er defineret ved følgende formel, når deg ( P ' ) = n - 1 (hvilket altid er tilfældet i karakteristik 0):

\ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {{\ frac {n (n-1)} 2}}} {a_ {n}}} R (P, P ').

Normaliseringskoefficienten er vigtig; en diskriminerende kan således også fortolkes som et orienteret volumen. Brugen af en sådan tilgang bliver tydelig, når man analyserer diskriminanten af en kvadratisk form eller en Dedekind-ring inden for rammerne af algebraisk talteori .

Visse resultater af Galois-teorien gælder for den diskriminerende, det er derefter nødvendigt at udvide ringen A af koefficienterne. Som A er unitære integrerer kommutativ, det har en område af fraktioner F commutative og P kan betragtes som et polynomium med koefficienter i F . Her betegner K nedbrydningsfeltet for P , det vil sige det mindste felt indeholdende F og alle rødderne af P , bortset fra en isomorfisme. Diskriminanten har følgende egenskab:

Diskriminanten af polynomet P er ikke nul, hvis og kun hvis P kan adskilles (dvs. tillader ikke nogen multipel rod).

Dette resultat er en konsekvens af en generel egenskab for den resulterende af to polynomer: det er ikke-nul, hvis og kun hvis de to polynomer er coprime. Det kan også udledes af følgende formel:

Lad α i for i, der varierer fra 1 til n, rødderne til polynomet P, diskriminanten opfylder følgende ligestilling:

{\ displaystyle \ Delta (P) = a_ {n} ^ {2n-2} \ prod _ {i <j} {(\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}}}

. Demonstration

I henhold til resultatets egenskaber er diskriminanten lig med:

{\ displaystyle R (P, P ') = (- 1) ^ {n (n-1)} a_ {n} ^ {n-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} P' (\ alfa _ {i}) = a_ {n} ^ {n-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} P '(\ alpha _ {i})}

Polynomet P opfylder følgende ligestilling, som ved afledning giver:

P = a_ {n} \ prod _ {{j = 1}} ^ {n} (X- \ alpha _ {j}) \ quad {\ text {and}} \ quad P '= a_ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ prod _ {{j = 1 \ oven på j \ neq k}} ^ {n} (X- \ alpha _ {j}).

Vi udlede udtrykket for P ' (α j ):

P '(\ alpha _ {i}) = a_ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ prod _ {{j = 1 \ oven på j \ neq k}} ^ {n} ( \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) = a_ {n} \ prod _ {{j = 1 \ oven på j \ neq i}} ^ {n} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}),

som giver diskriminanten følgende udtryk:

R (P, P ') = a_ {n} ^ {{2n-1}} \ prod _ {{i \ neq j}} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) = a_ {n } ^ {{2n-1}} \ prod _ {{i <j}} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}).

Da der findes nøjagtigt n ( n - 1) / 2 par ( i , j ), således at jeg er strengt mindre end j , udleder vi:

R (P, P ') = (- 1) ^ {{{\ frac {n (n-1)} 2}}} a_ {n} ^ {{2n-1}} \ prod _ {{i <j }} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}.

Definitionen af diskriminerende giver os mulighed for at konkludere.

Eksempler

Diskriminanten af et polynom af grad 1 er altid lig med 1.
For de kvadratiske polynomer og med notationerne i første afsnit får vi: $\ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {{\ frac {2 (2-1)} 2}}} a} {\ begin {vmatrix} & a & 2a & 0 & \\ & b & b & 2a & \\ & c & 0 & b & \\\ end {vmatrix}} = - {\ begin {vmatrix} & 1 & 2 & 0 & \\ & b & b & 2a & \\ & c & 0 & b & \\\ end {vmatrix}} = - {\ begin {vmatrix} b & 2a & \\ 0 & b & \\\ end {vmatrix}} + 2 {\ begin {vmatrix} b & 2a & \\ c & b & \\\ end {vmatrix}} = b ^ {2} -4ac$ i karakteristik forskellig fra 2.
For polynomer af grad tre betragter vi generelt det normaliserede polynom, dvs. det, hvis dominerende monomium er lig med 1. og med følgende notationer: $P = X ^ {3} + aX ^ {2} + bX + c.$ Vi får, hvis : $A = {\ mathbb Q}$ $\ Delta (P) = (- 1) ^ {{\ frac {3 (3-1)} 2}} {\ start {vmatrix} & 1 & a & b & c & 0 \\ & 0 & 1 & a & b & c & \\ & 3 & 2a & b & 0 & 0 & \\ & 0 & 3 & 2a & b & 0 & \\ & 0 & 0 & 3 & 2a & {vmatrix}} = a ^ { 2} b ^ {2} + 18abc-4b ^ {3} -4a ^ {3} c-27c ^ {2}.$ Udtrykket er lidt komplekst; af denne grund er traditionen at foretage udskiftninger.
Vi opnår følgende generelle resultat: antag, at A er et kommutativt felt med en anden egenskab end 2 og 3. Derefter kan vi sætte enhedens polynom i form $P (X) \ i A [X]$ $P = X ^ {3} + pX + q \ quad {\ text {and}} \ quad \ Delta (P) = - 2 ^ {2} p ^ {3} -3 ^ {3} q ^ {2} .$
I tilfælde af en polynomligning af grad 3 med reelle koefficienter, hvis denne diskriminant er strengt positiv, indrømmer ligningen tre forskellige reelle løsninger, hvis denne diskriminant er nul, er en rod flere og alle er reelle, hvis denne diskriminant er strengt negativ , ligningen kun indrømmer en reel løsning, de to andre er komplekse konjugater . (For eksempel, for binomialligningen X 3 - a = 0, er denne diskriminant –27 a 2 <0, hvis a ikke er nul.)

Demonstration

Lad os bemærke først og fremmest, at mindst én rod er reel (den polynomium funktion af i at tage positive og negative værdier og være kontinuerlig), og at vi kan antage koefficienten af perioden for højeste grad af ligningen lig til 1 Lade være ligningens tre rødder (ikke nødvendigvis adskilte). Den diskriminerende gives derefter af $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$ $\ alpha _ {j}$ $\ venstre (1 \ leq j \ leq 3 \ højre)$

$\ Delta = \ prod \ limits _ {{j <k \ leq 3}} \ left (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {k} \ right) ^ {2}.$

Derfor, hvis de tre rødder er ægte og tydelige, har vi nødvendigvis det . Hvis en rod er dobbelt eller tredobbelt (hvilket svarer til tilfældet ), kan den ikke være kompleks, fordi dens konjugat også ville være rod. Der er stadig tale om tre forskellige rødder, to konjugatkomplekser og og én reel . Vi kan så spørge: $\ Delta> 0$ $\ Delta = 0$ $\ alpha _ {1}$ $\ alpha _ {2}$ $\ alpha _ {3}$

${\ begin {cases} \ alpha _ {1} = r + er \\\ alpha _ {2} = r-is \\\ alpha _ {3} = t \ end {cases}}$

r , s , t er reelle tal. Det har vi så

{\ begin {justeret} \ Delta & = (r + er-r + er) ^ {2} (r + er-t) ^ {2} (r-er-t) ^ {2} \\ & = ( 2is) ^ {2} [(rt + er) (rt-is)] ^ {2} \\ & = - 4s ^ {2} [(rt) ^ {2} - (is) ^ {2}] ^ {2} \\ & = - 4 \ venstre (s [(rt) ^ {2} + s ^ {2}] \ højre) ^ {2} <0. \\\ ende {justeret}}

Da vi har udtømt alle mulige tilfælde, demonstreres resultatet.

Ligningerne i ligningen på et kommutativt felt K med karakteristik, der adskiller sig fra 2 og 3, er givet med " Cardan-formlen ", som i en algebraisk lukning af K kan anbringes i form $X ^ {3} + pX + q = 0$ ${{\ rm {j}}} ^ {k} {\ sqrt [{3}] {{\ frac 12} \ left (-q + {\ sqrt {{\ frac {- \ Delta} {3 ^ {3 }}}}} \ højre)}} + {{\ rm {j}}} ^ {{- k}} {\ sqrt [{3}] {{\ frac 12} \ left (-q - {\ sqrt {{\ frac {- \ Delta} {3 ^ {3}}}}} til højre)}}$ $\ venstre (0 \ leq k \ leq 2 \ højre)$ hvor er den diskriminerende bemærket ovenfor, og hvor $j$ er en primitiv kubisk rod af enhed. De to termer og denne sum er relateret efter relation . Et eksempel på løsning af en tredjegradsligning i en endelig egenskab kan findes i artiklen Cardans metode . $\ Delta$ $\ Delta (P)$ $u_ {k}$ $v_ {k}$ $3u_ {k} v_ {k} = - s$
De elliptiske kurver er et specielt tilfælde af tredje grad polynomer i to variabler. For det enkle tilfælde af en elliptisk kurve for formularen , hvor koefficienterne er reelle tal, defineres diskriminanten igen af . $y ^ {2} = x ^ {3} + px + q$ $q, s$ $\ Delta = -4p ^ {3} -27q ^ {2}$

Generelt udtryk

Det generelle udtryk for diskriminanten af polynomet P defineret af:

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \;

er følgende:

{\ displaystyle \ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}}} {a_ {n}}} \ overbrace {\ begin {array} { | cccc} a_ {n} & 0 & \ cdots & 0 \\ a_ {n-1} & a_ {n} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & a_ {n-1} & \ ddots & 0 \ \ a_ {2} & \ vdots & \ ddots & a_ {n} \\ a_ {1} & a_ {2} & \ ddots & a_ {n-1} \\ a_ {0} & a_ {1} & \ prikker & \ vdots \\ 0 & a_ {0} & \ prikker & a_ {2} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & a_ {1} \\ 0 & \ cdots & 0 & a_ {0} \\ \ end {array}} ^ {n-1 {\ text {columns}}} \ overbrace {\ begin {array} {ccccc |} na_ {n} & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ (n- 1) a_ {n-1} & na_ {n} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & (n-1) a_ {n-1} & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 2a_ {2} & \ vdots & \ ddots & na_ {n} & 0 \\ a_ {1} & 2a_ {2} & \ ddots & (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} \\ 0 & a_ { 1} & \ ddots & \ vdots & (n-1) a_ {n-1} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 2a_ {2} & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & 2a_ {2} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a_ {1} \\\ end {array}} ^ {n {\ text {columns}}}}

og efter at have forenklet koefficienten i den første række af determinanten for at opnå en definition, der er gyldig på enhver kommutativ ring: $år$

{\ displaystyle \ Delta (P) = (- 1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} \ overbrace {\ begin {array} {| cccc} 1 & 0 & \ cdots & 0 \ \ a_ {n -1} & a_ {n} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & a_ {n-1} & \ ddots & 0 \\ a_ {2} & \ vdots & \ ddots & a_ {n } \\ a_ {1} & a_ {2} & \ ddots & a_ {n-1} \\ a_ {0} & a_ {1} & \ ddots & \ vdots \\ 0 & a_ {0} & \ ddots & a_ {2} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & a_ {1} \\ 0 & \ cdots & 0 & a_ {0} \\\ end {array}} ^ {n-1 {\ text { kolonner}}} \ overbrace {\ begin {array} {ccccc |} n & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & (n-1) a_ {n-1} & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 2a_ {2} & \ vdots & \ ddots & na_ {n} & 0 \\ a_ {1 } & 2a_ {2} & \ ddots & (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} \\ 0 & a_ {1} & \ ddots & \ vdots & (n-1) a_ {n- 1} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 2a_ {2} & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & 2a_ {2} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a_ {1} \\\ slut {array}} ^ {n {\ text {kolonner}}}}

Brug af diskriminerende

Lad os vende tilbage til diskriminantens brug.

I tilfælde af ligninger i anden eller tredje grad gør diskriminanten det muligt at beregne rødderne, og dets tegn gør det muligt at karakterisere dem (se ovenfor ).
Lad os mere generelt betragte et polynom med reelle gradskoefficienter . Hvis rødderne til dette polynom er alle reelle og tydelige, kontrollerer dets diskriminerende . Hvis rødderne er forskellige, og mindst to af dem er komplekse konjugater. Mere generelt, lad k være et kommutativt felt og et polynom af grad . Hvis rødderne i en algebraisk lukning af k hører til k , er diskriminanten en firkant i k . $f \ venstre (X \ højre)$ $n> 0$ $\ Delta$ $\ Delta> 0$ $\ Delta <0$ $f \ venstre (X \ højre)$ $f \ venstre (X \ højre) \ i k \ venstre [X \ højre]$ $\ geq 2$ $f \ venstre (X \ højre)$

Demonstration

Overvej blot udtrykket

\ Delta = a_ {n} ^ {{2n-2}} \ prod \ nolimits _ {{i <j \ leq n}} \ left (\ alpha _ {{i}} - \ alpha _ {{j}} \ højre) ^ {{2}}

hvor er koefficienten for udtrykket af højeste grad og er rødderne til . $år$ $\ alpha _ {{i}}$ $f \ venstre (X \ højre)$

Lad k være et kommutativt felt og et polynom af grad . Dette polynom kan adskilles, hvis og kun hvis dets diskriminerende er (se ovenfor ). $f \ venstre (X \ højre) \ i k \ venstre [X \ højre]$ $\ geq 2$ $\ Delta$ $\ neq 0$
Lad k være et felt karakteristisk , en aftagelig polynomium af grad , dets bryde krop, og rødderne af f i E . Følgende betingelser er ækvivalente: $\ neq 2$ $f \ venstre (X \ højre) \ i k \ venstre [X \ højre]$ $n \ geq 2$ $E \ supseteq k$ $\ alpha _ {{1}}, ..., \ alpha _ {{n}}$

(a) Galois-gruppen , som en gruppe af permutationer af , er inkluderet i den alternative gruppe .

G \ venstre (E / k \ højre)

\ alpha _ {{1}}, ..., \ alpha _ {{n}}

År}}

(b) tilhører k .

\ delta = \ prod \ nolimits _ {{i <j}} \ left (\ alpha _ {{i}} - \ alpha _ {{j}} \ right)

\ Delta

Demonstration

Hvis en permutation er jævn (resp. Odd), ændres den til (resp. ). Derfor, hvis alle elementerne i handling ved ens permutationer på , så er uforanderlige af denne gruppe, og . Så . Det omvendte er indlysende, som det er . $\ delta$ $\ delta$ $- \ delta$ $G \ venstre (E / k \ højre)$ $\ alpha _ {{1}}, ..., \ alpha _ {{n}}$ $\ delta$ $\ delta \ i k$ $(a) \ Rightarrow (b)$ $(b) \ Leftrightarrow (c)$

Diskriminant af en ring af algebraiske heltal

Algebraisk talteori bruger begrebet diskriminant fra en definition, der synes helt anderledes. Den svarer til en determinant for en kvadratisk form og anvender en kommutativ ring A . De to definitioner er ikke desto mindre tæt forbundet. Hvis der findes et algebraisk heltal en sådan at ringen A er lig med ℤ [ a ] - her ℤ betegner de relative heltal - så minimal polynomium af en har koefficienter i ℤ. Dets diskriminerende i betydningen polynomer er lig med ringens diskriminant i betydningen algebraisk talteori.

Noter og referencer

"Kvadratisk ligning" på UCLouvain-webstedet .
Denne situation ses for eksempel i studiet af elektriske kredsløb: impedans er et komplekst tal.
Denne definition er almindelig. Vi finder det for eksempel i (en) Eric W. Weisstein , " Polynomial Discriminant " , på MathWorld (i en mere generel form i det tilfælde, hvor P ' ikke er af grad n - 1) eller endda resulterende og diskriminerende på farten .net-websted. Dog i Resultat. Diskriminerende på webstedet les-mathematiques.net er standardiseringskoefficienten fraværende.
(i) Granino A. Korn og Theresa M. Korn, Matematisk Handbook for videnskabsmænd og ingeniører: Definitioner, Theorems, og formlerne for reference og anmeldelse , Dover ,1968( Repr. 2000) 2 e ed. ( 1 st ed. 1961), 1152 s. ( ISBN 978-0-486-32023-6 , læs online ) , s. 16.
Udgave af (in) RWD Nickalls og RH Dye , " Geometrien til diskriminanten af et polynom " , The Mathematical Gazette , Vol. 80,Juli 1996, s. 279-285 ( læs online ).
Denne formel er for eksempel i artiklen (i) Discriminant den Encyclopaedia Britannica .
Det tilrådes virkelig at forbinde to til to korrekt de kubiske rødder i en algebraisk lukning af feltet K : se H. Weber , “ Cardan formula modified by Cayley ”, New annals of mathematics, 3. rd serie , vol. 14,1895, s. 347-349 ( læs online ). Begrænsningen af karakteristikken ved K kommer fra divisionerne med 2 og 3: se Mac Lane og Birkhoff 1999 , §XIII.1.
Konventionerne er undertiden forskellige, og man kan i litteraturen finde dette udtryk ganget med et strengt positivt tal.
Cohn 2005 , Thm. 7.10.5.

Bibliografi

Nicolas Bourbaki , Algebra, kapitel 4 til 7 , Springer ,2006, 432 s. ( ISBN 3-540-34398-9 )
(en) Paul Moritz Cohn , grundlæggende algebra , springer,2005, 480 s. ( ISBN 81-8128-047-4 )
Serge Lang , Algebra [ detaljer af udgaver ]
(en) Saunders Mac Lane og Garrett Birkhoff , Algebra , AMS ,1999, 3 e ed. , 626 s. ( ISBN 0-8218-1646-2 , læs online )
Pierre Samuel , algebraisk talteori [ udgave detalje ]
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaljerede udgaver ]
(en) Robert J. Walker, algebraiske kurver , Springer, 1978 ( ISBN 978-03-879-0361-3 )