Lamms ligning

Den Lamm ligning beskriver sedimentation af partikler i opløsning i en væske, således at det forekommer i en centrifuge. Denne ligning blev navngivet til ære for den svenske fysisk-kemiker Ole Lamm . Det udgør et specielt tilfælde af Mason-Weaver-ligningen .

Lamms ligning

Den Mason-Weaver ligning skrevet i sin generelle form:

∂vs.∂t=-∇⋅J=D∇2vs.+s∇⋅(vs.g){\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = D \ nabla ^ {2} c + s \ nabla \ cdot (c \, \ mathbf { g})}

med

vs.(r,t){\ displaystyle c \, (r, t)}	koncentration af opløst stof,
J=-D∇vs.-svs.g{\ displaystyle \ mathbf {J} = -D \ nabla cs \, c \, \ mathbf {g}}	strømmen af ​​materiale,
D{\ displaystyle D}	binær diffusionskoefficient,
s=Vg{\ displaystyle s = {\ frac {V} {g}}}	sedimentationskoefficient,
V{\ displaystyle V}	sedimentationshastighed,
g{\ displaystyle \ mathbf {g}}	accelerationsfelt.

I et system, der roterer som en centrifuge, gives den tilsyneladende tyngdekraft ved:

g=-rω2{\ displaystyle g = -r \ omega ^ {2}}

hvor er rotationshastigheden, antages at være konstant. Mason-Weaver-ligningen skrevet i cylindriske koordinater bliver: ω{\ displaystyle \ omega}

∂vs.∂t=D(∂2vs.∂r2+1r∂vs.∂r)-sω2(r∂vs.∂r+2vs.){\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} c} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1 } {r}} {\ frac {\ partial c} {\ partial r}} \ right) -s \ omega ^ {2} \ left (r {\ frac {\ partial c} {\ partial r}} + 2c \ ret)}

Denne ligning er Lamm-ligningen. Det er forbundet med en randbetingelse på nul flow på de indre og ydre vægge:

D∂vs.∂r|s-sω2rsvs.s=0{\ displaystyle D \ left. {\ frac {\ partial c} {\ partial r}} \ right | _ {p} -s \ omega ^ {2} r_ {p} c_ {p} = 0}

Referencer

1. (i) Jagannath Mazumdar, En introduktion til Matematisk fysiologi og biologi , Cambridge, UK, Cambridge University Press ,1999( ISBN  0-521-64675-8 , læs online )
2. (in) IF Rubinow, Introduktion til matematisk biologi , Courier / Dover-publikationer2002, 386  s. ( ISBN  0-486-42532-0 , læs online )
3. (Sw) Ole Lamm , “  Die Differentialgleichung der Ultrazentrifugierung  ” , Arkiv för matematik, astronomi och fysik , vol.  21B, nr .  21929, s.  1-4

Relaterede artikler

• Sedimentation