Stationær tilstand (kvantefysik)

I kvantefysik som i det klassiske tilfælde er en stationær tilstand en tilstand, der ikke udvikler sig over tid. Den matematiske beskrivelse af tilstande er dog lidt anderledes. I tilfælde af en vektor af norm 1 i et Hilbert-rum kan der være en "faseændring" (i betydningen multiplikation med et komplekst antal modul 1). Desuden, hvis den er kendetegnet ved en bølgefunktion, er dens sandsynlighedstæthed uafhængig af tid. $\ Psi (t)$ ${\ displaystyle | \ Psi (t) | ^ {2}}$

Tilstrækkelige forhold

I tilfælde af et isoleret system (tid uafhængig Hamilton'ske operatør), egenfunktioner af Hamiltonske operatør er altid stationære tilstande.

Demonstration

Lad os antage i absolutte termer, at det betragtede systems bølgefunktion afhænger af tid og position i rummet. Vi skriver denne bølgefunktion . ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {x}}, t)}$

Den Schrödingerligningen er: ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = i \ hbar {\ dfrac {\ partial \ psi} {\ partial t}}}$

hvor er den Hamilton-operatør af systemet og er energioperatøren af systemet i den ikke-relativistiske Schrödinger-ordning. ${\ hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {E}} = i \ hbar {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}}}$

Den ikke-relativistiske Hamilton-operatør er skrevet med operatøren "potentiel energi" og operatørens kinetiske energi, hvor er systemets masse betragtet. ${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {T}} + {\ hat {V}} ({\ vec {x}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {V}} ({\ vec {x}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {T}} = - {\ dfrac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {{\ nabla} ^ {2}}}$ $m$

Total energi er den potentielle energi, der føjes til den kinetiske energi.

I det uforstyrrede tilfælde er systemet isoleret, og derfor er den potentielle energi nul, fordi systemet ikke har nogen interaktion med det udvendige. Vi har antaget, at den Hamilton-operatør ikke er afhængig af tid. Schrödinger-ligningen bliver:

${\ displaystyle - {\ dfrac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {{\ nabla} ^ {2}} \ psi ({\ vec {x}}, t) = i \ hbar {\ dfrac {\ partial \ psi ({\ vec {x}}, t)} {\ partial t}}}$

Vi har udlignet rumlige derivater med tidsderivater. Vi kan derfor skrive bølgefunktionen som et produkt . Ligningen bliver derefter ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {x}}, t) = f ({\ vec {x}}) g (t)}$

${\ displaystyle - {\ dfrac {\ hbar ^ {2}} {2m}} g (t) {\ nabla} ^ {2} f ({\ vec {x}}) = i \ hbar f ({\ vec {x}}) {\ dfrac {\ mathrm {d} g (t)} {\ mathrm {d} t}}}$

Derfor er en del helt afhængig af tid. Vi udleder

${\ displaystyle {\ dfrac {g '(t)} {g (t)}} = {\ dfrac {i \ hbar} {2m}} {\ dfrac {\ Delta f ({\ vec {x}})} {f ({\ vec {x}})}}$

Den venstre del afhænger kun af tiden, mens den højre del kun afhænger af rummet. Vi udleder, at det er en konstant. Differentialligningen, der skal løses, er derfor af første orden, hvor den er konstant. Løsningen af en sådan ligning er nul (uden interesse), ellers er det, at funktionen er en eksponentiel funktion. Vi sætter, og vi får ligningen . Derfor ligningen ${\ displaystyle {\ dfrac {g '(t)} {g (t)}}}$ ${\ displaystyle g '(t) = Kg (t)}$ $K$ $g (t)$ ${\ displaystyle g (t) = \ exp (-i {\ dfrac {E} {\ hbar}} t)}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {g '(t)} {g (t)}} = - i {\ dfrac {E} {\ hbar}}}$

${\ displaystyle {\ dfrac {i \ hbar} {2m}} {\ dfrac {\ Delta f ({\ vec {x}})} {f ({\ vec {x}})}} = - i {\ dfrac {E} {\ hbar}}}$

Vi udleder følgende form:

${\ displaystyle - {\ dfrac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} \ Delta f ({\ vec {x}}) = {E} f ({\ vec {x}})}$

Hvor vi ser, at systemets energi ikke afhænger af tid.

Lad os opsummere. Vi har vist, at under hypotesen om en ikke-tidsafhængig Hamiltonian er systemets energi ikke tidsafhængig. Derudover afhænger normen for den firkantede bølgefunktion ikke af tiden, fordi . ${\ displaystyle | \ psi ({\ vec {x}}, t) | ^ {2} = | f ({\ vec {x}}) | ^ {2}}$

Især er en egenvektor af en observerbar, der pendler med den Hamilton-operatør, en egenvektor af den Hamilton-operatør.

Nødvendig tilstand

Omvendt, hvis afhænger af tid (hvor er en familie af enhedsvektorer), så er staten bestemt ikke stationær. ${\ displaystyle \ left | <\ psi (t) | \ psi (0)> \ right |}$ ${\ displaystyle | \ psi (t)>}$