Færdiggørelse af pladsen

Fremgangsmåden til færdiggørelse af pladsen , i matematik, er en algebraisk proces gør det muligt at omskrive en andengradsligning af formen i sin kanoniske form , eller at faktorisere det polynomium . Ideen er at vise en firkantet form for bemærkelsesværdig identitet og et eksempel på udvinding af kvadratroden . $økse ^ {2} + bx + c = 0$ ${\ displaystyle a {\ biggl (} (x + {\ frac {b} {2a}}) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} {\ biggr)} = 0}$ ${\ displaystyle økse ^ {2} + bx + c}$

Metode

Den generelle idé med denne teknik består, startende fra en ligning af formen A + B = C , for at sætte den i form A + B + D = C + D , hvor D vælges således at A + B + D eller udviklingen af en bemærkelsesværdig identitet som (en variant af denne proces består i at "tilføje 0", det vil sige skriftligt A + B i form A + B + DD). Når vi således har en ligning af formen, tilføjer vi på hver side af ligningen for at få den til at vises , hvilket giver ${\ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + bx + c = 0}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -c}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + bx + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} = \ left (x + {\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}$

{\ displaystyle x ^ {2} + bx + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ { 2} -vs}

hvorfra ${\ displaystyle \ venstre [x + \ venstre ({\ frac {b} {2}} \ højre) \ højre] ^ {2} = \ venstre ({\ frac {b} {2}} \ højre) ^ { 2} -vs}$

og derfor (forudsat at radikand er positiv). ${\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -c}}}$

Eksempel

Lad ligningen løses. Tilføj på hver side. ${\ displaystyle x ^ {2} -6x + 5 = 0}$ ${\ displaystyle (-6/2) ^ {2} -5 = 9-5}$

Vi får , ${\ displaystyle x ^ {2} -6x + 5 + 9-5 = 9-5}$

hvilket er forenklet i , ${\ displaystyle x ^ {2} -6x + 9 = 4}$

derefter ind ${\ displaystyle (x-3) ^ {2} = 4}$

og endelig . ${\ displaystyle x-3 = \ pm {\ sqrt {4}} = \ pm 2}$

Derfor er ligningens løsninger og . ${\ displaystyle x_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {2} = 5}$

Generalisering

Vi kan anvende denne metode til en ligning af formularen , hvor $økse ^ {2} + bx + c = 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0.}$

økse ^ {2} + bx + c = 0

{\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {c} {a}} = 0,}

fordi

{\ displaystyle a \ neq 0.}

Ved at anvende ovenstående metode til denne ligning opnår vi den kanoniske form

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a {\ biggl (} (x + {\ frac {b} {2a}}) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} {\ biggr)} = 0}$ ;

så finder vi Vietes formel (forudsat den positive radikand ):

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {c} { på}}}},}

eller i en mere almindelig form med diskriminerende af polynomet:

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

; .

{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

Hvis diskriminanten er positiv, opnår vi den kanoniske faktorisering:

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}).}$

Andre applikationer

Den samme idé kan anvendes på andre algebraiske udtryk; det tillader for eksempel at transformere en cartesisk ligning som i eller ; vi genkender derefter ligningen af en cirkel med centrum (-1, 2) og radius 3. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 2x-4y = 4}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 + y ^ {2} -4y + 4 = 9,}$ ${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} + (y-2) ^ {2} = 9}$

Vi kan også få samme identitet som Sophie Germain :

${\ displaystyle x ^ {4} + 4y ^ {4} = (x ^ {4} + 4x ^ {2} y ^ {2} + 4y ^ {4}) - 4x ^ {2} y ^ {2} = (x ^ {2} + 2y ^ {2}) ^ {2} - (2xy) ^ {2} = (x ^ {2} -2xy + 2y ^ {2}) (x ^ {2} + 2xy + 2år ^ {2}).}$

Færdiggørelsen af firkanten er også nyttig til beregning af visse integraler . Således for en integral af formen

{\ displaystyle I = \ int {\ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ {2} + bx + c}}}

, omskrevet ,

{\ displaystyle I = \ int {\ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ {2} + bx + b ^ {2} / 4-b ^ {2} / 4 + c}} = \ int { \ frac {\ mathrm {d} x} {(x ^ {2} + b / 2) ^ {2} -b ^ {2} / 4 + c}}}

vi kan vende tilbage ved at posere til former, hvor vi kan beregne primitiverne ud fra de sædvanlige funktioner: ${\ displaystyle X = x + b / 2}$

{\ displaystyle \ int {\ frac {dX} {X ^ {2} + k ^ {2}}} = {\ frac {1} {k}} \ arctan \ left ({\ frac {X} {k} } \ højre) + C \ qquad {\ text {eller}} \ qquad \ int {\ frac {dX} {X ^ {2} -k ^ {2}}} = {\ frac {1} {2k}} \ ln \ venstre | {\ frac {Xk} {X + k}} \ højre | + C}

. <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">