Copeland-Erds konstant

I matematik er Copeland-Erds konstant en matematisk konstant oprettet ved sammenkædning af basis ti repræsentationer af primtal .

Definition

Formelt er Copeland-Erds konstant defineret som lig med:

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n} 10 ^ {- \ left (n + \ sum _ {k = 1} ^ {n} E (\ log _ {10} { p_ {k}}) \ højre)}}

hvor er den k- th primtal , og den heltal del af sin decimal logaritme . $p_ {k}$ ${\ displaystyle E (\ log _ {10} {p_ {k}})}$

Med andre ord er dens decimale udvidelse sammenkædningen af "0" og basere ti repræsentationer af primtal, dvs. :

0,2357111317192329… (fortsættelse A33308 af OEIS ).

I base ti er denne konstant et normalt ( derfor irrationelt ) tal, hvilket blev bevist af Arthur Herbert Copeland og Paul Erdős i 1946. Som sådan er det også et universnummer .

Dens repræsentation som en fortsat brøkdel starter med [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1 osv.] (Fortsættelse A30168 af OEIS ).

(i) Arthur H. Copeland og Paul Erdős, " normale vi nodenumre " , Bulletin for American Mathematical Society , vol. 52,1946, s. 857-860 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1946-08657-7 , Matematiske anmeldelser 0017743 , læs online ) ; denne artikel viser, at dette resultat gælder for enhver tilstrækkelig tæt sekvens af heltal.
(i) Yann Bugeaud Distribution Modulo One og diofantisk tilnærmelse , Cambridge University Press ,2012, 300 s. ( ISBN 978-0-521-11169-0 , læs online ) , s. 87.