Baire's sætning

Den Baire sætning , også kendt som lemma Baire , er en sætning af topologi som følge af den matematiker René Baire .

Baire rum

Vi siger, at et topologisk rum er et Baire-rum, hvis et tællende skæringspunkt mellem tætte åbninger er tæt. Tilsvarende, en topologisk rum er Baire hvis nogen union tællelige af lukket af indvendige hulrum er tom indeni, eller hvis den eneste åbne lean er tom. Baire's lemma (eller sætning) giver tilstrækkelige betingelser for, at visse rum kan være Baire's.

Erklæring om Baires sætning

Baires sætning består af tre udsagn:

1. Ethvert lokalt kompakt rum er fra Baire. Følgelig: et lokalt kompakt ikke-tomt rum er ikke den tællbare sammenslutning af lukkede indre tomme;
2. Ethvert helt målbart rum er fra Baire;
3. Alt åbent fra et rum i Baire er af Baire.

Demonstration

I det følgende int ( A ) betegner indersiden af en del A af E .

1. Lad E være et lokalt kompakt rum. Vi bruger det i E , hver ikke-åben åbning indeholder en ikke-tom indvendig kompakt . Faktisk indeholder enhver åbning, der indeholder et punkt x, et kompakt kvarter af x , da x har et grundlag for kompakte kvarterer .

Lad en sekvens af tætte åbninger i E og V være enhver ikke-fri åben; Vi ønsker at vise, at skæringspunktet mellem U n opfylder V . (Uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (U_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Da U 0 er tæt, møder han V . Det åbne U 0 ∩ V er ikke-tomt, det indeholder en ikke-tom indendørs kompakt K 0 . Når K 0 er valgt, er U 1 ∩int ( K 0 ) en ikke-tom åben og indeholder derfor en ikke-tom indvendig kompakt K 1 .

Ved iteration denne konstruktion opnår vi en faldende sekvens af nonempty kompakte K n sådan, at og . K0⊂V{\ displaystyle K_ {0} \ subset V}∀ikke∈IKKE,Kikke⊂Uikke{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, K_ {n} \ subset U_ {n}}

Derefter indeholder skæringspunktet mellem K n som (ifølge den indlejrede kompakt teorem ) er ikke tom, hvilket beviser resultatet. V∩⋂ikke∈IKKEUikke{\ displaystyle V \ cap \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} U_ {n}}

2. I det tilfælde hvor E er et komplet metrisk rum , er ræsonnementet analogt, denne gang ved anvendelse af det i et metrisk rum, indeholder ethvert ikke-tomt åbent en lukket kugle med strengt positiv radius (derfor af ikke-tomt indre). Vi konstruere således en faldende sekvens af lukkede kugler B n med radius mindre end 1 / ( n + 1), således at og . B0⊂V{\ displaystyle B_ {0} \ subset V}∀ikke∈IKKE,Bikke⊂Uikke{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B_ {n} \ subset U_ {n}}

Derefter indeholder skæringspunktet mellem B n , som (ifølge den lukkede indlejrede teorem ) er ikke tom, hvilket beviser resultatet. V∩⋂ikke∈IKKEUikke{\ displaystyle V \ cap \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} U_ {n}}

3. Lad O et åbent rum Baire E . Enhver magert åben af O (for den inducerede topologi ) er også åben og magert i E , derfor tom.

Et rum E siges at være "helt af Baire", hvis alt lukket for E er af Baire. For lokalt kompakte rum og fuldstændig målbare rum er denne ekstra egenskab automatisk.

Nogle applikationer

Analyse

• Funktionel analyse  :
  • sætninger om åben kortlægning, lukket graf, Banach-isomorfisme ,
  • Sætning Banach-Steinhaus ,
  • Baire's enkle grænsesætning ,
  • Blumbergs sætning ,
  • i Banach-rummet med kontinuerlige funktioner på [0, 1] indeholder delmængden af intetsteds differentierbare funktioner en tæt G δ ;
• Karakterisering af ægte polynomer  : hvis f er en funktion C ∞ sådan, at det er et polynom (vi kan bemærke inversionen af ​​kvantificeringsmidler med den åbenlyse karakterisering ).(∀x∈R)(∃ikke∈IKKE)(f(ikke)(x)=0){\ displaystyle (\ forall x \ in \ mathbb {R}) (\ exist n \ in \ mathbb {N}) (f ^ {(n)} (x) = 0)}(∃ikke∈IKKE)(∀x∈R)(f(ikke)(x)=0){\ displaystyle (\ eksisterer n \ i \ mathbb {N}) (\ forall x \ i \ mathbb {R}) (f ^ {(n)} (x) = 0)}

Demonstration

Overvej de maksimale (derfor lukkede) ikke-trivielle intervaller, over hvilke f er polynom (af Taylor , de er to og to adskilt, og i ethvert kvarter i en af ​​deres endelige ender er f kun polynom på den ene side) og betegnes med Ω foreningen af ​​deres interiør. Den lukkede F  : = ℝ \ Ω er derfor uden isoleret punkt . Antag (absurd), at det ikke er frit. Som det er fra Baire og dækket af lukket Fikke: ={x∈R∣f(ikke)(x)=0},{\ displaystyle F_ {n}: = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid f ^ {(n)} (x) = 0 \},} der findes et naturligt tal n og et åbent interval I sådan, at ∅≠jeg∩F⊂Fikke.{\ displaystyle \ varnothing \ neq I \ cap F \ subset F_ {n}.} Lad J være en tilsluttet komponent af I ∩Ω. På J , f er et polynomium P . Inkluderingen af ​​det åbne interval J i I er streng (fordi jeg ⊄ Ω), derfor tilhører en (i det mindste) af de to ender af J - lad os betegne det c - tilhører I , og derefter i nærheden af c , f er et polynomium den side, så c ∈ F . Nu ethvert punkt i F er et punkt af akkumulering derfor jeg ∩ F , ikke blot f ( n ) er nul, men også, trin for trin, med efterfølgende derivater. Så (af Taylor i c ) er graden af P strengt mindre end n . Således er f ( n ) = 0 ikke kun på I ∩ F men på hver tilsluttet komponent J af I ∩Ω, derfor på I som helhed. Men så, jeg ⊂ Ω: absurd.

Mere generelt er det tilstrækkeligt at antage, at hvor D er en vilkårlig tællbar mest sæt .(∀x∈R)(∃ikke∈IKKE)(f(ikke)(x)∈D){\ displaystyle (\ forall x \ in \ mathbb {R}) (\ exist n \ in \ mathbb {N}) (f ^ {(n)} (x) \ in D)}

Topologi

• Forbundethed af tipi Cantor
• Kolmogorov superposition sætning
• Ethvert komplet metrisk rum, der ikke er tomt og uden et isoleret punkt, er uendeligt og utallige .
• Mere generelt er ethvert tællende skæringspunkt mellem tætte åbninger i et separat , ikke-tomt Baire-rum uden et isoleret punkt uendelig og utallige.
• I et Banach-rum med uendelig dimension er ethvert grundlag utallige (se Normaliseret vektorrum, § Fuldstændighed ).

Noter og referencer

1. (i) Vincent Kieftenbeld , Tre emner i deskriptiv teori , Denton, Texas, UNT ,2010( læs online ) , s.  24.
2. (Es) F. Sunyer i Balaguer og E. Corominas , "  Condiciones para que una función infinitamente derivable sea un polinomio  " , Rev. Mast. Hisp.-Amer. , Vol.  4, nr .  14,1954, s.  26-43.
3. (in) HD Brunk og RP Boas , "  Nødvendig og tilstrækkelig betingelse for et polynom  " , Amer. Matematik. Månedligt , vol.  66, nr .  7,aug. - sep. 1959, s.  599 ( læs online ).
4. (i) William F. Donoghue , Distributions og Fourier transformationer , Academic Press ,1969, 2 nd  ed. , 312  s. ( ISBN  978-0-08-087344-2 , læs online ) , s.  53.
5. (i) Ralph P. Boas, Jr., En Primer af reelle funktioner , UPC ,1996( læs online ) , s.  67-68.
6. (i) "  Hvis [...] så faldt f sammen med et polynom  " ved matematisk overstrømning .
7. Hervé Queffélec og Claude Zuily, analyse for sammenlægning , Dunod ,2013, 4 th  ed. ( læs online ) , s.  225 og 238.
8. (in) Boris Tsirelson  (in) , "  Measure and category - 9a1 Theorem  " på Tel Aviv University ,2013.
9. Et sådant rum indeholder endda et underrum, der er homomorft til Baires rum ℕ ω  : se "  Perfekt sæt  ".
10. Pierre Colmez , Elementer af analyse og algebra (og talteori) , Les Éditions de l'École Polytechnique,2012, 2 nd  ed., korrigeret for øvelse 14.3 på side 223.
11. Et sådant rums dimension er lig med dets kardinal under forudsætning af kontinuum-antagelsen , men også uden denne antagelse: ( fr ) Lorenz Halbeisen og Norbert Hungerbühler  (de) , "  Kardinaliteten i Hamel-baser i Banach-rum  " , East-West Journal of Mathematics , bind.  2,2000, s.  153-159 ( læs online ).

Se også

eksterne links

• Gilles Godefroy , tekst om sætningen
• BwataBaire , en wiki, der har til formål at liste forskellige anvendelser af Baires lemma og reflektere over de forhold, den har med lignende fænomener.
• (en) Brian S. Thomson, Andrew M. Bruckner og Judith B. Bruckner, Real Analysis ,2008, 2 nd  ed. ( ISBN  978-1-43484412-5 , læs online )( forhåndsvisning på Google Bøger )

Relaterede artikler

Osgoods sætning  (de)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">