Geodesisk flow

I matematik , den oversvømmelse geodætiske , undertiden også kaldet geodætisk strømning til, beskrive dynamikken klassiske af en massiv partikel, der bevæger sig frit på en Riemannian V . Det er formaliseret ved en kontinuerlig en-parametergruppe , som opererer på tangenten bundt enhed T 1 V sort V .

Når manifolden V er kompakt med konstant negativ krumning, giver den geodesiske strømning teoretisk fysik den enkleste model af et helt kaotisk Hamilton-system .

Beskrivelse

Givet et punkt (x, v) i enhedens tangentbundt af V , det vil sige den unikke geodesik af V således, at og krydsede ved konstant hastighed lig med 1. ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ rightarrow V}$ ${\ displaystyle g (0) = x}$ ${\ displaystyle g '(0) = v}$

Den geodesiske strøm defineres derefter af ${\ displaystyle \ varphi (t, (x, v)) = (g (t), g '(t))}$

Eksempler

Den geodesiske strøm af overflader med konstant negativ krumning

Så tidligt som i 1898 erkendte Hadamard , at den geodetiske strømning på en overflade med konstant negativ krumning havde en dynamik, der udviser egenskaben over for følsomhed over for indledende forhold , som siden er blevet et af paradigmerne for kaosteori .

Denne strøm er en perfekt illustration af egenskaberne i det ergodiske hierarki ; det er faktisk i rækkefølge at øge "ustabilitet":

ergodisk ( Hedlund og Hopf )
blanding (Hedlund og Hopf)
hyperbolsk ( Anosov ). Den har en strengt positiv Lyapunov-eksponent , der identificerer sig med sin Kolmogorov-Sinai-entropi .
isomorf til et Bernoulli-system ( Ornstein og Weiss ).

Relaterede artikler

Bibliografi

Jacques Hadamard , “Overfladerne med modsatte krumninger og deres geodetiske linjer”, Journal of pure and applied mathematics , bind. 4, 1898, 27.
(da) Yakov Pesin, “Geodesik flyder med hyperbolsk opførsel af banerne og objekter forbundet med dem”, Russian Mathematical Surveys , bind. 36, nr . 4, 1981, s. 3-15.
Pierre Pansu , “Den geodesiske strøm af Riemannian-sorter med negativ krumning”, Séminaire Bourbaki , nr . 738, 1991, offentliggjort i: Astérisque , nr . 201-203, 1991, s. 269-298.

Virtuelt bibliotek

Mark Pollicott; Læsninger om ergodisk teori, geodesiske strømme og relaterede emner , Ulm (2003). Noter ukorrigerede tilgængelige i pdf .

Mark Pollicott; Dynamiske zeta-funktioner og lukkede kredsløb til geodesisk og hyperbolsk strømning , Les Houches (2003). Noter ukorrigerede tilgængelige i pdf .

Bemærkninger

(in) G. Hedlund, "Om geodesics metriske transitivitet er lukkede overflader med konstant negativ krumning", i Annals of Mathematics , bind. 35, 1935, s. 787-808
(de) E. Hopf, Ergodentheorie , Springer, 1937
(in) G. Hedlund, "Dynamikken i geodesiske strømme", i Bulletin of the American Mathematical Society , bind. 35, 1939, s. 241-246
(De) E. Hopf, "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümung", i Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , bind. 91, 1939, s. 261-304
(in) D. Anosov, "Geodesic flow is compact Riemannian manifolds of negative curvature", i Proceedings of the Steklov Mathematical Institute , bind. 90, nr. 1, 1967, s. 1-235
(in) D. Ornstein og B. Weiss, "Geodesic flows are Bernoullian" i Israel Journal of Mathematics , bind. 14, 1973, s. 184