Højde af en trekant

I plan geometri kaldes højden af en trekant hver af de tre lige segmenter dannet af hver af hjørnerne i trekanten og deres retvinklede fremspring på den modsatte side af dette toppunkt.

Orthocenter

De tre højder af en trekant er samtidige. Deres skæringspunkt H kaldes trekantens ortocenter .

Demonstration

Vi betragter homothetien i centrum som tyngdepunktet i trekanten og i forholdet -2. Det omdanner trekanten ABC til trekanten A'B'C '.

Punkt I midtpunktet for [BC] har for billedet punktet A, som derfor er midtpunktet for [B'C ']. Højden som følge af A er vinkelret på [BC] derfor til [B'C ']. Når det også passerer gennem dets midtpunkt, er det den lodrette bisector af segment [B'C '].

Vi beviser således, at de tre højder af trekanten ABC er de tre lodrette halveringslinjer i trekanten A'B'C '. Derfor er de samtidig .

Orthocentret er systemets barycenter :

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\\ tan {\ hat {A}} & \ tan {\ hat {B}} & \ tan {\ hat {C}} \ end {pmatrix} }}$ eller eller endda . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\ a / \ cos {\ hat {A}} & b / \ cos {\ hat {B}} & c / \ cos {\ hat {C} } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\ {\ frac {1} {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}}} & {\ frac {1} { c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}}} & {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}} \ end {pmatrix }}}$

Dens tredobbelte koordinater med hensyn til siderne af trekanten er eller . ${\ displaystyle 1 / \ cos {\ hat {A}}: 1 / \ cos {\ hat {B}}: 1 / \ cos {\ hat {C}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ widehat {A}} - \ sin {\ widehat {B}} \ sin {\ widehat {C}}: \ cos {\ widehat {B}} - \ sin {\ widehat {C} } \ sin {\ widehat {A}}: \ cos {\ widehat {C}} - \ sin {\ widehat {A}} \ sin {\ widehat {B}}}$

De tre hjørner i trekanten og deres orthocenter danner en ortocentrisk firkant : hvert af disse punkter er ortocentret i trekanten dannet af de andre tre punkter.

I en trekant danner centrum af cirklen, der er indskrevet i trekanten, og midten af de udskillede cirkler også en ortocentrisk firkant.

Ormetocentret er symmetrisk

Den symmetriske A 1 , B 1 og C 1 af orthocenter H i forhold til midtpunkterne af de sider af trekanten findes på omskrevne cirkel .

Den ortogonale symmetriske A 2 , B 2 og C 2 er af orthocenter i forhold til trekantens sider også fundet på den omskrevne cirkel.

Det følger af observationen, at på den ene side og på den anden side det og det samme for . ${\ displaystyle {\ widehat {AHC}} = {\ widehat {A}} + {\ widehat {C}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {AB_ {1} C}} = {\ widehat {AHC}} = \ pi - {\ widehat {B}}}$ $B_2$

For et andet bevis ved hjælp af homothety se Euler's Circle .

Taylor Circle

Lad A ', B' og C 'være fødderne i trekanten. Vi betegne som A 2 og A 3 de retvinklede projektioner af A 'på siderne AB og AC af trekanten og vi definerer på samme måde B 2 og B 3 med hensyn til B' og C 2 og C 3 med hensyn til C '. De seks således definerede punkter er cocykliske: de er placeret på Taylor-cirklen i trekanten.

Vi har: (A 2 A 3 , BC) = (AB, AC), linjen (A 2 A 3 ) er antiparallel af (BC) med hensyn til (AB) og (AC) og lignende egenskaber for (B 2 B 3 ) og (C 2 C 3 ).

(B 2 C 2 ) er parallel med (BC). Ligeledes (A 2 C 3 ) // (AC) og (A 3 B 3 ) // (AB).

Det er konfigurationen af en bestemt Tücker- cirkel , kaldet Taylor-cirkel .

Vi finder A 2 A 3 = B 2 B 3 = C 2 C 3 .

Sekskanten med disse seks fremspring som hjørner er den catalanske sekskant .

Taylor cirkel center

De tre linjer (A 1 A 2 ), (B 1 B 2 ) og (C 1 C 2 ), der forbinder fremspringene, er parallelle med siderne af den ortiske trekant og skærer dens sider ved deres midtpunkter P, Q og R. Disse linjer bestem siderne af trekanten PQR, som er den midterste trekant af den ortiske trekant.

Centret er på den linje, der forbinder centrum O af cirklen, der er afgrænset til Lemoine- punktet , der passerer gennem punkterne X15, X32 midt i O-X52

Hvis trekanten ABC er skarpt, så er centrum af Taylor-cirklen centrum for cirklen indskrevet i den midterste trekant af den ortiske trekant.

Hvis trekanten ABC er stump, er midten af Taylor-cirklen et af centrene for de afskrevne cirkler i trekanten PQR. Mere præcist, hvis ABC er stump i A (henholdsvis i B, i C), så er midten af Taylor-cirklen centrum for cirklen, der er beskrevet ved PQR i toppunktvinklen P, henholdsvis [B'C '] midtpunkt Q midtpunkt på [C'A '], R midtpunkt på [A'B']).

Ortisk akse

I en trekant ABC skal A '(henholdsvis B' og C ') være foden af højden fra A (henholdsvis fra B og C).

A 1 , B 1 og C 1 er de tre andre skæringspunkter mellem siderne af trekanten ABC og de af den ortiske trekant A'B'C ': ved A 1 betegner vi skæringspunktet mellem (BC) og (B' C '), B 1 skæringspunktet mellem (AC) og (A'C'), C 1 skæringspunktet mellem (AB) og (A'B ').

De tre punkter A 1 , B 1 og C 1 er justeret på en linje kaldet den trekantes ortiske akse .

Den ortiske akse er også den radikale akse for den omskrevne cirkel og for Euler-cirklen .

Den Euler linje , linje af centrene for de to cirkler er vinkelret på aksen.

Se også

Bibliografi

Jacques Bouteloup, " Circles of Tücker ", kvadratur ,Januar-marts 2007( læs online )
Jean-Denis Eiden, Klassisk analytisk geometri , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Jean Fresnel, moderne metoder i geometri
Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , C&M ( ISBN 978-2-916352-12-1 )

Relaterede artikler

Hamiltons sætning

eksterne links

Patrice Debart, " Orthic Triangle " , om Descartes og matematik