Hypocycloid

En hypocycloid er en transcendent plankurve , bane for et punkt fastgjort til en cirkel, der ruller uden at glide på en anden cirkel kaldet direktør og inde i denne. Det er derfor et specielt tilfælde af et center cycloid , som er en kategori af cycloidal kurve .

Etymologi og historie

Ordet er en udvidelse af cycloid , udarbejdet i 1599 af Galileo , og har den samme etymologi: det kommer fra græsk hupo (sub), kuklos (cirkel, hjul) og eidos (form, "svarende til").

Selve kurven blev undersøgt af Albrecht Dürer i 1525, Rømer i 1674 (som kaldte den) og Daniel Bernoulli i 1725.

Matematisk definition

En hypocycloid kan defineres ved hjælp af følgende parametriske ligning:

{\ displaystyle x (\ theta) = (Rr) \ cos \ theta + r \ cos \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right) \, \ qquad (1)}

{\ displaystyle y (\ theta) = (Rr) \ sin \ theta -r \ sin \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right) \, \ qquad (2)}

hvor er radius af basiscirklen og den rullende cirkel. Med denne ligning kan derfor også skrives: $R \,$ $r \,$ $q = {R \ over r}$

{\ displaystyle x (\ theta) = r \ venstre [(q-1) \ cos \ theta + \ cos ((q-1) \ theta) \ højre] \,}

{\ displaystyle y (\ theta) = r \ venstre [(q-1) \ sin \ theta - \ sin ((q-1) \ theta) \ højre] \,}

Definition i det komplekse plan

Det kan være nyttigt at skifte til kompleks notation, og vi får følgende ligning: $z = x + iy$

z (\ theta) = (Rr) e ^ {{i \ theta}} + re ^ {{- {\ frac {Rr} {r}} i \ theta}} \,.

Hvis vi også vil bruge tiden t til at udtrykke den hastighed, hvormed bevægelsen er beskrevet, skal vi introducere de to pulsationer $\ omega _ {1} = {\ frac {\ theta} {t}} = {\ frac {r} {Rr}} \ omega _ {2} \,.$

Den komplekse koordinat for midten af den lille cirkel er simpelthen og den for et punkt i den lille cirkel i forhold til dens centrum . Summen af disse to komplekse tal giver derefter den komplekse koordinat for et punkt på den lille cirkel i forhold til midten af den store. $(Rr) e ^ {{i \ omega _ {1} t}}$ $re ^ {{- i \ omega _ {2} t}}$

Således og mere generelt kan vi definere en hypocycloid ved sin ligning i det komplekse plan:

z (t) = r_ {1} e ^ {{i \ omega _ {1} t}} + r_ {2} e ^ {{- i \ omega _ {2} t}} \ qquad

med tilstanden

\ qquad r_ {1} \ omega _ {1} = r_ {2} \ omega _ {2} \ qquad \ qquad (3)

Faktisk udtrykker tilstanden lighed med længderne af buerne i de små og store cirkler, der er krydset i løbet af tiden t ved friktionspunktet, og indikerer derfor, at den lille cirkel ikke glider i sin rotation inden i den store cirkel. Derfor når et punkt i den lille cirkel, det vil sige hypocycloiden, kommer i kontakt med den store cirkel, er dens hastighed nul, hvilket svarer til en cusp. $r_ {1} \ omega _ {1} t = r_ {2} \ omega _ {2} t$

Endelig bemærk, at definitionen af ligning (3) kan fortolkes geometrisk på en anden måde (egenskab ved dobbeltgenerering ) på grund af kommutativiteten af summen af to vektorer, og at hypocycloiden også er summen af 'en lille cirkulær bevægelse til der tilføjes en stor cirkulær bevægelse i den modsatte retning . $r_2$ $r_1$

Ejendomme

Kurven er dannet af isometriske buer (kaldet buer) adskilt af cusps. Hvis q er rationelt (og derfor kan skrives q = a / b hvor a og b er heltal mellem dem), repræsenterer a antallet af buer i kurven. Vi kan også se disse to mængder som følger:

a repræsenterer antallet af rotationer af den rullende cirkel, der er nødvendig for at bringe mobilpunktet tilbage til dets startposition,
b repræsenterer antallet af drejninger af den basecirkel, der kræves for at den rullende cirkel vender tilbage til startpunktet.

Cusps fås til . Længden af en bue er . Hvis q er et heltal, er kurvens samlede længde gange basecirkelens længde, og det samlede areal er gange længden af basecirklen. $\ theta = {\ frac {2k \ pi} {q}}$ $8 {\ frac {q-1} {q ^ {2}}} R$
${\ displaystyle {4 \ over \ pi} \ venstre (1- {1 \ over q} \ højre)}$ ${\ displaystyle \ venstre (1- {1 \ over q} \ højre) \ venstre (1- {2 \ over q} \ højre)}$

Den dobbelte generation teoremet beviser, at en hypocykloid er også en pericycloid , dvs. kurven beskrives ved et punkt af en cirkel med radius r + R rullende uden at glide på denne dirigerende cirkel mens indeholder det.

De små svingninger i Foucault-pendulet danner også en hypocycloid.

Se også

Når mobilpunktet ikke er fastgjort på den rullende cirkel, men på ydersiden eller indersiden af denne taler man om hypotrochoid , hvilket er et specielt tilfælde af trochoid . Hvis kurverne husker tegningerne oprettet af en spirograf , skal det bemærkes, at denne enhed producerer hypotrochoider og ikke hypocycloider.
Når den mobile cirkel drejer sig uden for direktørcirklen, kaldes den således trukkede kurve en epicykloid .
Hvis R = 2r, er hypocycloiden en diameter af basecirklen (se La Hire-sætning og funktionen af Oldham-leddet ).
Hvis R = 3r, er hypocycloiden en deltoid . Vi får en identisk figur, hvis R = 3/2 x r. I dette tilfælde er det også kuvert af rullende cirkels diameter.
Hvis R = 4r, er hypocycloiden en astroid . Vi får en identisk figur, hvis R = 4/3 x r. I dette tilfælde er det også konvolutten for segmentet med konstant længde R, hvis ender beskriver akserne i et ortonormalt koordinatsystem.

Bibliografi

Marcel Berger , Geometry [ detalje af udgaver ]( Bind 1)
Jean-Denis Eiden, Klassisk analytisk geometri, Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Lille encyklopædi for matematik (red. Didier)
Moderne metoder i geometri af Jean Fresnel

eksterne links