Ptolemaios ulighed
Den ulighed af Ptolemæus er en ulighed på afstandene mellem fire punkter i en affin euklidisk rum .
Stater
Ptolemæus ulighed - Lad A , B C og D være fire punkter i et affinkt euklidisk rum. Så,
PÅVS.BD≤PÅB.VSD+BVS.PÅD{\ displaystyle AC.BD \ leq AB.CD + BC.AD}
med lighed hvis og kun hvis , , og taget i denne bestillingsformular en konveks firsidede skrivbar .
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}
Sagen om ligestilling er kendt som Ptolemaios sætning .
Ptolemaios ulighed er manifestationen af trekantet ulighed efter at have anvendt en centerinversion til et af punkterne.
Demonstration
Lad , og de respektive billeder af , og ved inversion af centret og forhold .
PÅ′{\ displaystyle A '}
B′{\ displaystyle B '}
VS′{\ displaystyle C '}
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}
1{\ displaystyle 1}![1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
Vi har forholdet mellem længderne :
PÅ′B′=PÅBDPÅ×DB{\ displaystyle A'B '= {\ frac {AB} {DA \ times DB}}}
B′VS′=BVSDVS×DB{\ displaystyle B'C '= {\ frac {BC} {DC \ times DB}}}
PÅ′VS′=PÅVSDPÅ×DVS{\ displaystyle A'C '= {\ frac {AC} {DA \ times DC}}}
Således giver den trekantede ulighed os
PÅ′VS′≤PÅ′B′+B′VS′{\ displaystyle A'C '\ leq A'B' + B'C '}![{\ displaystyle A'C '\ leq A'B' + B'C '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86bfe556ae10fbffb365c18cac5e877b81834721)
PÅVSDPÅ×DVS≤PÅBDPÅ×DB+BVSDVS×DB{\ displaystyle {\ frac {AC} {DA \ times DC}} \ leq {\ frac {AB} {DA \ times DB}} + {\ frac {BC} {DC \ times DB}}}![{\ displaystyle {\ frac {AC} {DA \ times DC}} \ leq {\ frac {AB} {DA \ times DB}} + {\ frac {BC} {DC \ times DB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf41e9f17e4bf253e7a7b78465fa0dc870503a0b)
som efter multiplikation med bliver
DPÅ×DB×DVS{\ displaystyle DA \ times DB \ times DC}![{\ displaystyle DA \ times DB \ times DC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c24aaf2014bc6918cf347b2940aff1b687a3e84)
PÅVS×BD≤PÅB×VSD+BVS×PÅD{\ displaystyle AC \ gange BD \ leq AB \ gange CD + BC \ gange AD}![{\ displaystyle AC \ gange BD \ leq AB \ gange CD + BC \ gange AD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d0338e225d655a3330297b1d518a9bb40470ec)
Tilfælde af lige hvis og kun hvis , og er rettet ind i denne rækkefølge, hvilket svarer til , , og er cykliske i denne rækkefølge.
PÅ′{\ displaystyle A '}
B′{\ displaystyle B '}
VS′{\ displaystyle C '}
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">