Foldet normal lov

Foldet normal lov
Sandsynlighedstæthed $\ mu = 1, \ sigma = 1$


Distributionsfunktion $\ mu = 1, \ sigma = 1$

Indstillinger	$\ mu \ i {\ mathbb R}$ - ( positionsparameter ) - ( skalaparameter ) $\ sigma> 0$
Support	$x \ i [0, \ infty [$
Sandsynlighedstæthed	(se artikel)
Distributionsfunktion	(se artikel)
Håber	(se artikel)
Variation	(se artikel)

I sandsynlighedsteori og statistik er den foldede normale lov (eller loven om deformitet ) en kontinuerlig sandsynlighedslov knyttet til den normale lov . Overvej en tilfældig variabel af normalfordeling med gennemsnit og varians , så er den tilfældige variabel foldet normalfordeling. Således tæller vi kun værdien af variablen, men ikke dens tegn. $x$ $\ mu$ $\ sigma ^ {2}$ $Y = | X |$

Udtrykket "foldet" stammer fra det faktum, at tætheden af "venstre" lov på x = 0 foldes over den "højre" del af x = 0 ved at tage den absolutte værdi.

Karakteriseringer

Tæthedsfunktion

Den sandsynlighedstæthedsfunktion er givet ved:

{\ displaystyle f_ {Y} (x) = {\ begin {cases} {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {(-x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ højre) + {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right)} & {\ text {for}} x \ geq 0 \\ 0 & {\ tekst {ellers.}} \ end {cases}}}

Distributionsfunktion

Den fordelingsfunktionen er givet ved:

{\ displaystyle F_ {Y} (y) = {\ begin {cases} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {y} {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ left [\ exp \ left (- {\ frac {(-x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {( x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ højre) \ højre] \ mathrm {d} x.} & {\ text {for}} y \ geq 0 \\ 0 & {\ text {ellers.}} \ end {cases}}}

Ved hjælp af ændringen af variablen kan vi omskrive ${\ displaystyle z = (x- \ mu) / \ sigma}$

{\ displaystyle F_ {Y} (y) = \ int _ {- \ mu / \ sigma} ^ {(y- \ mu) / \ sigma} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ left (z + {\ frac {2 \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right) \ mathrm {d } z + \ int _ {- \ mu / \ sigma} ^ {(y- \ mu) / \ sigma} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ højre) \ mathrm {d} z.}

På samme måde kan vi bruge ændringen af variablen i den første integral og i den anden ${\ displaystyle z = - (x + \ mu) / \ sigma {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle z = (x- \ mu) / {\ sqrt {2}} \ sigma}$

F_ {Y} (y) = {\ frac {1} {2}} \ venstre [{\ mbox {erf}} \ venstre ({\ frac {y + \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma }} \ højre) + {\ mbox {erf}} \ venstre ({\ frac {y- \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ højre) \ højre],

hvor $erf$ er fejlfunktionen . Vi finder derefter den halvnormale lov, når $μ = 0$ .

Ejendomme

Det håb er givet ved:

{\ displaystyle \ mathbb {E} (Y) = \ sigma {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ højre) + \ mu \ venstre [1-2 \ Phi \ venstre (- {\ frac {\ mu} {\ sigma}} \ højre) \ højre],}

hvor Φ (•) er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen.

Den varians er givet ved:

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y) = \ mu ^ {2} + \ sigma ^ {2} - \ left \ {\ sigma {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ exp \ venstre (- {\ frac {\ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ højre) + \ mu \ venstre [1-2 \ Phi \ venstre (- {\ frac {\ mu} { \ sigma}} \ højre) \ højre] \ højre \} ^ {2}.}

Disse to værdier, forventning og varians, kan ses som position og skala parametre for den nye lov.

Links til andre love

Når μ = 0, er den foldede normalfordeling den semi-normale fordeling .
Hvis Y har en foldet normalfordeling, følger Y / σ en ikke-centreret χ lov med en grad af frihed og parameter μ / σ.

Referencer

H. Sombstay og T. Nguyen Huu , “ Variation i en produktion under hensyntagen til formfejl ”, anvendt Revue de statistik , vol. 6, n o 1,1958, s. 17-36 ( læs online )

(en) Leone FC, Nottingham RB, Nelson LS, " The Folded Normal Distribution " , Technometrics , Technometrics, Vol. 3, nr. 4, bind 3, nr . 4,1961, s. 543–550 ( DOI 10.2307 / 1266560 , JSTOR 1266560 )
(en) Johnson NL, " Den foldede normalfordeling: estimeringens nøjagtighed efter maksimal sandsynlighed " , Technometrics , Technometrics, Vol. 4, nr. 2, bind. 4, n o 21962, s. 249–256 ( DOI 10.2307 / 1266622 , JSTOR 1266622 )
(en) Nelson LS, " The Folded Normal Distribution " , J Qual Technol , bind. 12, nr . 4,1980, s. 236-238
(en) Elandt RC, " Den foldede normalfordeling: to metoder til estimering af parametre fra øjeblikke " , Technometrics , Technometrics, Vol. 3, nr. 4, bind. 3, nr . 4,1961, s. 551–562 ( DOI 10.2307 / 1266561 , JSTOR 1266561 )
(en) Lin PC, " Anvendelse af den generaliserede foldede-normale distribution til proceskapacitetsmålene " , Int J Adv Manuf Technol , vol. 26 Ingen knogler 7-8,2005, s. 825–830 ( DOI 10.1007 / s00170-003-2043-x )