Tschirnhaus metode
Den Tschirnhaus metode , udtænkt og udviklet af Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , er et forsøg på at løse det centrale punkt i ligning teori, nemlig at finde en generel metode til at løse det polynomium ligning . Denne metode forsøger at reducere den ligning, vi ønsker at løse, til mindre ligninger. Denne metode mislykkes bestemt for ligninger af grad større end eller lig med fem, der har en uløselig Galois- gruppe.
Princip for metoden
Tschirnhaus minder først om, at enhver ligning af grad n
xikke+påikke-1xikke-1+⋯+på1x+på0=0{\ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ prikker + a_ {1} x + a_ {0} = 0}reducerer klassisk til en ligning uden grad af grad n - 1 ved en ændring af formens variabel . Faktisk koefficienten for udtrykket i polynomet
x=y+b0{\ displaystyle x = y + b_ {0}}yikke-1{\ displaystyle y ^ {n-1}}
(y+b0)ikke+påikke-1(y+b0)ikke-1+⋯+på1(y+b0)+på0{\ displaystyle (y + b_ {0}) ^ {n} + a_ {n-1} (y + b_ {0}) ^ {n-1} + \ prikker + a_ {1} (y + b_ {0 }) + a_ {0}}Det er derfor tilstrækkeligt, at denne koefficient er nul, at vælge lig med .
ikkeb0+påikke-1{\ displaystyle nb_ {0} + a_ {n-1}}b0{\ displaystyle b_ {0}}-påikke-1ikke{\ displaystyle - {\ frac {a_ {n-1}} {n}}}
Det giver ham ideen om at annullere flere vilkår, at introducere en ukendt hjælpefaktor y, som ikke mere er oversat til x, men et polynom ved at stille:
xk=bk-1xk-1+⋯+b1x+b0+y{\ displaystyle x ^ {k} = b_ {k-1} x ^ {k-1} + \ prikker + b_ {1} x + b_ {0} + y}hvor k (strengt mindre end n ) er antallet af udtryk, der skal annulleres, og valget af koefficienter forklares nedenfor.
bk-1,...,b1,b0{\ displaystyle b_ {k-1}, \ dots, b_ {1}, b_ {0}}
Denne transformation kaldes Tschirnhaus-transformation .
Ved at fjerne x mellem dette forhold og ligningen skal løses, får vi en ligning af grad n og ukendt y hvis koefficienter afhænger af k koefficienterne b i . Vi forsøger derefter at bestemme koefficienterne for at opnå en ligning i y, der er enklere at løse, for eksempel (for k = n - 1 ) af formen:
bjeg{\ displaystyle b_ {i}}
yikke-vs.=0{\ displaystyle y ^ {n} -c = 0}.
For det, i ligningen i y , sætter vi lig med 0 alle koefficienterne for monomierne fra grad 1 til n - 1 . Vi opnår således et system med n - 1 ligninger med n - 1 ukendte . Når disse værdier er opnået, er de rapporteret i ligningen:
bikke-2,...,b1,b0{\ displaystyle b_ {n-2}, \ dots, b_ {1}, b_ {0}}
xikke-1-bikke-2xikke-2-⋯-b1x-(b0+y)=0{\ displaystyle x ^ {n-1} -b_ {n-2} x ^ {n-2} - \ dots -b_ {1} x- (b_ {0} + y) = 0},
hvor y successivt tager værdi af en af n n- th rødderne til c .
Tschirnhaus reducerer således (på eksemplet n = 3 ) opløsningen af en ligning af grad n til den for n ligninger af grad n - 1 . Hans metode giver dog n ( n - 1) værdier for x , som skal testes for blandt andet at detektere de n effektive løsninger. Ved at specificere vores idé kan vi direkte finde disse n- løsninger (en for hver værdi af y ).
Ovenstående metode gør det muligt for Tschirnhaus at give løsninger til en kubisk ligning en ny formel, der er forskellig fra Cardan . Han finder også sidstnævnte ved en anden ændring af variablen: xy = y 2 + a og genopfinder således Vietes udskiftning .
Anvendelse til løsning af kubiske ligninger
Overvej en ligning af grad 3 uden tab af formularen
x3+sx+q=0{\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}med . Lad os stille som angivet ovenfor:
s≠0{\ displaystyle p \ neq 0}
x2=påx+b+y{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y}.
Systemet
{x3+sx+q=0x2=påx+b+y{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {3} + px + q & = 0 \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end {cases}}}svarer til systemet
{(på2+b+y+s)x=-(q+påb+påy)x2=påx+b+y{\ displaystyle {\ begin {cases} (a ^ {2} + b + y + p) x & = - (q + ab + ay) \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end { sager}}}der indrømmer løsninger x hvis og kun hvis
(q+påb+påy)2=-på(q+påb+påy)(på2+b+y+s)+(b+y)(på2+b+y+s)2{\ displaystyle (q + ab + ay) ^ {2} = - a (q + ab + ay) (a ^ {2} + b + y + p) + (b + y) (a ^ {2} + b + y + p) ^ {2}}.
Denne betingelse omskrives:
y3+(3b+2s)y2+(3b2+4sb+s2+spå2-3qpå)y+b3+2sb2+s2b+spå2b-3qpåb-q2-sqpå-qpå3=0(∗){\ displaystyle y ^ {3} + (3b + 2p) y ^ {2} + (3b ^ {2} + 4pb + p ^ {2} + pa ^ {2} -3qa) y + b ^ {3} + 2pb ^ {2} + p ^ {2} b + pa ^ {2} b-3qab-q ^ {2} -pqa-qa ^ {3} = 0 \ quad (*)}.
Vi bestemmer a og b, så det ikke længere indeholder et udtryk i y 2 eller i y :
{3b+2s=03b2+4sb+s2+spå2-3qpå=0⇔{b=-2s3på=3s(q2+δ) med δ2=q24+s327.{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ begin {cases} 3b + 2p & = 0 \\ 3b ^ {2} + 4pb + p ^ {2} + pa ^ {2} -3qa & = 0 \ end {cases}} \\\ Leftrightarrow & {\ begin {cases} b & = - {\ frac {2p} {3}} \\ a & = {\ frac {3} {p}} \ left ({\ frac {q} {2}} + \ delta \ right) {\ text {with}} \ delta ^ {2} = {\ frac {q ^ {2}} {4}} + {\ frac {p ^ {3 }} {27}}. \ End {cases}} \ end {justeret}}}Dette valg af a og b gør det muligt at forenkle ligningen , som derefter bliver:
(∗){\ displaystyle (*)}
y3=(6δs)3spå3{\ displaystyle y ^ {3} = \ left ({\ frac {6 \ delta} {p}} \ right) ^ {3} {\ frac {pa} {3}}}.
Vi afslutter opløsningen ved at vælge en kubisk rod z af , indstilling for , og beregning for hver af disse tre værdier, de to opløsninger af den andengradsligning . Vi opnår således generelt 6 forskellige værdier, hvoraf de 3 opløsninger nødvendigvis er en del. For at konkludere er det tilstrækkeligt at teste disse 6 værdier.
spå3{\ displaystyle {\ frac {pa} {3}}}yk=6δszjk{\ displaystyle y_ {k} = {\ frac {6 \ delta} {p}} z \, \ mathrm {j} ^ {k}}k=0,1,2{\ displaystyle k = 0,1,2} x2=påx+b+yk{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y_ {k}}x3+sx+q=0{\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}
Overvej en ligning af grad 4 uden tab af formularens almindelighed
x4+sx2+qx+r=0{\ displaystyle x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r = 0}med . Overvej følgende Tschirnhaus-transformation:
q≠0{\ displaystyle q \ neq 0}
x2=påx+b+y{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y}.
Systemet
{x4+sx2+qx+r=0x2=påx+b+y{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r & = 0 \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end {cases}}}indrømmer løsninger x hvis og kun hvis
y4+(4b+2s)y3+PÅy2+By+VS=0(∗∗){\ displaystyle y ^ {4} + (4b + 2p) y ^ {3} + Ay ^ {2} + By + C = 0 \ quad (**)}med
PÅ=6b2+6bs+spå2-3qpå+s2+2r{\ displaystyle A = 6b ^ {2} + 6bp + pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r},
B=4b3+6sb2+2b(spå2-3qpå+s2+2r)+2r(2på2+s)-q(på3+spå+q){\ displaystyle B = 4b ^ {3} + 6pb ^ {2} + 2b (pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r) + 2r (2a ^ {2} + p) -q (a ^ {3} + pa + q)},
VS=b4+2sb3+b2(spå2-3qpå+s2+2r)+b[2r(2på2+s)-q(på3+spå+q)]+pår(på3+spå-q)+r2{\ displaystyle C = b ^ {4} + 2pb ^ {3} + b ^ {2} (pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r) + b \ left [2r (2a ^ {2 } + p) -q (a ^ {3} + pa + q) \ højre] + ar (a ^ {3} + pa-q) + r ^ {2}}.
Ligningen er firkantet hvis
(∗∗){\ displaystyle (**)}
{4b+2s=0B=0,{\ displaystyle {\ begin {cases} 4b + 2p & = 0 \\ B & = 0, \ end {cases}}}hvilket er lig med
{b=-s2-qpå3+(4r-s2)på2+2sqpå-q2=0.{\ displaystyle {\ begin {cases} b = - {\ frac {p} {2}} \\ - qa ^ {3} + (4r-p ^ {2}) a ^ {2} + 2pqa-q ^ {2} & = 0. \ end {cases}}}For at løse er det tilstrækkeligt at:
x4+sx2+qx+r=0{\ displaystyle x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r = 0}
- finde en løsning a af " løsning af kubisk ligning (in) " ;-qpå3+(4r-s2)på2+2sqpå-q2=0{\ displaystyle -qa ^ {3} + (4r-p ^ {2}) a ^ {2} + 2pqa-q ^ {2} = 0}
- beregne A og C for dette valg af a og for ;b=-s2{\ displaystyle b = - {\ frac {p} {2}}}
- find de fire løsninger ( ) i den opnåede firdobbeltligning ;yk{\ displaystyle y_ {k}}k=0,1,2,3{\ displaystyle k = 0,1,2,3}y4+PÅy2+VS=0{\ displaystyle y ^ {4} + Ay ^ {2} + C = 0}
- for hver af disse fire værdier, find de to løsninger ( ) af .xk,j{\ displaystyle x_ {k, j}}j=0,1{\ displaystyle j = 0.1}x2-påx-b-yk=0{\ displaystyle x ^ {2} -ax-b-y_ {k} = 0}
Vi opnår således 8 værdier , hvoraf de 4 løsninger nødvendigvis er en del. For at konkludere er det tilstrækkeligt at teste disse 8 værdier.
xk,j{\ displaystyle x_ {k, j}}x3+sx+q=0{\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}
Femte grad ligning
For mere om dette, se Brings artikel Radikal .
Historisk note
Denne metode er den første generelle metode til løsning af ligninger, der er offentliggjort. Dens offentliggørelse dateres tilbage til 1683 .
Noter og referencer
-
(la) Tschirnhaus, " Methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione " , Acta Eruditorum ,Maj 1683, s. 204-207 ( læs online ). Engelsk oversættelse: (da) RF Green, " En metode til fjernelse af alle mellemliggende udtryk fra en given ligning " , ACM SIGSAM Bulletin , bind. 37, nr . 1,Marts 2003( læs online ).
-
(i) Victor S. Adamchik og David J. Jeffrey, " Polynomiale transformationer af Tschirnhaus og Jerrard Bring " , ACM SIGSAM Bulletin , bind. 37, nr . 3,September 2003( læs online ).
-
Disse beregninger af Tschirnhaus 1683 er detaljerede, udfyldte og testet på et eksempel i den første del af en korrigeret opgave på Wikiversity : følg linket nederst på siden .
-
Tschirnhaus 1683 , undtagen notationer.
-
Disse beregninger er detaljerede (og testet på et eksempel) i anden del af den allerede nævnte Wikiversity-opgave.
Se også
Joseph-Alfred Serret , Kursus for højere algebra , t. 1,1866, 3 e ed. ( 1 st ed. 1849) ( læst linje ) , s. 420-430
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">