Ramsey-model

Ramsey-model

Natur	Økonomisk model
Opfinder	Frank ramsey
Navngivet med henvisning til	Frank ramsey
Formel	k˙=f(k)-vs.-(ikke+g+δ)k{\ displaystyle {\ dot {k}} = f (k) -c- (n + g + \ delta) k}

Den Ramsey-modellen er en model af vækst neoklassiske fra arbejdet i Frank Ramsey (1928). Det adskiller sig fra Solow (1956) i den forstand, at det endogeniserer besparelser ved at overveje en altruistisk forbruger, der lever en periode og vælger den del af sin indkomst, han bruger, og den del af sin indkomst, som han testamenterer til sine efterkommere.

Sammen med overvejelserne på udbudssiden, som Solows model undersøger, er vækstproblemet et problem at vælge mellem fremtidigt forbrug og nuværende forbrug.

Her præsenteres en version af modellen, hvor tiden er diskret. Selvom den oprindelige model er kontinuerlig tid, virker den mere intuitiv og derfor at foretrække for en første tilgang.

Modelens antagelser

Forbrugeren

Tiden er diskret og indekseret af variablen . På dato t = 0 fødes et individ og lever kun en periode. Dette individ beskrives af en nyttefunktion (som antages at være kontinuerlig og to gange differentierbar), der tager hensyn til nytteværdien af ​​hans 1 + n efterkommere vægtet med en præferencehastighed for nutiden . Jo højere er, jo mindre er individet altruistisk over for sine efterkommere. Vi har formelt t∈IKKE{\ displaystyle t \ in \ mathbb {N}}ρ≥0{\ displaystyle \ rho \ geq {0}}ρ{\ displaystyle \ rho}

Vt=U(vs.t)+1+ikke1+ρVt+1.{\ displaystyle V_ {t} = U (c_ {t}) + {\ frac {1 + n} {1+ \ rho}} V_ {t + 1}.}

Enten ved gentagelse:

Vt=∑t=0∞(1+ikke1+ρ)tU(vs.t){\ displaystyle V_ {t} = \ sum _ {t = 0} ^ {\ infty} ({\ frac {1 + n} {1+ \ rho}}) ^ {t} U (c_ {t})}

med hvor U betegner værktøjsagentens øjeblikkelige funktion. Vi antager også p> n for at give de nuværende generationer større betydning. Individet af datoen t = 0 kan derfor, ligesom Barro og Sala i Martín, betragtes som den "grundlæggende far" til et dynasti (som vokser med hastigheden n ), og som vil søge at maksimere nytteværdien pr. Indbygger for alle medlemmer af hans familie, der bor på hver dato t . Ifølge denne model kommer besparelser derfor ikke fra det faktum, at enkeltpersoner forsøger at sikre deres ophold, når de er gamle (da de kun lever i en periode), men fra det faktum, at de vil internalisere deres børns velbefindende og derfor ønsker at testamentere en del af deres indkomst til dem. Forbrugeren står over for en budgetbegrænsning. U′(.)≥0,U″(.)≤0{\ displaystyle U '(.) \ geq {0}, U' '(.) \ leq {0}}

På hver dato t er løn og arv, som han overlader til sine efterkommere, værd, hvad han indtager, og hvad han modtager fra sin opstigning og deler med sine brødre og søstre. Det antages også, at der er et perfekt finansielt marked, der aflønner investeringer med en sats . Formelt står agenten derfor over for begrænsningen wt{\ displaystyle w_ {t}}st{\ displaystyle s_ {t}}vs.t{\ displaystyle c_ {t}}rt{\ displaystyle r_ {t}}

vs.t+st=wt+1+rt1+ikkest-1{\ displaystyle c_ {t} + s_ {t} = w_ {t} + {\ frac {1 + r_ {t}} {1 + n}} s_ {t-1}}

Producenten

Situationen er ren og perfekt konkurrence. Virksomheden tager derfor priser som givet, det er en pristager. På hver dato t er der et firma, der producerer det eneste gode i økonomien i mængde for at maksimere sit overskud ved hjælp af det arbejde, som det aflønner ved lønnen, og den kapital, som det aflønner til den sats, hvor afskrivningssatsen er. Produktionsfunktionen F (.,.) Antages at være konstant, stigende og konkav i hvert af dens argumenter. Yt{\ displaystyle Y_ {t}}rt+δ{\ displaystyle r_ {t} + \ delta}δ∈]0;1]{\ displaystyle \ delta \ in] 0; 1]}

Vi har Yt=F(Kt,Lt){\ displaystyle Y_ {t} = F (K_ {t}, L_ {t})}

• ∀λ>1;F(λKt,λLt)=λYt{\ displaystyle \ forall \ lambda> 1; F (\ lambda {K_ {t}}, \ lambda {L_ {t}}) = \ lambda {Y_ {t}}} (konstant tilbagevenden til skalaen)
• ∂KF(Kt,Lt)≥0{\ displaystyle \ partial _ {K} F (K_ {t}, L_ {t}) \ geq {0}}, (vækst i hvert af argumenterne)∂LF(Kt,Lt)≥0{\ displaystyle \ partial _ {L} F (K_ {t}, L_ {t}) \ geq {0}}
• ∂L2F(Kt,Lt)≤0{\ displaystyle \ partial _ {L ^ {2}} F (K_ {t}, L_ {t}) \ leq {0}}, (konkavitet i hvert af argumenterne)∂K2F(Kt,Lt)≤0{\ displaystyle \ partial _ {K ^ {2}} F (K_ {t}, L_ {t}) \ leq {0}}

Generel ligevægt

Der er fire markeder i denne økonomi, som vi betragter som ligevægt uanset t.

• Ligevægten på varemarkedet er skrevet , den producerede vare kan forbruges eller investeresYt=IKKEtvs.t+jegt{\ displaystyle Y_ {t} = N_ {t} c_ {t} + I_ {t}}
• På kapitalmarkedet gør samlede besparelser det muligt at opbygge morgendagens kapital.stIKKEt=Kt+1{\ displaystyle s_ {t} N_ {t} = K_ {t + 1}}
• på arbejdsmarkedet, udbuddet af arbejdskraft , det vil sige antallet af indbyggere til dato t udligner efterspørgslen efter arbejde hos virksomheder.IKKEt=Lt{\ displaystyle N_ {t} = L_ {t}}

Til disse ligevægtsligninger kan vi føje kapitalakkumuleringsligningen . Dette er en regnskabsligning (altid sand). Den siger, at morgendagens kapital afhænger af, hvad der investeres i dag, og af dagens kapital, som ikke vil være forældet i den næste periode. Vi har også defineret andre steder som værende mængden af ​​kapital pr. Indbygger. Ligevægtsligningen på markedet for varer og kapitalakkumuleringsligning giver os mulighed for at skrive økonomiens begrænsede ressource i form af kapital pr. Indbygger . Kt+1=jegt+(1-δ)Kt{\ displaystyle K_ {t + 1} = I_ {t} + (1- \ delta) K_ {t}}Yt=F(Kt,Lt){\ displaystyle Y_ {t} = F (K_ {t}, L_ {t})}kt≡KtLt{\ displaystyle k_ {t} \ equiv {\ frac {K_ {t}} {L_ {t}}}}F(Kt,Lt)=IKKEtvs.t+(1+ikke)Kt+1-(1-δ)Kt{\ displaystyle F (K_ {t}, L_ {t}) = N_ {t} c_ {t} + (1 + n) K_ {t + 1} - (1- \ delta) K_ {t}}F(kt,1)=vs.t+(1+ikke)kt+1-(1-δ)kt⇔f(kt)=vs.t+(1+ikke)kt+1-(1-δ)kt{\ displaystyle F (k_ {t}, 1) = c_ {t} + (1 + n) k_ {t + 1} - (1- \ delta) k_ {t} \ Lefttrightarrow {f (k_ {t}) = c_ {t} + (1 + n) k_ {t + 1} - (1- \ delta) k_ {t}}}

Økonomiens dynamik

Som vi tidligere har set, er forbrugerprogrammet skrevet

maksvs.tVts/vs.vs.t+st=wt+1+rt1+ikkest-1{\ displaystyle \ max _ {c_ {t}} V_ {t} \ quad {s / c} \ quad c_ {t} + s_ {t} = w_ {t} + {\ frac {1 + r_ {t} } {1 + n}} s_ {t-1}}

ved at erstatte begrænsningen i objektivfunktionen opnår vi følgende første ordres betingelse:

U′(vs.t)=1+rt1+ρU′vs.t+1{\ displaystyle U '(c_ {t}) = {\ frac {1 + r_ {t}} {1+ \ rho}} U'c_ {t + 1}}

Denne tilstand kaldes Keynes -Ramsey- regel . Det kan fortolkes som følger: en ekstra euro afsat til det nuværende forbrug fører til yderligere nytte i dag. Forbrugeren kan også gemme denne euro, han vil få euro i morgen , hvilket, afsat til morgendagens forbrug, giver ham yderligere hjælpeprogrammer, hvorfra diskonteret med agentens subjektive diskonteringsrente giver . Keynes Ramsey's regel indikerer, at agenten er ligeglad med disse to løsninger i ligevægt. Lille bemærkning: U′(vs.t){\ displaystyle U '(c_ {t})}1+rt{\ displaystyle 1 + r_ {t}}(1+rt)U′(vs.t+1){\ displaystyle (1 + r_ {t}) U '(c_ {t + 1})}1+rt1+ρU′(vs.t+1){\ displaystyle {\ frac {1 + r_ {t}} {1+ \ rho}} U '(c_ {t + 1})}

rt≥ρ⇒U′(vs.t)≥U′(vs.t+1)⇒vs.t≤vs.t+1{\ displaystyle r_ {t} \ geq \ rho \ Rightarrow {U '(c_ {t})} \ geq {U' (c_ {t + 1})} \ Rightarrow {c_ {t}} \ leq {c_ { t + 1}}}

Den tidligere ligning indebærer, at hvis den reelle rentesats på tidspunktet t er højere end agentens subjektive rentesats, vil morgendagens forbrug være større end dagens.

På hver dato er der et firma, der maksimerer sit overskud. Hans program er skrevet som de første ordrebetingelser er givet af maksKt;LtΠ=F(Kt,Lt)-wtLt-(rt+δ)Kt{\ displaystyle \ max _ {K_ {t}; L_ {t}} \ Pi = F (K_ {t}, L_ {t}) - w_ {t} L_ {t} - (r_ {t} + \ delta ) K_ {t}}

∂KΠ=0⇔∂KF(Kt,Lt)=rt+δ{\ displaystyle \ partial _ {K} \ Pi = 0 \ Leftrightarrow \ partial _ {K} F (K_ {t}, L_ {t}) = r_ {t} + \ delta} ∂LΠ=0⇔∂lF(Kt,Lt)=wt{\ displaystyle \ partial _ {L} \ Pi = 0 \ Leftrightarrow \ partial _ {l} F (K_ {t}, L_ {t}) = w_ {t}}

enten ved hovedet

f′(kt)=rt+δ{\ displaystyle f '(k_ {t}) = r_ {t} + \ delta} wt=f(kt)-f′(kt)kt{\ displaystyle w_ {t} = f (k_ {t}) - f '(k_ {t}) k_ {t}}

Keynes-Ramsey-tilstanden kan således omskrives

U′(vs.t)=1+f′(kt)-δ1+ρU′(vs.t+1){\ displaystyle U '(c_ {t}) = {\ frac {1 + f' (k_ {t}) - \ delta} {1+ \ rho}} U '(c_ {t + 1})}

Dynamikken i økonomien er derfor beskrevet af et system med to gentagelsesligninger i kt,vs.t{\ displaystyle k_ {t}, c_ {t}}

U′(vs.t)=1+f′(kt)-δ1+ρU′(vs.t+1){\ displaystyle U '(c_ {t}) = {\ frac {1 + f' (k_ {t}) - \ delta} {1+ \ rho}} U '(c_ {t + 1})} (1) (1+ikke)kt+1=f(kt)+(1-δ)kt-vs.t{\ displaystyle (1 + n) k_ {t + 1} = f (k_ {t}) + (1- \ delta) k_ {t} -c_ {t}} (2)

Vi definerer en isoklin som værende sæt af punkter i planet (k, c) sådan, at

kt=kt+1 et vs.t=vs.t+1{\ displaystyle k_ {t} = k_ {t + 1} ~ og ~ c_ {t} = c_ {t + 1}}

Ligning (1) giver os

vs.t=vs.t+1⇒f′(kt)=ρ+δ{\ displaystyle c_ {t} = c_ {t + 1} \ Rightarrow {f '(k_ {t}) = \ rho + \ delta}}

Ligning (2) giver os

kt=kt+1⇒vs.=f(k)-(δ+ikke)k{\ displaystyle k_ {t} = k_ {t + 1} \ Rightarrow {c = f (k) - (\ delta + n) k}}

Der er derfor en enkelt stationær tilstand i økonomien beskrevet af Ramsey-modellen. Dette er tilgængeligt på sadelsporet, det vil sige at uanset hvad der er givet, er der et enkelt niveau af startforbrug, der gør det muligt at opnå denne balance. I så fald adskiller økonomien sig. k0{\ displaystyle k_ {0}}

Steady state's art

Det geometriske sted, hvor forbrug ikke længere afhænger af tiden, er på planet (k, c) en lige linje, der krydser x-aksen ved punktet . Det geometriske sted, hvor hovedstaden pr. Indbygger er stationær, defineres af den funktion, det forsvinder i og . k=kvs.t=vs.t+1{\ displaystyle k = k ^ {c_ {t} = c_ {t + 1}}}vs.(k)=f(k)-(δ+ikke)k{\ displaystyle c (k) = f (k) - (\ delta + n) k}k=0{\ displaystyle k = 0}f(k)k=δ+ikke{\ displaystyle {\ frac {f (k)} {k}} = \ delta + n}

Vi definerer også kriteriet for den gyldne regel som den mængde kapital pr. Indbygger, der maksimerer forbruget i en stabil tilstand. Formelt:

kor=arg⁡maksvs.(k){\ displaystyle k ^ {eller} = \ operatorname {arg} \ max c (k)}

Dette er et kriterium for at bedømme kvaliteten af ​​den stabile tilstand, som økonomien når. Hvis kapitalen i steady state er lavere end den gyldne regel, er økonomien underakkumuleret. For at forbedre situationen for alle fremtidige generationer skal nutidens generation spare mere, hvilket reducerer deres trivsel (nytte). En økonomi under akkumulering er optimal i Paretos forstand (husk at en situation er effektiv i den forstand Pareto, hvis det ikke er muligt at forbedre en persons situation uden at forringe en andens). På den anden side, hvis en økonomi er i overakkumulering (kapitalen pr. Indbygger er højere end den gyldne regel), er det nok at reducere den nuværende generations besparelser og derfor forbedre deres velbefindende for at forbedre det gode. -Alle generationer. En overakkumulerende økonomi er ikke optimal i Pareto-forstand. Denne sag er mulig i en indlejret generation model . Her har vi:

kor⇒f′(k)=δ+ikke{\ displaystyle k ^ {eller} \ Rightarrow {f '(k) = \ delta + n}}og guld efter hypotesekvs.t=vs.t+1⇒f′(k)=δ+ρ{\ displaystyle k ^ {c_ {t} = c_ {t + 1}} \ Rightarrow {f '(k) = \ delta + \ rho}}ρ≥ikke⇒kor≥kvs.t=vs.t+1{\ displaystyle \ rho \ geq {n} \ Rightarrow {k ^ {eller}} \ geq {k ^ {c_ {t} = c_ {t + 1}}}}

Ramsey-modellen er aldrig i overakkumulering, den stationære ligevægt er derfor optimal i Pareto-forstand.

Noter og referencer

1. http://folk.uio.no/gasheim/zRam1928.pdf
2. http://ideas.repec.org/a/eee/dyncon/v21y1997i4-5p895-898.html
3. http://lise.patureau.free.fr/Papiers/croissance/Slides_Chap3.pdf

Relaterede artikler

• Frank ramsey
• Økonomisk vækst
• Solow-model

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">