n- sfære

I geometri er hypersfæren en generalisering af sfæren til et euklidisk rum af enhver dimension . Det udgør et af de enkleste eksempler på manifold, og dimensionen n , eller n- sfære , er mere præcist en overflade af det euklidiske rum , bemærket generelt . Rikke+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}

Definition

Lad E være et euklidisk rum med dimension n + 1, A et punkt på E og R et strengt positivt reelt tal . Hypersphere kaldte centrum A og radius R sættet af punkter M , hvis afstand til A er R .

Givet et affinalt ortonormalt koordinatsystem , selvom det betyder at udføre en oversættelse , som ikke ændrer noget i de geometriske egenskaber, er det muligt at reducere til en hypersfære centreret ved oprindelsen, hvis ligning derefter skrives

∑jeg=1ikke+1xjeg2=R2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}

For eksempel :

• for tilfældet n = 0 består hypersfæren af ​​to respektive abscissapunkter R og - R  ;
• for tilfældet n = 1 er hypersfæren en cirkel  ;
• for tilfældet n = 2 er hypersfæren en sfære i den sædvanlige forstand.

(For en parametrering af den således definerede overflade, se “  Hypersfæriske koordinater  ”).

Ejendomme

Bind

Volumenet (eller mere præcist Lebesgue-målet ) af det rum, der er afgrænset af en hypersfære af dimension n - 1 og radius R , som er en euklidisk kugle med dimension n , er lig med:

Vikke=πikke/2RikkeΓ(ikke/2+1){\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ over \ Gamma (n / 2 + 1)}}

hvor betegner gammafunktionen . Vi har især: Γ{\ displaystyle \ Gamma}

	selv	n ulige
Vikke{\ displaystyle V_ {n}}	πikke2Rikke(ikke2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}}}	2(ikke+1)/2πikke-12Rikke1⋅3⋅⋯⋅ikke{\ displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot ikke}}}

Følgende tabel giver volumenværdierne for de første 8 kugler i dimension n og radius 1:

ikke	Volumen værdi
	eksakt	nærmede sig
1	2{\ displaystyle 2}	2{\ displaystyle 2}
2	π{\ displaystyle \ pi}	3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
3	43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi}	4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
4	12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}}	4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
5	815π2{\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}}	5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
6	16π3{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}}	5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
7	16105π3{\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}}	4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
8	124π4{\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}}	4,05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}

Volumenet af en sådan kugle er maksimalt for n = 5. For n > 5 falder lydstyrken, når n stiger, og dens grænse ved uendelig er nul:

limikke→∞Vikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} V_ {n} = 0}

Den hyperkubus omskrevet til enheden hypersphere har kanter af længde 2 og et volumen på 2 n  ; forholdet mellem volumen af ​​en kugle og den indskrevne hypercube (sidelæns ) stiger som en funktion af n . 2/ikke{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}

Areal

Det område af hypersphere af dimension n -1 og radius R kan bestemmes ved at tage derivatet med hensyn til radius R af volumenet V n  :

Sikke-1=dVikkedR=ikkeVikkeR=2πikke2Rikke-1Γ(ikke2){\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}

Sikke=2πikke+12RikkeΓ(ikke+12){\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}

	n selv	n ulige
Sikke{\ displaystyle S_ {n}}	2ikke2+1πikke2Rikke1⋅3⋯(ikke-1){\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}}	πikke+12Rikke12(ikke-12)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {n- 1} {2}} \ right)!}}}

Den n enhed sfære har derfor for området: Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}

2πikke+12Γ(ikke+12) .{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}

Følgende tabel giver værdierne for arealet for de første 7 n -kugler med radius 1:

ikke	Areal Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
	eksakt	nærmede sig
1	2π{\ displaystyle 2 \ pi}	6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
2	4π{\ displaystyle 4 \ pi}	12,56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
3	2π2{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2}}	19.73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
4	83π2{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}}	26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
5	π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}}	31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
6	1615π3{\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}}	33.07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
7	13π4{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}}	32.46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}

Arealet af n- enhedssfæren er maksimalt for n = 6. For n > 6 falder området, når n stiger, og dets grænse ved uendelig er nul:

limikke→∞Sikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = 0}

Relaterede artikler

• Simplex
• Hyperpyramid
• 3-kugle
• Cylinder kubisk , sfærisk cylinder
• Homotopi grupper af kugler