Trekantet firkantet tal
I matematik er et firkantet trekantet tal et trekantet tal, der er yderligere kvadratisk . Der er en uendelighed af sådanne tal.
De er skrevet i form
IKKEk=((1+2)2k-(1-2)2k)232=((3+22)k-(3-22)k)232,k∈IKKE∗.{\ displaystyle N_ {k} = {\ frac {\ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} \ højre) ^ {2}} {32}} = {\ frac {\ venstre (\ venstre (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ højre) ^ {k} - \ venstre (3- 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} \ right) ^ {2}} {32}}, \ quad k \ in \ mathbb {N} ^ {*}.}
Demonstration
Problemet koges ned til at løse en diofantinligning på følgende måde.
Ethvert trekantet tal har formen t ( t + 1) / 2. Vi ser derfor efter heltalene t og s således, at t ( t + 1) / 2 = s 2 , det vil sige ved at indstille x = 2 t + 1 og y = 2 s , ligningerne af ligningen med Pell- Fermat
x2-2y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1.}
Løsningerne er givet af
xk+yk2=(1+2)2k,{\ displaystyle x_ {k} + y_ {k} {\ sqrt {2}} = (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k},}
er
xk=(1+2)2k+(1-2)2k2etyk=(1+2)2k-(1-2)2k22.{\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k}} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad y_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k}} {2 {\ sqrt {2}}}}.}
Så finder vi
tk=(1+2)2k+(1-2)2k-24etsk=(1+2)2k-(1-2)2k42,{\ displaystyle t_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k} -2} {4}} \ quad {\ rm {et}} \ quad s_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k }} {4 {\ sqrt {2}}}},}
dermed værdien annonceret for N k = s k 2 .
Numeriske observationer
k
|
N k
|
s k
|
t k
|
t k / s k
|
---|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
36
|
6
|
8
|
1.3 ...
|
3
|
1225
|
35
|
49
|
1.4
|
4
|
41616
|
204
|
288
|
1.411 ...
|
5
|
1.413.721
|
1.189
|
1.681
|
1.413 ...
|
6
|
48.024.900
|
6,930
|
9.800
|
1.4141 ...
|
7
|
1.631.432.881
|
40.391
|
57,121
|
1.41420…
|
8
|
55 420 693 056
|
235.416
|
332 928
|
1.414211 ...
|
9
|
1 882 672 131 025
|
1.372.105
|
1.940.449
|
1.4142132 ...
|
(se fortsættelse A001110 af OEIS for nogle følgende værdier af N k ).
Når k har tendens til uendelig, er forholdet
tksk=xk-1yk∼xkyk{\ displaystyle {\ frac {t_ {k}} {s_ {k}}} = {\ frac {x_ {k} -1} {y_ {k}}} \ sim {\ frac {x_ {k}} { y_ {k}}}}
har tendens til kvadratroden af to og
IKKEk+1IKKEk=sk+12sk2→(1+2)4.{\ displaystyle {N_ {k + 1} \ over {N_ {k}}} = {s_ {k + 1} ^ {2} \ over s_ {k} ^ {2}} \ til (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4}.}
Noter og referencer
(da) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den
engelske Wikipedia- artikel med titlen
" Trekantet kvadratnummer " ( se forfatterlisten )
, omdøbt til " Firkantet trekantet nummer " i august 2005 .
-
(in) Eric W. Weisstein , " Square Triangular Number " på MathWorld .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">