Afkortet oktaeder

Beskrivelse af billedet trunkeretoctahedron.gif.

Elementer

Ansigter	Kanter	Hjørner
14 (8 sekskanter og 6 firkanter )	36	24 i grad 3

Nøgledata

Type	Archimedean Solid
Funktion	2
Ejendomme	Semi-regelmæssig og konveks, zonohedron
Dobbelt	Tetrakihexahedron

Den oktaedron trunkerede eller tétrakaidécaèdre af Archimedes er en polyhedron med 8- sidet regelmæssig sekskantet , 6-sidet firkant , 24 hjørner identiske og 36 kanter ens. Dens ansigter er regelmæssige polygoner, der mødes i identiske hjørner, og den afkortede oktaeder er et arkimedisk fast stof . Hvert ansigt har et symmetricenter , det er også en zonohedron .

Koordinater og permutationer

Ved at udføre permutationerne på (0, ± 1, ± 2) opnår vi de kartesiske koordinater for hjørnerne af en trunkeret oktaeder centreret ved oprindelsen. Hovedpunkterne er også de af 12 rektangler, hvis længder er parallelle med koordinatakserne. ${\ displaystyle 6 \ times 4 = 24}$

Den trunkerede oktaeder kan også repræsenteres af mere symmetriske koordinater i dimension fire: de 24 permutationer af (1,2,3,4) danner hjørnerne af en trunkeret oktaeder i underområdet for dimension 3 $x + y + z + w = 10$ . Af denne grund er den trunkerede oktaeder også undertiden kendt som permutohedronen . Konstruktionen generaliserer til ethvert $n$ og danner en polytop med dimension $n - 1$ , hvis hjørner opnås af $n !$ permutationer af $(1,2, .., n )$ . For eksempel danner de seks permutationer af (1,2,3) en regelmæssig sekskant i planet $x + y + z = 6$ .

Geometrisk konstruktion

Vi opnår en arkimedisk tetrakaidecahedron (eller trunkeret oktaeder) ved at trunke de 6 hjørner af en regelmæssig octahedron til højden af en tredjedel af hver kant.

Vi kan også bygge en trunkeret oktaeder med det modsatte mønster .

Målinger og volumen

Hvis kanterne på den trunkerede oktaeder er af længde a ,

dens volumen er:

{\ displaystyle V = 8 {\ sqrt {2}} \ a ^ {3} \ ca. 11 {,} 3137 \ a ^ {3}}

Demonstration

Den oktaeder, hvorfra den trunkerede oktaeder kommer fra, har en kantlængde . Vi kan se det som foreningen af to pyramider med kvadratisk base (kant $b$ ) og højde , derfor volumen . Hver af de 6 små pyramider fjernet fra oktaederne var 3 gange mindre, så 3 3 = 27 gange mindre voluminøs: Volumenet af den afkortede oktaeder er derfor: ${\ displaystyle b = 3a}$ ${\ displaystyle \ textstyle b {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle v_ {0} = {\ frac {1} {3}} \ left (b {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right) b ^ {2} = b ^ { 3} {\ frac {\ sqrt {2}} {6}}}$ ${\ displaystyle v_ {1} = v_ {0} / 27.}$ ${\ displaystyle \ textstyle V = 2v_ {0} -6v_ {1} = \ left (2 - {\ frac {6} {27}} \ right) b ^ {3} {\ frac {\ sqrt {2}} {6}} = {\ frac {8} {27}} {\ sqrt {2}} \ b ^ {3} = 8 {\ sqrt {2}} \ a ^ {3}.}$

overfladearealet er:

{\ displaystyle A = 6 \, (1 + 2 {\ sqrt {3}}) \ a ^ {2} \ ca. 26 {,} 7846 \ a ^ {2}}

Demonstration

Overfladen af den afskårne oktaeder er sammensat af 6 firkantede flader og 8 sekskantede flader, hver side $a$ . Hver firkant er af areal Vi kan se hver sekskant som mødet med 6 ligesidede trekanter af siden $har$ derfor areal : arealet af hver sekskant er Det samlede areal er således endelig: ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {c}} = a ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle A _ {\ mathrm {t}} = {\ frac {1} {2}} (a) \ left (a {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) = a ^ {2} {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle A _ {\ mathrm {h}} = 6A _ {\ mathrm {t}} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle A = 6A _ {\ mathrm {c}} + 8A _ {\ mathrm {h}} = (6 + 12 {\ sqrt {3}}) \ a ^ {2}.}$

Noter og referencer

En tetrakaidecahedron er et polyeder med 14 ansigter .

Se også

Bibliografi

(en) Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design , 1979, ( ISBN 0-486-23729-X )
(en) Mathworld: den trunkerede oktaeder

eksterne links

(in) [1]
(en) virtuel polyhedra: encyklopædi polyhedra
(in) [2]
(in) [3]