Partikel i en kasse

I fysik er partiklen i en kasse (eller brønd med kvadratpotentiale ) en simpel repræsentation af et system, der vedrører kvantemekanik . Vi studerer en partikel begrænset i et begrænset område af rummet takket være vægge med uendeligt potentiale ved kanterne af denne region. Partiklen udsættes ikke for nogen kraft inde i kassen, men holdes der af en uendelig kraft i kanterne. Det er en situation, der ligner en gas, der er indesluttet i en container. For at forenkle behandles det endimensionelle tilfælde først. Vi udleder ligningerne i de to- og tredimensionelle tilfælde.

Løsningen af Schrödinger-ligningen for en partikel i problemet med en kasse afslører kvanteopførsel, der er i overensstemmelse med eksperimentet, men i modsætning til forudsigelserne fra klassisk mekanik . Dette er en nyttig illustration, da denne opførsel ikke "tvinges" af systemet, den kommer naturligt fra de oprindelige forhold.

Partikelens opførsel

Kvanteopførelsen af en fri partikel i en kasse består af:

Kvantificering af energi - Partiklen kan kun tage visse veldefinerede energiværdier (diskretisering af energi). (Dette er forskelligt fra resultatet af et lignende system inden for klassisk mekanik, hvor systemet teoretisk kunne tage alle mulige kontinuerlige energiværdier mellem de to grænser.)
En grundtilstand af ikke-nul energi - Den laveste energi er strengt større end værdien af det laveste potentiale.
Noder - I modsætning til klassisk mekanik forudsiger Schrödingers ligning, at visse stater har noder, hvilket resulterer i positioner, hvor partiklen ikke kan findes.

Produktion

Produktionen udføres ofte ved hjælp af væksten af krystaller på et halvledersubstrat (Silicon, GaAs osv.). Vi opnår således en slags kunstigt atom, meget større faktisk (~ 100x), men som vi frit kan vælge absorptionslinjer (farve og fysiske egenskaber) af. En af disse kvantepunkter bruges industrielt i en sender med variabel frekvens, hvor en kraft på krystallen forårsager en ændring af frekvensen.

Sagen om partiklen i en endimensionel kasse

For det endimensionelle tilfælde, for eksempel i retning af aksen , kan den tidsuafhængige Schrödinger ligning skrives som: $x$

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} + V (x) \ psi = E \ psi \ quad (1)}

eller

\ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}

hvor h er Plancks konstant , m er partikelens masse , ψ er den (muligvis komplekse) bølgefunktion, vi skal finde, V ( x ) er en funktion, der beskriver potentialet for hver værdi af x og E er energi , en reel nummer. For tilfældet af partiklen i en endimensional kasse med en længde L , er potentialet nul inde i boksen, og er uendelig i x = 0 og x = L . For regionen inden i feltet V ( x ) = 0 og ligning (1) reduceres til:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} = E \ psi \ quad (2)}

Dette er et velkendt egenværdiproblem, hvis generelle løsning er

{\ displaystyle \ psi = A \ sin (kx) + B \ cos (kx) \ quad}

{\ displaystyle E = {\ frac {k ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2m}} \ quad (3)}

hvor A og B er komplekse tal , og k er et reelt tal ( k skal være reel, fordi E er reel).

For at finde de specifikke løsninger til problemet med en partikel i en potentiel brønd er vi nødt til at specificere randbetingelserne og finde værdierne A og B, der opfylder disse betingelser. Første kræver ψ lig med nul for x = 0 og x = L . Disse forhold kan fortolkes som en uendelig værdi af potentialet ved disse positioner, så det er umuligt at finde partiklen på disse steder. Således er sandsynligheden for at finde partiklen, det vil sige | ψ | 2 , skal være lille i disse regioner og falde, når potentialet stiger. I tilfælde af et uendeligt potentiale | ψ | 2 skal være nul, derfor skal ψ være nul i dette område. Sammenfattende

{\ displaystyle \ psi (0) = \ psi (L) = 0 \ quad (4)}

For det andet vil man finde de løsninger, der svarer til sektionen om fri udbredelse i slutningen af denne artikel: dette tilfælde tvinger ikke bølgefunktionen til at annullere ved grænserne. Dette betyder, at når partiklen når en grænse for brønden, forsvinder den øjeblikkeligt på den side af brønden for kun at dukke op igen på den anden side, som om brønden var en slags torus . Løsningenes værdi diskuteres i det relevante afsnit. Vi genoptager nu afledningen med annulleringsbetingelser ved grænsen.

Ved at erstatte den generelle opløsning af ligning 3 i ligning 2 og placere os på x = 0 ( ψ = 0) finder vi, at B = 0 (fordi sin (0) = 0 og cos (0) = 1). Det følger heraf, at bølgefunktionen skal have formen:

{\ displaystyle \ psi = A \ sin (kx) \ quad (5)}

og i x = L finder vi:

{\ displaystyle \ psi = A \ sin (kL) = 0 \ quad (6)}

En løsning til ligning 6 er A = 0, men denne "trivielle løsning" vil antyde, at ψ = 0 på ethvert tidspunkt (dvs. partiklen er ikke i kassen) og kan kasseres. Hvis A ≠ 0 er sin ( kL ) = 0, hvilket kun er sandt når:

{\ displaystyle kL = n \ pi \ quad {\ textrm {med}} \ quad n = 1,2, \ ldots}

{\ displaystyle \ mathrm {derfor} \ quad k = {\ frac {n \ pi} {L}} \ quad (7)}

(bemærk, at n = 0 ikke er egnet, fordi da ψ = 0 på et hvilket som helst tidspunkt svarende til det tilfælde, hvor partiklen ikke er i kassen). Negative værdier af n forsømmes også, fordi de simpelthen ændrer syndens tegn ( nx ). For at finde A , bruger vi det faktum, at sandsynligheden for at finde partiklen et eller andet sted er 1. Derfor er værdien af integralen af | ψ | 2 på x-aksen:

{\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | \ psi \ right | ^ {2} \, dx = \ left | A \ right | ^ {2} \ int _ {0 } ^ {L} \ sin ^ {2} kx \, dx = \ left | A \ right | ^ {2} {\ frac {L} {2}}}

hvorfra

{\ displaystyle \ left | A \ right | = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ quad (8)}

Således kan A være ethvert komplekst tal med norm √ (2 / L); disse forskellige værdier af A svarer til den samme fysiske tilstand. Vi vælger derfor A = √ (2 / L) for enkelhedens skyld.

Endelig ved at erstatte resultaterne af ligning 7 og 8 i ligning 3 får vi den komplette løsning på problemet med en endimensionel partikel i en kasse:

{\ displaystyle E_ {n} = {\ frac {n ^ {2} \ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} = {\ frac {n ^ {2} h ^ {2}} {8 ml ^ {2}}}, \ quad n = 1,2, \ cdots \ quad (9)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right) \ quad (10) }

Bemærk, at som tidligere nævnt kun "kvantificerede" energiniveauer er mulige. Da n ikke kan være nul, er den laveste energi ifølge ligning 9 også ikke-nul. Denne grundtilstand for ikke-nul energi kan forklares med usikkerhedsprincippet . Da partiklen er tvunget til at bevæge sig i et endeligt område, øges variansen i dens positioner. I henhold til usikkerhedsprincippet kan variationen i partikelets momentum (momentum) ikke være nul, partiklen har derfor en vis mængde energi, som kun stiger, når længden af kassen, L , falder.

Da ψ er sammensat af sinusbølger, for nogle værdier på n større end en, er der områder i feltet, for hvilke ψ såvel som ψ 2 er lig med 0, hvilket indikerer, at der for disse energiniveauer findes noder i feltet, hvor sandsynligheden for at finde en partikel er nul.

Partiklen i en 2 eller 3 dimensionel kasse

I det todimensionelle tilfælde er partiklen begrænset i en rektangulær overflade med længden L x i x- retning og L y i y- retning . Potentialet er stadig nul i "kassen" og uendeligt på væggene. For den indre zone af kassen, hvor potentialet er nul, skrives det to-dimensionelle udtryk svarende til ligning 2:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac { \ partial ^ {2} \ psi} {\ partial y ^ {2}}} \ right) = E \ psi \ quad (11)}

I dette tilfælde er ψ en funktion af x og y, derfor er ψ = ψ ( x , y ). For at løse ligning 11 bruger vi en metode til at adskille variabler . For det første antager vi, at ψ kan udtrykkes som et produkt af to uafhængige funktioner, den første afhænger kun af x og den anden kun af y , dvs.

{\ displaystyle \ psi (x, y) = X (x) Y (y) \ quad (12)}

Ved at erstatte ligning 12 i ligning 11 og evaluere de partielle derivater (som bliver enkle derivater, X afhænger kun af x og Y på y):

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ venstre (Y {\ frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} + X {\ frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} \ højre) = EXY \ quad (13)}

som ved dividering med XY og indstilling af d 2 X / d x 2 = X "og d 2 Y / d y 2 = Y " bliver:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ venstre ({\ frac {X ''} {X}} + {\ frac {Y ''} {Y}} \ højre) \ quad = E \ quad (14)}

Vi har nu bemærke, at da X "/ X er uafhængig af det , en variation af det kan kun ændre udtrykket Y '/ Y . I henhold til ligning 14 ændrer Y "/ Y uden at variere X " / X imidlertid også E , eller E er konstant, så Y "/ Y skal også være en konstant uafhængig af y. Den samme ræsonnement kan bruges til at vise, at X "/ X er uafhængig af x . Da X "/ X og Y " / Y er konstante, kan vi skrive:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {X ''} {X}} = E_ {x} \ quad og \ quad - {\ frac {\ hbar ^ { 2}} {2m}} {\ frac {Y ''} {Y}} = E_ {y} \ quad (15)}

hvor E x + E y = E . Ved hjælp af den tidligere notation for X "og Y " får vi:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} = E_ {x} X \ quad (16)}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} = E_ {y} Y \ quad (17)}

hver af disse ligninger har samme form som den endimensionale Schrödinger-ligning (ligning 2), som vi løste i det foregående afsnit. Ifølge den foregående del har vi således:

{\ displaystyle X_ {n_ {x}} = {\ sqrt {\ frac {2} {L_ {x}}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ {x} \ pi x} {L_ {x} }} \ højre) \ quad (18)}

{\ displaystyle Y_ {n_ {y}} = {\ sqrt {\ frac {2} {L_ {y}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ {y} \ pi y} {L_ {y} }} \ højre) \ quad (19)}

Endelig, da ψ = XY og E = E x + E y , opnår vi løsningerne:

{\ displaystyle \ psi _ {n_ {x}, n_ {y}} = {\ sqrt {\ frac {4} {L_ {x} L_ {y}}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ { x} \ pi x} {L_ {x}}} højre) \ sin \ venstre ({\ frac {n_ {y} \ pi y} {L_ {y}}} højre) \ quad (20)}

{\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = {\ frac {h ^ {2}} {8m}} \ left [\ left ({\ frac {n_ {x}} {L_ {x} }} \ højre) ^ {2} + \ venstre ({\ frac {n_ {y}} {L_ {y}}} \ højre) ^ {2} \ højre] \ quad (21)}

Den samme teknik til at adskille variabler kan anvendes til det tredimensionelle tilfælde for at give løsningen:

{\ displaystyle \ psi _ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {\ sqrt {\ frac {8} {L_ {x} L_ {y} L_ {z}}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ {x} \ pi x} {L_ {x}}} \ højre) \ sin \ left ({\ frac {n_ {y} \ pi y} {L_ {y}}} \ højre) \ sin \ left ({\ frac {n_ {z} \ pi z} {L_ {z}}} \ højre) \ quad (22)}

{\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {\ frac {h ^ {2}} {8m}} \ venstre [\ venstre ({\ frac {n_ {x}} {L_ {x}}} \ højre) ^ {2} + \ venstre ({\ frac {n_ {y}} {L_ {y}}} \ højre) ^ {2} + \ venstre ({\ frac {n_ {z}} {L_ {z}}} \ højre) ^ {2} \ højre] \ quad (23)}

En interessant egenskab ved de ovennævnte løsninger er, at når to eller flere af længderne er ens (f.eks. L x = L y ), er der flere bølgefunktioner, der svarer til den samme samlede energi . For eksempel har bølgefunktionen med n x = 2, n y = 1 den samme energi som bølgefunktionen med n x = 1, n y = 2. Denne situation kaldes degeneration . For det tilfælde, hvor nøjagtigt to degenererede bølgefunktioner har den samme energi, siges dette energiniveau at være dobbelt degenereret . Degeneration skyldes systemets symmetri. I ovenstående tilfælde er to af længderne ens, så systemet er symmetrisk med en 90 ° rotation.

Gratis formering

Hvis potentialet er nul (eller konstant) på et hvilket som helst tidspunkt, definerer vi en fri partikel. Dette medfører nogle vanskeligheder med at normalisere bølgefunktionen. En måde at omgå problemet på er at begrænse partiklen i et endeligt volumen V af vilkårlig størrelse, hvor der ikke er nogen hindring for formering. Når V → ∞, skal vi genvinde den frie partikel, mens vi i de mellemliggende beregninger tillader brugen af korrekt normaliserede tilstande. Når vi for eksempel beskriver en partikel, der bevæger sig i et fast stof, forventer vi ikke rumligt lokaliserede tilstande, men tværtimod helt delokaliserede tilstande (i det faste stof), hvilket betyder, at partiklen udbreder sig gennem ham (da det kan være overalt med samme sandsynlighed, i modsætning til de sinusformede løsninger, som vi er stødt på, når partiklen har foretrukne placeringer). Denne fortolkning følger af løsningerne i Schrödinger-ligningen for et nulpotentiale med randbetingelserne kendt som " Von-Karman-randbetingelser ", med andre ord bølgefunktionen tager de samme værdier på de modsatte sider af boksen., Men ikke nødvendigvis nul. Det kontrolleres derefter, at følgende funktioner er løsning af ligning 1:

{\ displaystyle {\ textrm {en ~ 1D}}: \ \ psi _ {k} (x) = {1 \ over {\ sqrt {L}}} e ^ {ikx}, \ quad k = {2n \ pi \ over L}, n ​​\ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle {\ textrm {en ~ 3D}}: \ \ psi _ {\ mathbf {k}} (x) = {1 \ over {\ sqrt {L ^ {3}}}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}, \ quad k_ {x} = {2n_ {x} \ pi \ over L}, k_ {y} = {2n_ {y} \ pi \ over L}, k_ { z} = {2n_ {z} \ pi \ over L}, n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ i \ mathbb {Z}}

Energien forbliver (jf. Ligning 3), men her har k dobbelt værdier af værdierne fra den tidligere løsning (jf. Ligning 7). Dette skyldes, at i det foregående tilfælde var n strengt positiv, mens det her kan være negativt eller nul (jordtilstanden). Løsningerne, hvor den sinusformede funktion ikke overlapper sig selv efter en oversættelse af L, kan ikke findes ved hjælp af en eksponentiel, da derivatet i denne fortolkning af en formeringspartikel er diskontinuerlig ved kanter, betyder det, at partiklen får en uendelig hastighed ved denne placere. Dette viser, at de to fortolkninger afspejler iboende adfærd. ${\ displaystyle \ hbar ^ {2} k ^ {2} / 2m}$

eksterne links