En efterfølgende sandsynlighed

I Bayes' sætning , den a posteriori sandsynlighed betegner recaculated eller måles igen sandsynlighed , at en begivenhed sker ved at tage hensyn til nye oplysninger. Med andre ord er den bageste sandsynlighed sandsynligheden for, at begivenhed A forekommer i betragtning af, at begivenhed B har fundet sted. Det er imod den tidligere sandsynlighed for Bayesiansk inferens .

Definition

Den a priori lov, som en begivenhed finder sted med sandsynlighed, er . Den bageste sandsynlighed er defineret som: $p (\ theta)$ $x$ ${\ displaystyle p (X | \ theta)}$

{\ displaystyle p (\ theta | X) = {\ frac {p (X | \ theta) p (\ theta)} {p (X)}}.}

Den efterfølgende sandsynlighed kan skrives: ${\ displaystyle {\ text {A posteriori probability}} \ propto {\ text {Likelihood}} \ times {\ text {A prior probability}}.}$

Beregning

Fordelingen af en posterior sandsynlighed for en tilfældig variabel givet værdien af en anden kan beregnes med Bayes 'sætning ved at multiplicere fordelingen af den tidligere sandsynlighed med sandsynlighedsfunktionen og derefter divideres med de konstante standarder (in) , såsom:

{\ displaystyle f_ {X \ mid Y = y} (x) = {f_ {X} (x) {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (x) \ over {\ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (u) {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (u) \,}}}

som giver den bageste densitetsfunktion af en tilfældig variabel givet det og hvor: $x$ $Y = y$

${\ displaystyle f_ {X} (x)}$ er den tidligere tæthed af , $x$
${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (x) = f_ {Y \ mid X = x} (y)}$ er sandsynlighedsfunktionen af , $x$
${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (u) {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (u) \, du}$ er konstanten ved normalisering, og
${\ displaystyle f_ {X \ mid Y = y} (x)}$ den bageste tæthed af de givne data . $x$ $Y = y$

Kontinuerlige og diskrete distributioner

Relaterede artikler

Noter og referencer

Bemærkninger

(en) Denne artikel er helt eller delvist taget fra artiklerne med titlen på engelsk " Prior probability " ( se listen over forfattere ) og " Posterior probability " ( se listen over forfattere ) .

Referencer

Peter M. Lee , Bayesian statistik: en introduktion , London, Arnold,2004( ISBN 9780340814055 , læs online )

Bibliografi

Rubin, Donald B., Gelman, Andrew , John B. Carlin og Stern, Hal, Bayesian Data Analysis , Boca Raton, Chapman & Hall / CRC,20032. udgave ( ISBN 978-1-58488-388-3 , Matematiske anmeldelser 2027492 )
James O. Berger , statistisk beslutningsteori og Bayesian analyse , Berlin, Springer-Verlag,1985( ISBN 978-0-387-96098-2 , matematikanmeldelser 0804611 )
James O. Berger og William E. Strawderman , " Valg af hierarkiske prioriteter: antagelighed i estimering af normale midler ", Annals of Statistics , bind. 24, n o 3,1996, s. 931–951 ( DOI 10.1214 / aos / 1032526950 , matematiske anmeldelser 1401831 , zbMATH 0865.62004 )
Jose M. Bernardo , " Reference posterior distribution for Bayesian Inference ", Journal of the Royal Statistical Society, serie B , bind. 41, nr . 21979, s. 113–147 ( JSTOR 2985028 , matematikanmeldelser 0547240 )
James O. Berger , José M. Bernardo og Dongchu Sun, " Den formelle definition af reference priors ", Annals of Statistics , bind. 37, nr . 22009, s. 905–938 ( DOI 10.1214 / 07-AOS587 , Bibcode 2009arXiv0904.0156B , arXiv 0904.0156 )
Edwin T. Jaynes , " Prior Probabilities, " IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics , vol. 4, n o 3,September 1968, s. 227–241 ( DOI 10.1109 / TSSC.1968.300117 , læst online , adgang til 27. marts 2009 )
- genoptrykt i Rosenkrantz, Roger D., ET Jaynes: artikler om sandsynlighed, statistik og statistisk fysik , Boston, Kluwer Academic Publishers,1989, 116–130 s. ( ISBN 978-90-277-1448-0 )
Edwin T. Jaynes , sandsynlighedsteori: videnskabens logik , Cambridge University Press,2003( ISBN 978-0-521-59271-0 , læs online )
Jon Williamson , “ anmeldelse af Bruno di Finetti. Philosophical Lectures on Probability ”, Philosophia Mathematica , bind. 18, nr . 1,2010, s. 130–135 ( DOI 10.1093 / philmat / nkp019 , læs online [ arkiv af9. juni 2011] , adgang til 2. juli 2010 )
Tony Lancaster , en introduktion til moderne Bayesian Econometrics , Oxford, Blackwell,2004( ISBN 1-4051-1720-6 )
Peter M. Lee , Bayesian Statistics: En introduktion , Wiley ,20043. udgave ( ISBN 0-340-81405-5 )