Agnesi Witch

I matematik er Agnesi-kurven en kurve, der især er undersøgt af Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799).

Denne kurve kaldes ofte "  heksen fra Agnesi  " efter en oversættelsesfejl fra italiensk.

Kurven

Definition

Det er defineret som følger:

• på en fast cirkel vælger vi et punkt O; punktet M er diametralt modsat O;
• fra ethvert andet punkt A i cirklen tegner vi sekanten [OA];
• skæringspunktet mellem linjen (OA) og tangenten til cirklen i M forekommer ved punkt N;
• linjen parallelt med (OM), der passerer N, og linjen vinkelret på (OM), der passerer A, mødes ved P;
• kurven er stedet for punkterne P for alle punkterne A i cirklen.

Kurven er asymptotisk for tangenten til den faste cirkel, der passerer gennem punktet O.

Ligninger

Vi antager O ved oprindelsen og M på den positive y-akse. Antag, at cirkelens diameter er a .

Den kartesiske ligning af kurven er: . y=på3x2+på2{\ displaystyle y = {\ frac {a ^ {3}} {x ^ {2} + a ^ {2}}}}

Hvis x = 0 , er y = a .

Parametrisk, hvis θ er vinklen (OM, OA) målt mod trigonometrisk, defineres kurven ved ligningerne:

x=påtan⁡θ,y=påcos2⁡θ.{\ displaystyle x = a \ tan \ theta, y = a \ cos ^ {2} \ theta. \,}

Ejendomme

• Arealet mellem kurven og dens asymptote er fire gange så stor som den faste cirkel, dvs. π a 2 .
• Volumenet afgrænset af revolutionens overflade omkring asymptoten er 4 π 2 a 3 .
• Den geometriske tyngdepunkt af kurven er placeret ved koordinater (0, a / 2) , dvs. i midten af cirklen.

Historie

Denne kurve blev undersøgt af Pierre de Fermat af Guido Grandi i 1703 (han gav det navnet versiera i Quadratura circuli et hyperbolae , Pisa, 1703 ) og af Maria Gaetana Agnesi i 1748 i Instituzioni analitiche .

På italiensk kaldes det la versiera di Agnesi . Hun tog navnet "heks" som et resultat af en fejl fra John Colson , professor Lucasian i Cambridge , oversætter af Agnesi, som forveksler versiera med avversiera (heksen). Det vides ikke, om Colson, der er død fyrre år på offentliggørelsestidspunktet, ville have rettet denne fejl.

For at markere 296 -  årsdagen for Maria Gaetana Agnesis fødsel dedikerer Google [1] en doodle med en animation af kurvens konstruktion.

Noter og referencer

1. fra latin versoria , reb bruges til at bære sejlet fra den ene side til den anden.
2. (It) Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , bind I, s.  380 , problem III, §238 ( e-rara .ch digitalisering )
3. C. Truesdell, “  Maria Gaetana Agnesi  ”, Arch. Hist. Eksakt. Sci , bind.  40, n o  21989, s.  113-142

eksterne links

• (en) Motorer af vores opfindsomhed. Afsnit nr. 217: Heksen fra Agnesi af John H. Lienhard