Vi betragter et K - vektorrum E med begrænset dimension og en endomorfisme u af dette rum. En Frobenius- nedbrydning er en nedbrydning af E i en direkte sum af såkaldte cykliske underområder, således at de respektive minimale (eller karakteristiske ) polynomer af begrænsningerne af u til faktorerne er de uforanderlige faktorer for u . Frobenius-nedbrydningen kan udføres på ethvert felt : vi antager ikke her, at K er algebraisk lukket .
Lad x være en vektor af E , sættet
er et ideal for K [ X ] ikke reduceret til 0 (ifølge Cayley-Hamilton-sætningen er det karakteristiske polynom et ikke-nul polynom der hører til dette ideal); det genereres derfor af et unikt enhedspolynom kaldet et ledende polynom af u ved x eller undertiden et lokalt minimalt polynom af u ved x .
Lad x være en vektor af E , sættet
er et vektorunderrum af E stabilt af u kaldet u- cyklisk underrum genereret af x , eller u- stabil lukning af x .
Eller vi har, hvis og kun hvis . Således er det ledende polynom det minimale polynom af endomorfismen induceret af u på underområdet S x .
Dimensionen af S x er lig med graden af polynomet .
For enhver vektor x af E opdeler det ledende polynom det minimale polynom af u . Vi vil sige, at x er u -maksimum når . Frobenius-nedbrydningen er baseret på følgende to resultater (demonstreret på Wikiversity ):
Ved at fortsætte med induktion ankommer vi så til Frobenius-nedbrydningen .
Der findes en sekvens af vektorer af E, således at
Polynomerne afhænger ikke af valget af vektorer , de er de uforanderlige faktorer for u . Det minimale polynom er, og det karakteristiske polynom er .
To endomorfismer er ens, hvis og kun hvis de har de samme uforanderlige faktorer.
Alternativt kan vi se Frobenius-nedbrydningssætningen som en øjeblikkelig følge af den uforanderlige faktorteorem ved at foretage korrespondancen mellem -vektorrummet og - modulet udstyret med det eksterne produkt defineret af . Imidlertid er den uforanderlige faktor sætning meget sværere at demonstrere i almindelighed end det bevis, der er beskrevet her, som bruger lineære algebra teknikker.
Endomorfismerne induceret af u er cykliske endomorfier, hvoraf det kun er tilbage at undersøge de specifikke egenskaber.
Det siges, at u er en cyklisk endomorfien hvis der er et element x af E , således at S x = E .
Vi kan karakterisere cykliske endomorfier på flere måder: en endomorfisme u af E er cyklisk, hvis og kun hvis:
J. Fresnel, matrixalgebra , Hermann, 1997, § A 4.1, s. 139-141