Én parameter undergruppe

En undergruppe til en parameter af en gruppe af Lie real G er en Lie gruppe morphism c : ℝ → G . Mere specifikt er c en differentierbar kontrol:

{\ displaystyle \ forall s, t \ in \ mathbb {R}, c (t + s) = c (t) c (s)}

Ejendomme

Ved at udlede dette forhold med hensyn til variablen s og ved at evaluere ved s = 0, kommer det:

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, c '(t) = T_ {e} L_ {c (t)} \ left (c' (0) \ right)}

hvor L c ( t ) betegner den venstre multiplikation af c ( t ). En undergruppe til en parameter opnået som kredsløb af den neutrale element i et vektorfelt invariant tilbage af G . Et sådant felt X bestemmes af dets værdi X ( e ) ved det neutrale element e . Der er derfor en en-til-en-korrespondance mellem en-parameter-undergruppe og det tangente rum g fra G til e :

med hvilken som helst undergruppe med en parameter c af G er forbundet vektoren c ' (0) af g ;
til en hvilken som helst vektor v af g er undergruppen associeret med en parameter c : ℝ → G defineret af differentialligningen c '( t ) = T e L c ( t ) [ v ] og den oprindelige tilstand c ' (0) = v .

Én-parameter-undergrupper griber naturligt ind i definitionen af det eksponentielle kort over Lie-gruppen G :

det eksponentielle kort er kortet exp: g → G defineret af exp ( v ) = c (1) hvor c er en-parameter undergruppe af G associeret med X ;
enhver undergruppe med en parameter c skrives entydigt c ( t ) = exp ( t . v ) hvor v = c '(0).

Eksempler

Kommutativ løgngruppe

Ethvert endeligt dimensionelt reelt vektorrum E er en Lie-gruppe, hvor den interne lov er vektortilskuddet. Det tangente rum ved 0 af E identificeres naturligvis med E som et reelt vektorrum. Undergrupperne til en parameter E er simpelthen applikationer t ↦ t . v hvor v kører E : der er parameteriserede vektor linjer af E .

Klassificeringen af kommutative løgnegrupper er kendt og elementær. Alle kommutativ Lie gruppe G er realiseret som en kvotient af et vektorrum S ved en diskret undergruppe, en subnet E . Undergrupper en parameter G opnås således ved at passere lige kvotient parametriseres E .

Et vigtigt eksempel er torus ℝ n / ℤ n . Enparameterundergrupperne er kortlægningerne c v : t → t . v mod ℤ n hvor v krydser ℝ n . Forskellige adfærd vises:

hvis v er proportional med et element i gitteret ℤ n , er c v et periodisk kort, en nedsænkning af den reelle linje og en lokal diffeomorfisme af ℝ på en cirkel af ℝ n / ℤ n ;
ellers er c en nedsænkning af den rigtige linje, men billedet er ikke en variation. I dimension n = 2 er billedet tæt i torus. I højere dimension er adhæsionen af billedet en diffeomorf subvariation til en torus, og alle de mellemliggende dimensioner, der går fra 2 til n, kan opnås.

Rotationsgruppe

For en hvilken som helst ikke-nul vektor v af ℝ 3 er kortet R associeret med t rotation af den orienterede akse ℝ. v og vinkel t er en undergruppe med en parameter til SO (3) rotationsgruppen i det euklidiske rum.

Dette er nøjagtigt alle undergrupperne med en parameter i SO (3). Det er bemærkelsesværdigt at bemærke, at de alle er periodiske applikationer.

Som en påmindelse er det almindeligt at parametrere SO (3) -gruppen efter enhedskvadernioner .

Undergrupperne med en parameter af S 3 har som billeder sporene af de virkelige vektorplaner af H indeholdende 1. Disse er lokale diffeomorfismer af ℝ på store cirkler af S 3 .

Én-parameter gruppe af diffeomorfismer

Definitionen kan let generaliseres til løgnegrupper med uendelig dimension. Standardeksemplet er gruppen af diffeomorfismer i en differentieringsmanifold M med dimension n . Det er f.eks. Muligt at introducere begrebet en gruppe med en diffeomorfismparameter .

En enkeltparametergruppe af diffeomorfismer er et differentierbart kort f : ℝ × M → M, således at sektionerne f t er diffeomorfismer af manifolden M, der tilfredsstiller:

{\ displaystyle \ forall t, s \ in \ mathbb {R}, f_ {t + s} = f_ {t} \ circ f_ {s}}

Det er simpelthen en differentierbar handling på ℝ millioner .

Denne opfattelse skal sammenlignes med vektorfelt:

til enhver gruppe med en diffeomorfismeparameter f af M er et unikt felt af vektorer X på M forbundet med: ${\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, {\ frac {d} {dt}} f_ {t} (x) = X \ left [f_ {t} (x) \ right]}$ ;
omvendt, hvis M er kompakt , enhver vektorfelt X på M er forbundet med en enkelt gruppe til en parameter diffeomorfi f bestemmes af forholdet ovenfor, og kaldes flow felt X .

Feltet siges derefter at være globalt .

Hvis M har mere struktur (f.eks. Riemannian manifold , symplectic manifold eller contact manifold ), vil vi måske have, at sektionerne f t bevarer denne struktur; i dette tilfælde erstattes udtrykket diffeomorfisme med et tilpasset ordforråd.