Stationaritet i en tidsserie

Et af de store spørgsmål i studiet af tidsserier (eller kronologiske serier) er at vide, om disse følger en stationær proces . Dette forstås at betyde, om strukturen i den antagne underliggende proces ændrer sig over tid eller ej. Hvis strukturen forbliver den samme, siges processen at være stationær.

Stærk definition af stationaritet

Definition  -  Overvej en reel tidsmæssig proces med diskret tid . Det siges at være stationær i stærk forstand, hvis der til en målbar funktion f  : Z1,Z2,...,Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}}

f(Z1,Z2,...,Zt) et f(Z1+k,Z2+k,...,Zt+k){\ displaystyle \ textstyle f (Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}) \ og \ f (Z_ {1 + k}, Z_ {2 + k}, ..., Z_ {t + k})} har samme lov.

Fortolkning

Vi er interesseret her i den fælles sandsynlighedsfordeling af processen. Er leddensitetsfunktionen den samme, uanset om vi tager de første t-variabler eller tager følgende t + k? I så fald er processen strengt stationær. Med andre ord, hvis processen er stationær, påvirkes dens egenskaber ikke af en ændring i vores "tidsramme": uanset om vi ser på punkt t eller på punkt t + k, vil serien altid have den samme adfærd.

Da sandsynlighedsloven for en distribution af en dataserie er meget vanskelig at estimere, er der indført en mindre streng definition af stationaritet.

Svag definition af stationaritet

Definition  -  Overvej en reel tidsmæssig proces med diskret tid . Det siges at være stationær i svag forstand (eller "anden orden" eller "i kovarians") hvis Z1,Z2,...,Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}}

• E[Zjeg]=μ∀jeg=1 ...t{\ displaystyle E [Z_ {i}] = \ mu \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t}
• Vpår[Zjeg]=σ2≠∞∀jeg=1 ...t{\ displaystyle Var [Z_ {i}] = \ sigma ^ {2} \ neq \ infty \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t}
• VSov[Zjeg,Zjeg-k]=f(k)=ρk∀jeg=1 ...t,∀k=1 ...t{\ displaystyle \ textstyle Cov [Z_ {i}, Z_ {ik}] = f (k) = \ rho _ {k} \ qquad \ forall i = 1 ... t, \ quad \ forall k = 1 .. .t}

Fortolkning

• Den første betingelse siger, at forventningen er konstant over tid, så der er ingen tendens.
• Den anden betingelse forudsætter, at variansen er konstant over tid og ikke uendelig.
• Tredje betingelse: Afhænger autokorrelationen (eller autokovariansen, hvor forskellen er uvigtig her) mellem variablen og variablen kun af størrelsen af ​​et skift på k (vi har :) , eller gør positionen i tid t også spille en rolle (da )? Hvis positionen i tiden ikke spiller en rolle, er den tredje betingelse opfyldt. Bemærk, at dette inkluderer det andet, hvis vi tager k = 0, for så svarer auto-covariansen til variansen.ρt,t-k{\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk}}Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {t}}Zt-k{\ displaystyle \ textstyle Z_ {tk}}ρt,t-k=f(k){\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk} \ scriptstyle = f (k)}ρt,t-k=f(t,k){\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk} \ scriptstyle = f (t, k)}

Svag stationaritet siges at være andenordens stationaritet, fordi dens definition udelukkende er baseret på de to første øjeblikke af den tilfældige variabel . Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {t}}

Betydningen af ​​konceptet

Begrebet stationaritet er vigtigt i modelleringen af ​​tidsserier, det falske regressionsproblem viser, at en lineær regression med ikke-stationære variabler ikke er gyldig. Mere præcist følger fordelingen af ​​parametrene for regression ikke længere en studerendes lov, men en brownian bevægelse . I det tilfælde, hvor variablerne ikke er stationære, gør et meget tæt koncept, mønterintegration , det muligt at bestemme typen af ​​model, der skal bruges.

Stationaritet spiller også en vigtig rolle i forudsigelsen af ​​tidsserier, hvor forudsigelsesintervallet er forskelligt afhængigt af om serien er stationær eller ej.

Typer af ikke-stationaritet

Når en eller flere af de stationære betingelser ikke er opfyldt, siges serien at være ikke-stationær. Imidlertid dækker dette udtryk mange typer ikke-stationaritet, hvoraf to er udsat her.

Stationaritet i trend

Definition  -  En serie er stationær i trend, hvis serien opnået ved at "fjerne" tidstendensen fra den originale serie er stationær.

Tiden tendens af en tidsserie er det tid komponent.

Eksempel: Overvej følgende proces: med en hvid støj . xt=1,2t+ϵt{\ displaystyle X_ {t} = 1,2t + \ epsilon _ {t} \ qquad}ϵt{\ displaystyle \ epsilon _ {t}}

Denne proces er ikke-stationær, fordi dens forventning stiger med tiden (betingelse 1 overtrådt). Men serien opnået ved at trække effekten af ​​tidsudviklingen er stationær: Yt{\ displaystyle Y_ {t}}Yt=xt-1,2t{\ displaystyle Y_ {t} = X_ {t} -1,2t}

Yt=1,2t+ϵt-1,2t=ϵt{\ displaystyle Y_ {t} = 1,2t + \ epsilon _ {t} -1,2t = \ epsilon _ {t} \ qquad} hvilket svarer til hvid støj, stationær pr. definition.

Stationaritet i forskel

Definition  -  En serie er stationær i forskel, hvis den serie, der opnås ved at differentiere værdierne i den originale serie, er stationær.

Forskellen operatør bemærkes: Δxt=xt-xt-1{\ displaystyle \ Delta X_ {t} = X_ {t} -X_ {t-1}}

Integrationsorden for en tidsserie

Definition  -  En tidsserie siges at være integreret i rækkefølge d, som vi betegner ved I (d), hvis serien opnået efter d-differentiering er stationær.

Eksempel: Lad tilfældigheden gå ren: med en hvid støj . xt=xt-1+ϵt{\ displaystyle X_ {t} = X_ {t-1} + \ epsilon _ {t} \ qquad}ϵt{\ displaystyle \ epsilon _ {t}}

Vi kan vise, at en tilfældig gåtur er stationær i forskel. Vi ser her, at den er integreret i rækkefølge 1, rækken af ​​forskelle er faktisk stationær:

Δxt=xt-xt-1=xt-1+ϵt-xt-1=ϵt{\ displaystyle \ Delta X_ {t} = X_ {t} -X_ {t-1} = X_ {t-1} + \ epsilon _ {t} -X_ {t-1} = \ epsilon _ {t} \ qquad} svarende til hvid støj, stationær pr. definition.

Stationaritetstest

Hvis densitetsfunktionen ikke er kendt, hvilket ofte er tilfældet, er det nyttigt at kunne teste, om serien er stationær eller ej. Der er to typer, med stationaritet som nulhypotesen eller den alternative hypotese:

Stationaritetstest

Nulhypotesen er stationaritet.

• KPSS test

• Leybourne og McCabe test

Enhedens rodtest

Nulhypotesen er ikke-stationaritet.

• Dickey Fuller  (da)

• Testforøget Dickey Fuller  (in) (ADF)

• Phillips-Perron test (PP)

• DF-GLS (eller ERS) test

Referencer

• Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press
• Lardic, Mignon (2002), Økonometriske makroøkonomiske og økonomiske tidsserier, Economica , Paris
• Maddala, Kim (1998), Unit roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge University Press

1. Kwiatkowski, D., PCB Phillips, P. Schmidt og Y. Shin (1992), ”Testing the Null Hypothesis of Stationarity against the Alternative of a Unit Root”, Journal of Econometrics , 54, 159-178.
2. Leybourne, SJ og BPM McCabe (1994), "A Consistent Test for a Unit Root", Journal of Business and Economic Statistics , 12, 157-166
3. Dickey, DA og WA Fuller (1979), "Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root," Journal of the American Statistical Association , 74, s. 427-431
4. Sagde E. og David A. Dickey (1984), 'Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order', Biometrika , 71, s 599–607
5. Phillips, Perron (1988) Test for en enhedsrod i en tidsserieregression, Biometrika , 75, s. 335-346
6. Elliott, G., Rothenberg, T., og Stock, J. (1996). Effektive tests for en autoregressiv enhedsrod. Econometrica , 64, 813-836

Eksternt link

• Eksempler på ikke-stationære tidsserier

Se også

• Økonometri
• Stationær proces
• Tidsserier
• Statistisk

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">