Borel-Cantelli sætning
Den Borel-Cantelli eller lemma af Borel-Cantelli , opkaldt efter matematikeren Emile Borel og Francesco Paolo Cantelli , er et resultat af måling teori udbredt i sandsynlighedsteori .
Introduktion
I sandsynlighedsteori vedrører denne sætning en række begivenheder og siger, at:
Borel-Cantelli Lemma - Hvis summen af sandsynlighederne for en række begivenheder i et sandsynlighedsrum er endelig, så er sandsynligheden for, at en uendelighed af dem forekommer samtidigt, nul.
(PÅikke)ikke≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}} (Ω,PÅ,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}
Den uafhængighed af hændelser er ikke nødvendig. Der betragtes for eksempel en sekvens af tilfældige variable , således at for alle ,
(xikke)ikke≥1{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 1}}ikke≥1{\ displaystyle n \ geq 1}
P(xikke=0)=1ikke2.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = 0) = {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}
Summen af er endelig, så ifølge Borel-Cantelli lemma er sandsynligheden for en uendelig række af indekser 0. Med andre ord er sandsynligheden 1 ikke-nul fra en bestemt (tilfældig) rang. Vi har derfor anvendt Borel-Cantelli lemmaet til rækkefølgen af begivenheder defineret af
P(xikke=0){\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = 0)}xikke=0{\ displaystyle X_ {n} = 0}ikke{\ displaystyle n}xikke{\ displaystyle X_ {n}}ikke0.{\ displaystyle n_ {0}.}(PÅikke)ikke≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}
PÅikke={xikke+1=0}={ω∈Ω | xikke+1(ω)=0}{\ displaystyle A_ {n} = \ {X_ {n + 1} = 0 \} = \ {\ omega \ in \ Omega \ | \ X_ {n + 1} (\ omega) = 0 \}}.
Øvre grænse for sæt
Definition - Den øvre grænse for en sekvens ( A n ) n ≥0 af dele af et sæt er det sæt af elementer af sådan, at påstanden holder for en uendelig række af indekser .
Ω{\ displaystyle \ Omega}lim supikkePÅikke{\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n}}ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}{ω∈PÅk}{\ displaystyle \ {\ omega \ i A_ {k} \}}k≥0{\ displaystyle k \ geq 0}
Med andre ord kan vi sige, at hvis og kun hvis sættet er uendeligt eller ellers ubegrænset . En ækvivalent formulering er som følger: for alt kan vi finde sådan, at . Denne sidstnævnte formulering giver en bekvem skrivning af den øvre grænse for sæt ved hjælp af elementære sætoperationer:
ω∈lim supikkePÅikke{\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}{k≥0 | ω∈PÅk}{\ displaystyle \ {k \ geq 0 \ \ vert \ \ omega \ i A_ {k} \}}ikke≥0{\ displaystyle n \ geq 0}k≥ikke{\ displaystyle k \ geq n}ω∈PÅk{\ displaystyle \ omega \ i A_ {k}}
lim supikkePÅikke=⋂ikke≥0(⋃k≥ikkePÅk).{\ displaystyle \ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 0} \, \ left (\ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k} \ right).}
Under indflydelse af den angelsaksiske terminologi vil vi også nogle gange sige, at hvis og kun hvis " uendeligt ofte " eller " uendeligt ofte ", deraf den notation, der findes i visse værker:
ω∈lim supikkePÅikke{\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}{ω∈PÅk}{\ displaystyle \ {\ omega \ i A_ {k} \}}
P(lim supikkePÅikke)=P(PÅikkeio).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = \ mathbb {P} \ left (A_ {n} \ quad {\ text {io}} \ right). }
Endelig bemærk at definitionen " hvis og kun hvis hører til en uendelig " kan være vildledende: hvis for eksempel alle delene er ens, kan det være, der hører til for en uendelig række af indekser , og det kan derfor være, der hører til uden for alt det, der hører til en uendelighed af (da der i bunden kun er én ).
ω∈lim supikkePÅikke{\ displaystyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}} ω{\ displaystyle \ omega} PÅk{\ displaystyle A_ {k}}PÅk{\ displaystyle A_ {k}}ω{\ displaystyle \ omega}PÅk{\ displaystyle A_ {k}}k{\ displaystyle k}ω{\ displaystyle \ omega}lim supikkePÅikke,{\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n},}ω{\ displaystyle \ omega}PÅk{\ displaystyle A_ {k}}PÅk{\ displaystyle A_ {k}}
Borel-Cantelli sætning (målingsteori)
For et generelt målt rum har Borel-Cantelli-lemmaet følgende form:
(x,PÅ,μ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}
Borel-Cantelli-sætning - Lad en sekvens komme ind . Ja
(PÅikke)ikke≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}PÅ{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
∑ikke≥0μ(PÅikke)<+∞,{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) <+ \ infty,}
så
μ(lim supikkePÅikke)=0.{\ displaystyle \ mu (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 0.}
Demonstration
Selvom det betyder at erstatte X med foreningen af A n , kan vi uden tab af generalitet antage , at målingen μ er endelig . Lad os stille
Bikke=⋃k≥ikkePÅk,{\ displaystyle B_ {n} = \ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k},}og meddele, at B n er en faldende sekvens (for optagelse) af elementer af fordi derfor (ved endelighed af μ )
PÅ,{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}Bikke=PÅikke∪Bikke+1{\ displaystyle B_ {n} = A_ {n} \ cup B_ {n + 1}}
μ(⋂ikke≥0Bikke)=limikke μ(Bikke).{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {n \ geq 0} B_ {n} \ right) = \ lim _ {n} \ \ mu (B_ {n}).}Desuden μ ( B n ) forøges ved
rikke=∑k≥ikkeμ(PÅk),{\ displaystyle r_ {n} = \ sum _ {k \ geq n} \ mu (A_ {k}),}hvilket er resten af en konvergent serie , altså
limikke μ(Bikke)=0.{\ displaystyle \ lim _ {n} \ \ mu (B_ {n}) = 0.}Som
lim supikkePÅikke=⋂ikke≥0Bikke,{\ displaystyle \ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 0} B_ {n},}det konkluderer vi
μ(lim supikkePÅikke)=0.{\ displaystyle \ mu \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = 0.}
Borel-Cantelli lemma (sandsynligheder)
Et sandsynligt rum er et specielt tilfælde af et målt rum, idet det yderligere antages, at det (positive) mål μ i det generelle sætning ikke antages at være endeligt a priori . Især Borel-Cantelli-lemmaet, der er givet i indledningen, er en svækket form af Borel-Cantelli-sætningen, der blev givet i det foregående afsnit. Måske er Borel-Cantellis lemma sandsynligvis mere populær, hvor det er afgørende i Kolmogorovs bevis for den stærke lov af store antal (hvis kun et eksempel skal gives). I den sandsynlige ramme kunne en mere formel formulering af lemmaet givet på intuitivt sprog i indledningen derfor skrives:
(Ω,PÅ,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ Omega \ right) = 1}
Borel-Cantelli lemma - Lad os i et sandsynlighedsrum overveje en række af elementer af . Ja
(Ω,PÅ,P),{\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right),}(PÅikke)ikke≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}PÅ{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
∑ikke≥0P(PÅikke)<+∞,{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mathbb {P} (A_ {n}) <+ \ infty,}
så
P(lim supikkePÅikke)=0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 0.}
Borels lov om nul-en
Borel-Cantellis lemma bør ikke forveksles med Borels lov om nul-en , undertiden kaldet Borel-Cantellis andet lemma :
Borels lov om nul-en - Hvis begivenhederne er uafhængige , er den lig med 0 eller 1 afhængigt af om den generelle termserie er konvergerende eller divergerende.
PÅikke{\ displaystyle A_ {n}}P(lim supikkePÅikke){\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n})}P(PÅikke){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}
Borels lov om nul-en viser især, at hypotesen om Borel-Cantelli-lemmaet under ingen omstændigheder kan svækkes af . Faktisk kan vi have samtidig på den ene side og på den anden side (uafhængighed af og ), så vi kan have samtidig:
∑ikke≥0μ(PÅikke)<+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) <+ \ infty}limikkeμ(PÅikke)=0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {n} \ mu (A_ {n}) = 0}limikkeP(PÅikke)=0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) = 0}PÅikke{\ displaystyle A_ {n}}∑ikke≥0P(PÅikke)=+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mathbb {P} (A_ {n}) = + \ infty}
limikkeP(PÅikke)=0ogP(lim supikkePÅikke)=1.{\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) = 0 \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 1.}
Noter og referencer
-
Faktisk er det værd at se artiklen Riemanns zeta-funktion , for eksempel afsnittet Værdier for zeta-funktionen for et heltal større end 1 .ζ(2)=π26,{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}},}
-
Émile Borel , " De tællbare sandsynligheder og deres aritmetiske anvendelser ", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , bind. 27, nr . 1,December 1909, s. 247-271 ( ISSN 0009-725X og 1973-4409 , DOI 10.1007 / BF03019651 ). Borels lov om nul-en blev offentliggjort med henblik på at det ser ud til applikationer til egenskaberne af fortsatte fraktioner . Lidt senere ville Cantelli have bemærket og brugt det faktum, at antagelsen om uafhængighed for en af de to sanser er overflødig, hvilket førte til Borel-Cantelli-lemmaet (der skal bekræftes).
Se også