Cevas sætning

I matematik er Cevas sætning en sætning af plan affin geometri, der giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at tre linjer, der passerer gennem de tre hjørner i en trekant, er parallelle eller samtidige . Det fortolkes naturligt i euklidisk geometri og generaliserer i projektiv geometri .

Det skylder sit navn den italienske matematiker Giovanni Ceva, der et par år efter den spanske matematiker José Zaragoza angiver og demonstrerer en version af den i De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio i 1678. Det var dog allerede kendt på ende af det XI th århundrede fra Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud , landmåler og konge af Zaragoza . Han demonstrerer det i sin bog om perfektion ( Kitab al-Istikmal , på arabisk : كتاب الإستكمال ), kendt i sin tid, og hvis tekst blev genopdaget i 1985.

Euklidisk geometri

Dette afsnit præsenterer et særligt tilfælde af Cevas sætning, hvor de tre linjer, der passerer gennem hver af hjørnerne i trekanten, er indre for den. Erklæringen er forenklet: disse tre linjer kan ikke være parallelle, og det er tilstrækkeligt at tale om længderelationer.

Erklæring med afstande

Teorem - Lad ABC være en trekant, lad D , E og F være tre punkter, der adskiller sig fra hjørnerne og tilhører henholdsvis segmenterne [ BC ], [ CA ] og [ AB ]. Linjerne ( AD ), ( BE ) og ( CF ) er samtidige, hvis og kun hvis

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ times {\ frac {EC} {EA}} \ times {\ frac {FA} {FB}} = 1.}

I Cévienne-serien af en trekant kalder vi en linje, der passerer gennem et toppunkt og møder det modsatte segment. Her er punkterne D , E og F på siderne.

Vi vil demonstrere, der kun involverer forestillinger om proportionalitet af længder og områder, værktøjer, der allerede var tilgængelige på tidspunktet for Euclid .

Demonstration

Vi angiver i det følgende området med trekanten ABC, og vi beviser egenskaben i to trin. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {ABC}}$

Hvis linjerne er samtidige i M, er produktet af forholdet lig med 1. Da trekanter MDB og MDC har samme højde, er deres arealer proportionale med baserne DB og DC . På samme måde for trekanterne ADB og ADC , derefter med forskellen for trekanterne MAB og MAC . Vi opnår derfor ligestilling

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MAB}} {{\ mathcal {A}} _ {MAC}}} = {\ frac {DB} {DC}}}

Ved en lignende argumentation har vi og

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MBC}} {{\ mathcal {A}} _ {MBA}}} = {\ frac {EC} {EA}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} _ {MCA}} {{\ mathcal {A}} _ {MCB}}} = {\ frac {FA} {FB}}}

Produktet af de tre forhold er faktisk lig med 1. Hvis produktet af forholdet er 1, er linjerne samtidige Linjerne er Céviennes, linierne ( AD ) og ( BE ) skærer hinanden i M, og linjen ( CM ) skærer [ AB ] i F ' . Ifølge den tidligere begrundelse har vi gjort det

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ times {\ frac {EC} {EA}} \ times {\ frac {F'A} {F'B}} = 1}

Som det kommer ved forenkling det . Nu er der kun ét punkt på et segment, der deler den i henhold til en given rapport er F . Derfor F = F ' og højre ( CF ) kræver også M .

{\ displaystyle {\ frac {DB} {DC}} \ times {\ frac {EC} {EA}} \ times {\ frac {FA} {FB}} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {FA} {FB}} = {\ frac {F'A} {F'B}}}

Erklæring i trigonometrisk form

Vi kan ud fra Cevas sætning ved hjælp af loven om sines udlede en trigonometrisk version af den.

{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ widehat {BAD}}} {\ sin {\ widehat {CAD}}}} \ times {\ frac {\ sin {\ widehat {ACF}}} {\ sin {\ widehat {BCF}}}} \ times {\ frac {\ sin {\ widehat {CBE}}} {\ sin {\ widehat {ABE}}}} = 1.}

Affine geometri

Det viser sig, at Cevas sætning (den første version) er en erklæring om affin geometri , dvs. der er ikke behov for at tale om længde, ortogonalitet eller vinkel, selvom sætningen naturligvis forbliver gyldig a fortiori i denne sammenhæng. Til det skal vi opgive længderne og afgive en erklæring med hensyn til forholdet mellem algebraiske målinger . Et algebraisk mål er intuitivt i euklidisk geometri en længde med et tegn, der afhænger af en vilkårlig orientering på en given linje. Men vi kan definere på en rent affin måde uden at tale om hverken længde eller orientering, hvor følgende algebraiske måleforhold for tre justerede punkter P , Q , R , Q og R adskiller sig fra P , nemlig:

{\ displaystyle {{\ overline {PR}} \ over {\ overline {PQ}}}}

Det drejer sig om forholdet mellem den eneste homotitet i centrum P, der omdanner Q til R eller på en ækvivalent måde af den eneste skalarverificering:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {PR}} = {{\ overline {PR}} \ over {\ overline {PQ}}} \ cdot {\ overrightarrow {PQ}}}

Sætningen af sætningen, der følger, er derfor faktisk en erklæring om affin geometri.

Teoremet

Sætning - Lad ABC være en trekant, lad D , E og F være tre punkter, der adskiller sig fra hjørnerne og tilhører henholdsvis linjerne ( BC ), ( CA ) og ( AB ). Linjerne ( AD ), ( BE ) og ( CF ) er samtidige eller parallelle, hvis og kun hvis

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} { \ overline {FB}}} = - 1}

Demonstration

Der er mange beviser for Cevas sætning i affin geometri. I stedet for at tilpasse det tidligere bevis, som ville kræve at indføre en forestilling om algebraisk område, bruger vi direkte barycenteret og appellerer til følgende egenskaber.

Hvis M er barycenter for ${( A , α ); ( B , β )}$ adskiller sig fra A og B derefter . ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {MB}} {\ overline {MA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$
Lad M være barycenter for ${( A , α ); ( B , β ); ( C , γ )}$ , M ikke placeret på [ AB ], [ BC ] eller [ CA ]. ( AM ) mødes ( BC ) i D, hvis og kun hvis . ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}$

Demonstrationen finder sted i tre faser.

Hvis linjerne ( AD ), ( BE ), ( CF ) er parallelle, er produktet af de tre forhold –1 Anvendelsen af Thales 'sætning på den ene side i trekanten ( CBE ), med ( DA ) parallel med ( BE ), på den anden side i trekanten ( BCF ), med ( DA ) parallelt med ( CF ) fører til at sige at :

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = {\ frac {\ overline {BC}} {\ overline {BD}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} = {\ frac {\ overline {CD}} {\ overline {CB}}}}

Det er tilstrækkeligt at erstatte for at vise, at produktet af de tre forhold er lig med –1.Hvis linjerne er samtidige, er produktet af de tre forhold -1 Vi betegne som M i skæringspunktet punkt. Det er ikke placeret på [ AB ], hverken på [ BC ] eller på [ CA ]. Det er barycenter af

{( A , α ); ( B , β ); ( C , γ )}

. ( AM ) møder ( BC ) i D derfor .

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}

Ved en lignende begrundelse opnår vi og

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ gamma}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} = - {\ frac {\ beta} {\ alpha}}}

Produktet af de tre forhold er derefter lig med –1. Hvis produktet af de tre forhold er –1, er linjerne parallelle eller samtidige Hvis de tre linjer er parallelle, er der intet at bevise. Ellers er mindst to secant, man kan uden at miste generaliteten, antag at de er linjerne ( AD ) og ( BE ) secant i M, der ikke er placeret på [ AB ], [ BC ] eller [ CA ] og barycenter af

{( A , a ); ( B , β ); ( C , γ )}

. Når ( AM ) møder ( BC ) i D og ( BM ) møder ( CA ) i E , kan vi skrive og

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} = - {\ frac {\ gamma} {\ beta}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ alpha} {\ gamma}}}

Endelig har vi det

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = {\ frac {\ gamma} {\ beta}} \ times {\ frac {\ alpha} {\ gamma}} = {\ frac {\ overline { DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}}}

Nu derfor

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} \ times {\ frac {\ overline { FA}} {\ overline {FB}}} = - 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} \ times {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} = - {\ frac {\ overline { FB}} {\ overline {FA}}}}

Så dette sikrer, at retten ( CM ) ejendom skærer den rette linje ( AB ) i F .

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = - {\ frac {\ overline {FB}} {\ overline {FA}}}}

De tre linjer er faktisk sammenfaldende i M.

Vi observerer en formel sammenhæng mellem dette bevis og det af områderne: M er barycenter for punkterne A , B og C ved at tage som koefficienter områderne for de tre trekanter MAB , MBC og MCA for det første bevis.

Cevas sætning og Menelaus 'sætning

Cevas sætning er tæt knyttet til Menelaus 'sætning, som giver en meget lignende tilstand (det samme produkt skal være lig med 1), således at tre punkter på siderne (som linjer) af en trekant er justeret.

Konfigurationen af Ménélaüs 'sætning er faktisk dobbelt i forhold til Cevas sætning: dualiteten får punkt og linje til at stemme overens og får sin fulde betydning i projektiv geometri , dualiteten af en trekant er en trekant, hvis hjørner og hjørner er blevet udvekslet sider. . De to punkter i Céviennes (passerer gennem hjørnerne) er punkter på siderne af den dobbelte trekant. Céviennes-konkurrencens tilstand bliver en betingelse for tilpasning af disse punkter.

På den anden side viser vi Cevas sætning ved at bruge Menelaus 'sætning to gange. Dette er en af konsekvenserne af sætningens ækvivalens, og vi antager yderligere de tre samtidige linjer. Med de samme notationer som ovenfor anvender vi Menelaus 'sætning på trekanter ABD , med de tre punkter, der falder ind i siderne F , M og C og på trekanten ADC med B , M og E , og vi opnår Cevas sætning ved kvotient.

Endelig går vi fra Cevas sætning til Menelaüs sætning ved en harmonisk opdeling . I trekanten ABC er punkterne D , E og F på henholdsvis siderne ( BC ), ( AC ) og ( AB ), således at linjerne ( AD ), ( CF ) og ( BE ) er samtidige og linjen ( FG ) ikke er parallel med siden ( BC ), punktet D ' er derefter skæringspunktet mellem disse to linjer, det vil sige at D' er på ( BC ) og D ' , F og G er justeret; så er de fire punkter [ D ' , D , B , C ] i harmonisk division:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} & = & - 1 & \ qquad {\ text {(Ceva)}} \\ [3pt] {\ frac {\ overline {D'B}} {\ overline {D'C}}} {\ frac {\ overline {EC}} {\ overline {EA}}} {\ frac {\ overline {FA}} {\ overline {FB}}} & = & 1 & \ qquad {\ text {(Ménélaüs)}} \\ [3pt] {\ frac {\ overline {D'B}} {\ overline {D'C}}}: {\ frac {\ overline {DB}} {\ overline {DC}}} & = & - 1 & \ end {align}}}$

( AD ) er polariteten af D ' med hensyn til ( AB ) og ( AC )

Vi går ved et simpelt produkt eller kvotient fra to af disse resultater til det tredje (se artiklen harmonisk division for definitionen af polar og en demonstration af den anvendte egenskab, det er det, der gør det muligt at konstruere polar ved hjælp af harmonisk bjælker). En anden måde at demonstrere denne egenskab på er at bemærke, at de fire linjer ( AB ), ( BE ), ( CF ) og ( CA ) er siderne af en komplet firkant med hjørnerne A , F , M , E , B og C : diagonal [ BC ] divideres derfor med de to diagonaler ( EF ) og ( AM ) i henhold til en harmonisk opdeling.

I projektiv geometri

I det projicerende plan er alle linjer sekante. Vi kan bygge det projicerende plan ved at tilføje en lige linje, kaldet en lige linje ved uendelig, til affinplanet. Linjerne i affinplanet i samme retning er sekante på det samme punkt (undertiden kaldet det ukorrekte punkt) på denne linje ved uendelig. Det bliver unødvendigt at skelne mellem to tilfælde i sætningen. På den anden side er forholdet mellem algebraiske mål ikke projicerende forestillinger. Vi kan tale om et krydsforhold : i konstruktionen af det projicerende plan som afsluttet med affinplanet er krydsforholdet [ A , B , C , D ] lig med forholdet mellem det algebraiske mål for [ CA ] og det for [ CB ] når D er ved uendelig. Vi kan også give en version af sætningen i homogene koordinater, som er udvidelsen af de barycentriske koordinater til det projicerende plan.

Eksempler på anvendelse

Cevas sætning giver os mulighed for at bevise mange egenskaber ved samtidige linjer.

Vi kan anvende det i et simpelt tilfælde som medianernes skæringspunkt . I dette tilfælde er D midtpunktet for [ BC ] og derfor BD = DC . Ligeledes for de andre punkter. Alle forhold, der er involveret i sætningen, er værd 1, og derfor også deres produkt, hvilket beviser, at medianerne i en trekant er samtidige.
Den isogonale kombinerede og isotomik er to eksempler på anvendelse af Cevas sætning.
Linjerne, der forbinder hjørnerne i en trekant med kontaktpunkterne for den indskrevne cirkel, er samtidige med punktet Gergonne i denne trekant.
Linjerne, der forbinder hvert toppunkt i en trekant med kontaktpunktet for en cirkel, der er beskrevet med den side, der er modsat dette toppunkt, er samtidige ved Nagel-punktet i denne trekant.

Noter og referencer

se referencer til artiklen Giovanni Ceva (se Giovanni Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio )
(i) januar Hogendijk , "Al-Mutaman Ibn Hud, 11Den århundrede konge af Zaragoza og strålende matematiker," i Historia Mathematica , Vol. 22, 1995, s. 1-18
(i) JP Hogendijk , "Opdagelsen af en 11. århundrede geometrisk compilation: Den Istikmal af Mu'taman ibn Yusuf al-Hud, konge af Zaragoza," i Historia Mathematica , Vol. 13, 1986, s. 43-52
Denne definition er ikke universel, det er i nogle værker et segment, og i andre møder en Cévienne mere generelt linjen, der bærer den modsatte side, se for eksempel Coxeter og Greitzer, første kapitel og ordliste.
relateret til området for en given trekant bruger vi determinanten , se for eksempel (en) HSM Coxeter , Introduktion til geometri [ detaljerede udgaver ], kapitel om affin geometri.

Tillæg

Bibliografi

HSM Coxeter og SL Greitzer Geometry revisited , The mathematical association of America (1967), fransk oversættelse Redécouvrons la géometry , Dunod Paris (1971).
Jean Fresnel, moderne metoder i geometri , Paris, Hermann ,1996, 408 s. ( ISBN 2-7056-1437-0 ).
Jean-Denis Eiden, Klassisk analytisk geometri , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-916352-08-4 )
Bruno Ingrao, Affine, Euclidean og Projective Conics , Calvage & Mounet, 2011 ( ISBN 978-2-916352-12-1 )
Yves Ladegaillerie, geometri: affin, projektiv, euklidisk og anallagmatisk , Paris, ellipser ,2003, 515 s. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
Michel Chasles Historisk oversigt over oprindelsen og udviklingen af metoder inden for geometri, især dem, der vedrører moderne geometri Bruxelles Hayez (1837), især note VII s. 294 om de linea rectis .. de Ceva, tilgængelig med google bøger .

Relaterede artikler

Cévienne
Giovanni Ceva
Symédiane
Menelaus 'sætning
Rouths sætning, hvoraf Ceva kan ses som et specielt tilfælde
Van Aubels sætning