Harnacks sætning
I ægte algebraisk geometri giver Harnacks sætning det mulige antal forbundne komponenter, som en ægte algebraisk kurve kan have , afhængigt af kurvens grad (eller køn ). For en algebraisk kurve af graden m af den reelle projektive plan, antallet c er af komponenter afgrænset ved:
Desuden findes der kurver, der har nøjagtigt dette antal komponenter, for ethvert antal, der tilfredsstiller disse uligheder.
Denne sætning er grundlaget for Hilberts sekstende problem .
Det maksimale antal ( ) er 1 mere end slægten for en ikke-ental kurve af grad m .
En kurve, der opnår det maksimalt mulige antal reelle komponenter for sin grad kaldes en M-kurve (M for "maksimum") - for eksempel en elliptisk kurve med to tilsluttede komponenter eller Trott- kurven , en kvartkurve med fire komponenter. relaterede, er eksempler på M-kurver.
-
Den elliptiske kurve (glat af grad 3) til venstre er en M-kurve, fordi den har det maksimale antal (2) tilsluttede komponenter, mens den elliptiske kurve til højre kun har en komponent.
-
Trott-kurven, vist her med 7 af dens bitangenter, er en kvartær M-kurve (dvs. af grad 4), fordi den når det maksimale (4) af tilsluttede komponenter i en kurve af denne grad.
Referencer
- CGA Harnack , Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven , Math. Ann. 10 (1876), 189-199.
- G. Wilson, Hilberts sekstende problem , Topology 17 (1978), 53-74
- J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy , Real Algebraic Geometry . Serie: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern. Surveys in Mathematics, Vol. 36, Springer, 1998.
- R. Benedetti, J.-J. Risler , reelle algebraiske og semi-algebraiske sæt . Matematiske nyheder, Hermann, 1990.
- (fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Harnacks kurve-sætning " ( se listen over forfattere ) .