Stewarts sætning

I euklidisk geometri er Stewarts sætning en generalisering af median sætningen på grund af matematikeren Matthew Stewart i 1746.

Stater

Sætning - Lad $p være$ en Cévienne af en trekant $ABC, der$ deler siden $a$ i $X$ i to dele $x$ og $y$ . Vi har derefter "Stewart-forholdet":

{\ displaystyle a \ cdot (xy + p ^ {2}) = x \ cdot b ^ {2} + y \ cdot c ^ {2}}

{\ displaystyle \ cos ({\ widehat {BXA}}) = {\ frac {x ^ {2} + p ^ {2} -c ^ {2}} {2xp}}, \ \ cos ({\ widehat { CXA)}} = {\ frac {y ^ {2} + p ^ {2} -b ^ {2}} {2yp}}}

Da og er yderligere, så er summen af deres cosinus nul, derfor successivt: ${\ displaystyle {\ widehat {BXA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {CXA}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {x ^ {2} + p ^ {2} -c ^ {2}} {2xp}} + {\ frac {y ^ {2} + p ^ {2 } -b ^ {2}} {2yp}} & = 0 \\ 2yp \ cdot (x ^ {2} + p ^ {2} -c ^ {2}) + 2xp \ cdot (y ^ {2} + p ^ {2} -b ^ {2}) & = 0 \\ 2ypx ^ {2} + 2yp ^ {3} + 2xpy ^ {2} + 2xp ^ {3} & = 2ypc ^ {2} + 2xpb ^ {2} \\ x ^ {2} y + yp ^ {2} + xy ^ {2} + xp ^ {2} & = yc ^ {2} + xb ^ {2} \\ a \ cdot (xy + p ^ {2}) & = yc ^ {2} + xb ^ {2} \ slut {justeret}}}

Givet en rettet linje, der omfatter tre punkter og et punkt , er Stewart-forholdet skrevet: $ABC$ $M$

{\ displaystyle {MA} ^ {2}. {\ overline {BC}} + {MB} ^ {2}. {\ overline {CA}} + {MC} ^ {2}. {\ overline {AB}} + {\ overline {AB}}. {\ overline {BC}}. {\ overline {CA}} = 0}

Den Holditch sætning , som er en generalisering.

(i) Matthæus Stewart, " nogle generelle Theorems af betydelig brug i højere dele af matematik " , Edinburgh Sands, Murray og Cochran ,1746Proposition II
F. Brachet og J. Dumarqué, Geometry detaljer: Supplering, Transformations, Conics , Librairie Delagrave,1939, Revisioner og tilføjelser, kap. V ("metriske relationer").