Teorem for sjældenhed af primtal

The prime number rarefaction theorem er et resultat demonstreret af Adrien-Marie Legendre i 1808 . Det er i dag en følge af primærtalssætningen , formodet af Gauss og Legendre i 1790'erne og demonstreret et århundrede senere.

Resultatet siger, at den naturlige densitet af sættet med primtal er nul, det vil sige antallet af primtal mindre end n , $π$ ( n ) er ubetydelig før n når n går til uendelig, med andre ord at

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {\ pi (n)} {n}} \ = \ 0.}

Det første bevis bruger sigteknikker baseret på princippet om inklusion-eksklusion . Fortolkningen er, at når n vokser, har andelen af primtal blandt de naturlige tal mindre end n tendens til nul, deraf udtrykket "sjældenhed af primtal".

Oversigt over elementært bevis

Vi betegner det produkt af de første primtal . ${\ displaystyle P \ left (p_ {n} \ right) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}$ $ikke$

Man beregner på den ene side Euler-indikatoren for ${\ displaystyle P \ left (p_ {n} \ right)}$ :

Lemma : Heltalene for intervallet, der ikke er multipla af nogen af, er nummererede , så deres andel er . ${\ displaystyle \ left [1, P \ left (p_ {n} \ right) \ right]}$ $p_ {i}$ ${\ displaystyle (p_ {1} -1) (p_ {2} -1) \ cdots (p_ {n} -1)}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ dots \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {n}}} \ right)}$

Vi viser på den anden side, at (ved divergens af rækken af inverser af primtal eller, mere direkte, ved at bruge udtrykket af summen af en geometrisk serie af forholdet 1 / p k <1 og divergensen af serien harmonisk ) . ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ dots \ left (1 - {\ frac {1} {p_ { n}}} \ højre) = 0}$

Et lille ekstra trick giver dig mulighed for at udlede det endelige resultat.

Noter og referencer

Jean-Paul Delahaye , vidunderlige primtal: Rejsen til hjertet af aritmetik ,2000[ detalje af udgaven ].
(da) Paulo Ribenboim , The Book of Prime Number Records , Springer ,1988( læs online ) , s. 159.
Vi kan for eksempel bruge princippet om inklusion-eksklusion eller, ligesom Delahaye 2000 , den kinesiske restsætning .
Se “ Euleriansk produkt ”.

Relaterede artikler