Gylden trekant (geometri)

En gylden trekant eller sublim trekant er en ligebenet trekant , hvor forholdet mellem længden af den dobbelte side og længden af basissiden er det gyldne forhold : $\ varphi$

{\ displaystyle {a \ over b} = \ varphi = {{1 + {\ sqrt {5}}} \ over 2} \ ca. 1.618 ~ 034.}

(Se 1. figur.)

Ordforrådet er ikke stabiliseret; Faktisk betragter nogle forfattere også som "gyldne trekanter" de trekanter, hvor dette forhold er (Se afsnit "Oversigtstabel" ). ${\ displaystyle {1 \ over \ varphi}.}$

Gyldne trekantvinkler

I det 2 nd tal, BXC er en gylden trekant.

Vinklen BCX ved toppunktet C har som mål:

{\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {b \ over {2a}} = 2 \ arcsin {1 \ over {2 \ varphi}} = 2 \ arcsin {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4 } = {\ pi \ over 5} ~ rad = 36 ^ {\ circ}.}

Så den gyldne trekant er en akut (ensartet) trekant.

Som summen af målingerne af vinklerne i trekanten BXC gør , er basisvinklerne CBX og CXB hver: ${\ displaystyle \ pi ~ rad}$

{\ displaystyle \ beta = {{\ pi - {\ pi \ over 5}} \ over 2} = {2 \ pi \ over 5} ~ rad = 72 ^ {\ circ}.}

Bemærk :

{\ displaystyle \ beta = \ arccos {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4} = {2 \ pi \ over 5} ~ rad = 72 ^ {\ circ}.}

Den gyldne trekant er den eneste trekant, hvis vinkelmålinger er i forhold 2, 2, 1 (72 °, 72 °, 36 °).

Forekomster

Grenene på det almindelige pentagram er gyldne trekanter (se 3. figur).
I den normale decagon , når vi forbinder de tilstødende hjørner til midten, får vi gyldne trekanter.
De tilings af Penrose involvere gyldne trekanter.

Golden Gnomon

En gnomon guld- eller sølvtrekant er en ligebenet trekant stump, hvor forholdet mellem længden af dobbeltsidet og længden af basissiden er det omvendte af antallet af guld : ${\ displaystyle {1 \ over \ varphi}}$

{\ displaystyle {a '\ over b'} = {1 \ over \ varphi} = {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 2} \ ca. 0,618 ~ 034.}

Ordforrådet er ikke stabiliseret; Faktisk betragter nogle forfattere også de gyldne gnomoner som "gyldne trekanter". (Se § "Oversigtstabel" .)

Gyldne gnomon vinkler

I 2 e figur AXC er en guld gnomon. (Længderne AX og CX er værd , og længden AC er værd .) ${\ displaystyle a '= a = \ varphi ~}$ ${\ displaystyle b '= \ varphi ^ {2}}$

Vinklen AXC ved toppunktet X har som mål:

{\ displaystyle \ theta '= 2 \ arcsin {b' \ over {2a '}} = {\ biggl (} 2 \ arcsin {{\ varphi ^ {2}} \ over {2 \ varphi}} {\ biggr) } = 2 \ arcsin {\ varphi \ over 2} = 2 \ arcsin {{1 + {\ sqrt {5}}} \ over 4} = {3 \ pi \ over 5} ~ rad = 108 ^ {\ circ} .}

Så den gyldne gnomon er en stump trekant.

{\ displaystyle (}

Bemærk :

{\ displaystyle \ theta '= \ arccos {{1 - {\ sqrt {5}}} \ over 4} = {3 \ pi \ over 5} ~ rad = 108 ^ {\ circ}.)}

Som summen af målingerne af vinklerne i trekanten AXC gør , er basisvinklerne CAX og ACX hver: ${\ displaystyle \ pi ~ rad}$

{\ displaystyle \ beta '= \ theta = {\ pi - {3 \ pi \ over 5} \ over 2} = {\ pi \ over 5} ~ rad = 36 ^ {\ circ}.}

Bemærk :

{\ displaystyle \ beta '= \ theta = \ arccos {{1 + {\ sqrt {5}}} \ over 4} = {\ pi \ over 5} ~ rad = 36 ^ {\ circ}.}

Den gyldne gnomon er den eneste trekant, hvis vinkelmålinger er i forhold 1, 1, 3 (36 °, 36 °, 108 °).

Oversigtstabel

Definitioner af denne artikel	Alternative definitioner	${a \ over b}$	Vinkel øverst	Grundlæggende lige vinkler
Gylden trekant Sublim trekant	Akut gylden trekant	$\ varphi$	36 °	72 °
Golden Gnomon Silver Triangle	Stump gylden trekant	${\ displaystyle 1 \ over \ varphi}$	108 °	36 °

Gylden trekant og gylden gnomon tilknyttet

Udskæringer

Figuren overfor viser, at:

Ved at skære en af dens basisvinkler i 2 lige store vinkler kan vi skære en gylden trekant i en gylden trekant og en gylden gnomon.
Ved at skære vinklen øverst i 2 vinkler fra enkelt til dobbelt, kan vi skære en gylden gnomon i en gylden gnomon og en gylden trekant.

Belægning

Vi kan bane en regelmæssig femkant med to gyldne gnomoner og en gylden trekant (se figuren overfor).
Disse ligebenede trekanter kan bruges til at fremstille Penrose fliser .

Logaritmisk spiral

Den gyldne trekant kan bruges til at placere bestemte punkter i en logaritmisk spiral . Ved at halvere en vinkel ved bunden af en gylden trekant får vi et nyt punkt, der igen danner en ny gylden trekant. Ved at gentage denne proces opnår vi punkter, der gør det muligt at tegne en logaritmisk spiral frihånds (se sidste figur).

Noter og referencer

(en) Kimberly Elam , Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition , New York, Princeton Architectural Press,2001, 107 s. ( ISBN 1-56898-249-6 , læs online )
For eksempel Jean-Claude Thiénard , Maryse Cheymol , Maryse Combrade og Louis-Marie Bonneval , Matematik andet ( læs online ) , s. 100
(in) Eric W. Weisstein , " Golden Triangle " , på mathworld.wolfram.com (adgang 23. december 2019 )
(in) " Tilings Encyclopedia "
(i) Arthur Livio , Begreber og billeder: Visuel Matematik , Boston, Birkhauser Boston,1992( ISBN 0-8176-3620-X )
(in) Eric W. Weisstein , " Golden Gnomon " på mathworld.wolfram.com (adgang til 26. december 2019 )
(i) HE Huntley , Den Guddommelige Proportion: En undersøgelse i Matematisk Beauty , New York, Dover Publications,1970, 186 s. ( ISBN 0-486-22254-3 , læs online )

Se også

Oversættelseskreditter

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Gylden trekant (matematik) " ( se forfatterlisten ) .

Relaterede artikler

Keplers trekant
Heptagonal trekant
Gyldent rektangel
Guld diamant (in)
Konstruktion af den almindelige femkant med en lineal og et kompas
Lute Pythagorean (en)
Penrose brolægning
Pentagram

eksterne links

(da) Eric W. Weisstein , " Golden Triangle " , på MathWorld
(da) Eric W. Weisstein , " Golden Gnomon " , på MathWorld
( fr ) Robinsons trekanter på encyklopædi af fliser ved University of Bielefeld.