Logisk ækvivalens

I klassisk logik , to udsagn P og Q kaldes logisk ækvivalent eller blot tilsvarende , når det er muligt at udlede Q fra P og udlede P fra Q . Ved beregning af propositioner betyder det at sige, at P og Q har den samme sandhedsværdi : P og Q er begge sande eller begge falske. Logisk ækvivalens udtrykkes ofte i formen, hvis og kun hvis det i rammer som undervisning eller metamatematik taler om selve logikens egenskaber og ikke af det logiske stik, der binder to propositioner.

Forholdet mellem logisk ækvivalens mellem propositioner er tæt knyttet til ækvivalensstik, ofte bemærket ⇔ eller ↔, som kan defineres (meget generelt, både i klassisk logik og for eksempel i intuitionistisk logik ) som sammenhængen mellem l ' implikation P ⇒ Q (“ Q hvis P ”) og dens gensidige Q ⇒ P ( kun Q hvis P ), det vil sige (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

Påstanden om, at P ⇔ Q svarer til at sige, at P og Q er ækvivalente. Sagt andet (i klassisk logik) tager propositionen P ⇔ Q værdien "sand", når P og Q er logisk ækvivalente, og kun i dette tilfælde. I logik bemærkes ækvivalensforholdet undertiden ≡ (notationen ⇔ eller ↔ er reserveret til konnektoren).

I elektronik kaldes en lignende funktion inklusive AND ; sidstnævnte symboliseres med tegnet "⊙".

Ækvivalens på matematikens sprog

I matematiske tekster udtrykker vi, at to propositioner P og Q er ækvivalente med:

P hvis og kun hvis Q (undertiden forkortet som P iff Q );
For P er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Q ;
En nødvendig og tilstrækkelig tilstand (CNS) for P er Q ;
P er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for Q ;
P er lig med Q .

Propositionel beregning

I klassisk logik, som kun har to sandhedsværdier, er sandhedstabellen for ækvivalensstik:

P	Spørgsmål	P ⇔ Q
Rigtigt	Rigtigt	Rigtigt
Rigtigt	Falsk	Falsk
Falsk	Rigtigt	Falsk
Falsk	Falsk	Rigtigt

Forslaget P ⇔ Q svarer til:

( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) (( P betyder Q ) og ( Q betyder P ));
( P ⇒ Q ) ∧ (¬ P ⇒ ¬ Q ) (( P betyder Q ) og modsat ( Q betyder P ));
¬ P ⇔ ¬ Q (kontraposeret ækvivalens);
( P ∧ Q ) ∨ (¬ Q ∧ ¬ P ) (( P og Q ) eller (ikke P og ikke Q )).

Ejendomme

Den logiske ækvivalensrelation, bemærket ≡ nedenfor, er en ækvivalensrelation , nemlig:

P ≡ P (ækvivalensrelationen er refleksiv );
Hvis P ≡ Q , så er Q ≡ P (ækvivalensrelationen symmetrisk );
Hvis P ≡ Q og Q ≡ R , så er P ≡ R (ækvivalensforholdet er forbigående ).

Denne ækvivalensrelation er kompatibel med logiske stik. Ud over klassisk logik:

¬¬P ≡ P.

Eksempler

For alle reelle x ikke nul og y har vi ${\ displaystyle y = x \ iff {\ frac {y} {x}} = 1.}$
Ækvivalensen ( x = y ⇔ x 2 = y 2 ) (ved at øge kvadratet) er ikke sandt for alle reelle x og y : for eksempel 2 2 = (-2) 2 betyder ikke 2 = -2.
For alle reelle x positive og y er følgende ækvivalens sand ${\ displaystyle y \ geq {\ sqrt {x}} \ iff (y ^ {2} \ geq x \ quad {\ rm {and}} \ quad y \ geq 0)}$ (hæve kvadrat)Ved at kvadrere mister vi de oplysninger, der er større end en kvadratrode og skal være positive og for at have ækvivalens skal vi tilføje ejendommen . $y$ ${\ displaystyle y \ geq 0}$

For at demonstrere ækvivalens P ⇔ Q , kan vi bevise implikation P ⇒ Q og dens inverse Q ⇒ P .

Ækvivalens mellem flere propositioner

Er tre forslag P , Q og R .

For at bevise de 3 ækvivalenser P ⇔ Q , Q ⇔ R og P ⇔ R er det tilstrækkeligt at bevise 2 af dem, ellers er det tilstrækkeligt at bevise de 3 implikationer:

P ⇒ Q , Q ⇒ R og R ⇒ P .

Demonstration:

Lad konsekvenserne P ⇒ Q , Q ⇒ R og R ⇒ P fastslås.

Fra Q ⇒ R og R ⇒ P vi udlede Q ⇒ P .

Fra R ⇒ P og P ⇒ Q vi udlede R ⇒ Q .

Fra P ⇒ Q og Q ⇒ R udleder vi P ⇒ R.

Vi kan generalisere til n propositioner P 1 , P 2 , ..., P n : for at bevise at disse propositioner er ækvivalente er det tilstrækkeligt at bevise implikationerne

P 1 ⇒ P 2 , P 2 ⇒ P 3 ... P n-1 ⇒ P n og P n ⇒ P 1 .

Eksempler på almindelige formuleringer

Overvej to forslag og . $P$ $Spørgsmål$

Vi siger, at det er en nødvendig betingelse for, hvis vi har og kan oversættes som "så det er nødvendigt at ". $Spørgsmål$ $P$ ${\ displaystyle P \ Rightarrow Q}$ $P$ $Spørgsmål$
Vi siger, det er en tilstrækkelig betingelse for, hvis vi har og kan oversættes som "så det er det nok ". $Spørgsmål$ $P$ ${\ displaystyle Q \ Rightarrow P}$ $P$ $Spørgsmål$
Vi siger, at det er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, hvis vi har, og hvis vi har og kan oversættes som "så det er nødvendigt og tilstrækkeligt, at ". Dette svarer til at sige, der svarer til og bemærkes . Således kan vi ved kommutativitet af ækvivalensen også sige, at det er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for . $Spørgsmål$ $P$ ${\ displaystyle Q \ Rightarrow P}$ ${\ displaystyle P \ Rightarrow Q}$ $P$ $Spørgsmål$ $Spørgsmål$ $P$ ${\ displaystyle Q \ Leftrightarrow P}$ $P$ $Spørgsmål$

Se også