Fysisk afskrivning

I fysik er dæmpning af et system en dæmpning af dets bevægelser ved spredning af den energi, der genererer dem. Det kan relateres på forskellige måder til hastighed.

Den friktion mellem to faste stoffer svarer til spredning i form af varme. Det styres af Coulombs lov, ifølge hvilken friktionskraften ikke afhænger af hastigheden.
Når grænsefladen smøres, omdannes den mekaniske energi stadig til varme, men friktionskraften bliver proportional med hastigheden i henhold til loven om viskositet . Vi taler derefter om viskøs dæmpning, selvom denne lineære effekt også forekommer i mere eller mindre fjerne fænomener. Dette er det aspekt af spørgsmålet, der hovedsagelig studeres i denne artikel.
Et fast stof, der svinger i en væske, udsættes for en sådan dæmpning, når dens hastighed er lav nok til, at strømmen er laminær . Ved højere hastighed optræder en hvirvel eller et turbulent kølvand, der spreder energi på en rent mekanisk måde. Dette fører til en trækstyrke , der er omtrent proportional med kvadratet af hastigheden.

Forklaring

I ethvert virkeligt system, er noget af det totale energi, der spredes, oftest som varme, hvilket skaber en dæmpende kraft .

I mekanik afhænger dette af kroppens hastighed . I mange tilfælde kan det antages, at systemet er lineært, hvor dæmpningen derefter er proportional med hastigheden (se Oscillerende system med en grad af frihed ).

I elektricitet henviser dæmpning til den resistive effekt af et RLC-kredsløb.

Vi definerer dæmpningskoefficienten c ved:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = -c \ mathbf {v}}

Eksempel: Massefjeder-dæmper

Lad os studere et ideelt Mass-Spring-Damper-system med en fast masse m (i den forstand at kroppen holder den samme masse gennem hele undersøgelsen), en stivhedskonstant k og en dæmpningskoefficient c :

{\ displaystyle \ mathbf {F_ {r}} = -k \ mathbf {x}}

{\ displaystyle \ mathbf {F_ {a}} = -c {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}}}

Masse er en fri krop. Vi antager inertialreference, derfor er den første vektor parallel med fjederen og spjældet. Fra bevarelse af momentum :

{\ displaystyle \ mathbf {F_ {r}} + \ mathbf {F_ {a}} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x}} {dt ^ {2}}}}

{\ displaystyle -kx-c {\ frac {dx} {dt}} = m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}}

Almindelig differentialligning

Det er en almindelig andenordens differentialligning . Det er lineært, homogent og med konstante koefficienter:

{\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + c {\ frac {dx} {dt}} + kx = 0}

For at forenkle ligningen definerer vi to parametre:

den naturlige frekvens af systemet ; $\ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}}$
og afskrivningssatser : . ${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {km}}}}}$

Differentialligningen bliver således:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0}

Vi løser det karakteristiske polynom : derfor: ${\ displaystyle \ omega ^ {2} +2 \ zeta \ omega _ {0} \ omega + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}$

{\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} (- \ zeta \ pm {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}

Overgangsordning for systemet

Systemets opførsel afhænger af den naturlige pulsering og dæmpningshastigheden. Især afhænger det stærkt af arten af . $\ omega$

Pseudo-periodisk regime

For rødderne er komplekse og konjugerede. Løsningen er summen af to komplekse eksponentialer: ${\ displaystyle \ zeta <1}$ $\ omega$

{\ displaystyle x (t) = Ae ^ {\ omega _ {1} t} + Be ^ {\ omega _ {2} t}}

{\ displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ omega _ {0} (\ zeta -j {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) t} + Be ^ {- \ omega _ {0 } (\ zeta + j {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) t}}

Ved at spørge får man: . ${\ displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (Ae ^ {j \ omega _ {d} t} + Be ^ {- j \ omega _ {d} t}) }$

Vi kan omskrive løsningen i en trigonometrisk form:

${\ displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (A (cos (\ omega _ {d} t) + jsin (\ omega _ {d} t)) + B ( cos (\ omega _ {d} t) -jsin (\ omega _ {d} t)))}$

${\ displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} ((A + B) cos (\ omega _ {d} t) + j (AB) sin (\ omega _ {d } t))}$

${\ displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (Ccos (\ omega _ {d} t) + Dsin (\ omega _ {d} t))}$

Langt om længe,

${\ displaystyle x (t) = e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} [C \ cos (\ omega _ {d} t) + D \ sin (\ omega _ {d} t) ]}$ ,

hvor er systemets tidskonstant og er systemets egen pseudopulsation. ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {2m} {c}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}}$

Vi bemærker, at det altid er strengt lavere end den naturlige pulsering.

Man bestemmer det meste af tiden konstanterne A og B takket være de indledende betingelser og : $x_ {0}$ ${\ displaystyle {\ dot {x_ {0}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ left (\ left [\ omega _ {d} D - {\ frac {C} {\ tau}} \ højre] \ cos (\ omega _ {d} t) - \ venstre [\ omega _ {d} C + {\ frac {D} {\ tau}} \ højre] \ sin (\ omega _ {d} t) \ højre)}

Vi løser systemet med lineære ligninger:

{\ displaystyle {\ begin {cases} C = x_ {0} \\ D = {\ frac {1} {\ omega _ {d}}} ({\ dot {x_ {0}}} + {\ frac { x_ {0}} {\ tau}}) \ end {cases}}}

Vi opnår den generelle homogene løsning:

{\ displaystyle x (t) = e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} [x_ {0} \ cos (\ omega _ {d} t) + D \ sin (\ omega _ {d } t)]}

Kritisk aperiodisk diæt

I det særlige tilfælde hvor roden er reel og dobbelt. Løsningen er et produkt af et polynom af ordre 1 og en reel eksponentiel: ${\ displaystyle \ zeta = 1}$ $\ omega$

{\ displaystyle x (t) = (A + Bt) e ^ {- \ omega _ {0} t}}

Som det er rigtigt, oversætter det ikke længere en pulsering men en tidskonstant, så vi bemærker $\ omega_0$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {1} {\ omega _ {0}}} = {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}$

{\ displaystyle x (t) = (A + Bt) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

Man bestemmer det meste af tiden konstanterne A og B takket være de indledende betingelser og : $x_ {0}$ ${\ displaystyle {\ dot {x_ {0}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = \ venstre (B - {\ frac {A} {\ tau}} - B {\ frac {t} {\ tau}} \ højre) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

Vi løser systemet med lineære ligninger:

{\ displaystyle {\ begin {cases} A = x_ {0} \\ B = {\ dot {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau}} \ end {cases}} }

Vi opnår den generelle homogene løsning:

{\ displaystyle x (t) = (x_ {0} + Bt) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

Kritisk diæt er ofte meget vanskelig at opnå.

Aperiodisk diæt

I tilfælde af at rødderne er ægte og tydelige. Løsningen er summen af to reelle eksponentialer: ${\ displaystyle \ zeta> 1}$ $\ omega$

{\ displaystyle x (t) = Ae ^ {\ omega _ {1} t} + Be ^ {\ omega _ {2} t}}

Som og er virkelige oversætter de ikke længere en pulsering men en tidskonstant, så vi bemærker $\ omega _ {1}$ $\ omega _ {2}$

{\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ frac {1} {\ omega _ {1}}} = {\ frac {1} {\ omega _ {0} (\ zeta - {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}}

{\ displaystyle \ tau _ {2} = {\ frac {1} {\ omega _ {2}}} = {\ frac {1} {\ omega _ {0} (\ zeta + {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}}

{\ displaystyle x (t) = Ae ^ {- {\ frac {t} {\ tau _ {1}}}} + Be ^ {- {\ frac {t} {\ tau _ {2}}}}}

Man bestemmer det meste af tiden konstanterne A og B takket være de indledende betingelser og : $x_ {0}$ ${\ displaystyle {\ dot {x_ {0}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = - {\ frac {A} {\ tau _ {1}}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau _ {1}}}} - {\ frac {B} {\ tau _ {2}}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau _ {2}}}}}

Vi løser systemet med lineære ligninger:

{\ displaystyle {\ begin {cases} A = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} - \ tau _ {2}}} ({\ dot {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau _ {2}}}) \\ B = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {2} - \ tau _ {1}}} ({\ dot {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau _ {1}}}) \ end {cases}}}

Leksikon

Dæmpningsfaktor eller tabsfaktor , η , af et viskoelastisk materiale ( dimensionsløst antal ). Det afhænger af temperaturen og hyppigheden af den spændende vibration. Det kan måles ved dynamisk mekanisk analyse (AMD eller DM (T) A).
Dæmpningskoefficient: udtryk i kg pr. Sekund . Vi bemærker, at der er et sæt kræfter uden for kroppen, som er proportionale med kroppens hastighed. Dæmpningskoefficienten bruges til at betegne forholdet mellem disse kræfter og hastigheden.
Stivhedskonstant: udtryk i newton pr. Meter . Vi bemærker, at der er et sæt kræfter uden for kroppen, som er proportionale med kroppens forskydning. Man indikerer ved konstant stivhed forholdet mellem disse kræfter og forskydning.
Tidskonstant: udtryk i sekunder. Generelt bemærker vi kraften i en negativ eksponentiel, der kun involverer tid som forholdet mellem det og en koefficient, også homogen til en tid, der tager navnet tidskonstant. Det oversætter en tidsskala for ligevægten i det modellerede fænomen.
Egen pseudopulsation: udtryk i radianer pr. Sekund. Dette er pulsationen af det pseudo-periodiske regime, der er knyttet til frekvensen af det dæmpede fænomen.

Se også

Relaterede artikler