Cirkel

I euklidisk geometri er en cirkel en lukket plankurve, der består af punkter placeret i lige afstand fra et punkt kaldet centrum . Værdien af ​​denne afstand kaldes cirkelens radius .

I det euklidiske plan er det "runden", der på fransk er knyttet til udtrykket cirkel. I et ikke-euklidisk plan eller i tilfælde af at definere en ikke-euklidisk afstand kan formen være mere kompleks. I et rum af en hvilken som helst dimension kaldes det sæt punkter, der er placeret i en konstant afstand fra et center, en sfære .

Andre former kan betegnes som "runde": overflader og faste stoffer, hvoraf visse plane sektioner er cirkler ( cylindre , kegler , torus , ring osv.).

Anvendelser

Cirklen er et abstrakt matematisk objekt, som kan bruges til at modellere mange fænomener. Et bestemt antal fremstillede genstande har en cirkulær sektion: cylindre (ruller, hjul, siloer), kugler (ballon, kugler, kugler), kegler (ruller, tragte). Cirklenes egenskaber gør det derfor muligt at udlede egenskaber for objekter, såsom deres volumen, der gør det muligt at udlede massen af ​​objektet (kender dets densitet ) eller dets kapacitet. Objekter i cirkulære snit er interessante af flere hovedårsager:

• disse genstande ruller , hvilket gør det muligt at have bevægelser og forskydninger, der kræver lidt anstrengelse ( hjul , mekaniske lejer );
• pr. definition er alle punkter lige langt fra centrum; det betyder, at det tager den samme tid og den samme energi at nå hvert punkt fra centrum, hvilket gav begrebet hemicycle ( amfiteater ), hvor lyden har samme lydstyrke for alle dem, der sidder på den samme bænk;
  dette er også vigtigt med hensyn til territorial organisering og logistik  ; faktisk, hvis bevægelsen sker på samme måde i alle retninger (ideelt flad og vandret jord, uden forhindring eller fuglens flugt uden vind), repræsenterer en cirkel alle de punkter, der kan være at nå en given rejsetid eller givet energiforbrug fra centrum, er dette begrebet handlingsradius og interessen for problemet med minimumscirklen  ;
  når man blæser glas , bevæger glasset sig væk fra blæsepunktet med en isotrop hastighed , som giver objektet en naturlig afrundet form;
• cirklen er plankurven, som for en given længde ( omkreds ) er det område, der er mest; Således, hvis vi bygger en silo eller en cylindrisk flaske, har vi den største kapacitet til en given mængde materiale (til at lave væggen). Hvis vi bygger et cirkulært hegn, kan vi rumme flere mennesker til en given mængde træ eller sten ; på samme måde er forsvar i en cirkel en militær strategi, der gør det muligt at forsvare en befolkning eller en bestand med et minimum af midler i lyset af et angreb, der kommer fra alle sider, en taktik, der præcist kaldes omringning  ;
• denne form udgør ingen ruhed, derfor ingen spændingskoncentration  ; et objekt med denne form har bedre mekanisk styrke;
• denne form har ikke en flad del, så et projektil har ringe chance for at ramme det "forfra", det overfører mindre energi til det og risikerer derfor mindre skade på det; hvis objektet falder, er det mere sandsynligt, at det kommer tilbage uden at bryde; en afrundet genstand er også mindre tilbøjelig til at skade i tilfælde af sammenstød med en person (ballon, afrundede hætter og kofangere i moderne biler);
• enhver linje, der passerer gennem midten, er en radius og er derfor vinkelret på cirklen; denne egenskab bruges i optik og gav de sfæriske modspejle , det er også grunden til, at linserne har sfæriske overflader (man kan let forudsige lysstien ved diopterne );
• et objekt med cirkulært snit og tynd væg kan fremstilles ved viklingstråd ( skruefjeder , spiral ) eller ved at rulle et ark ( hylse , rør ); et objekt med hul eller massivt cirkulært snit kan også let opnås ved at dreje ( keramik , mekanisk drejning );
• hvis vi lægger en genstand i en cirkulær beholder, pålægger vi dens position, men vi pålægger ikke dens orientering; Hvis orienteringen ikke betyder noget, sparer dette tid, da du ikke behøver at dreje genstanden, før du sætter den i position; dette er princippet om centrering (lang eller kort) til positionering (MiP).

Nogle objekter reagerer på mere end et af disse elementer. For eksempel det faktum, at en tønde er cylindrisk:

• tillader let fabrikation, især kedeligt  ;
• giver mekanisk styrke (modstandsdygtighed over for eksplosionstryk);
• letter introduktionen af ​​ammunitionen (du behøver ikke dreje den omkring sin akse for at introducere den)
• ved at øve en propel i tønden, kan man udskrive en rotationsbevægelse under affyringen, som stabiliserer banen.

Hvis et objekt har en buet overflade, kan det tilnærmes lokalt af en cirkel. Således, hvis vi kender cirkelens egenskaber, kender vi objektets lokale egenskaber. Dette var det, der gav forestillingerne om osculerende cirkel , krumningsradius og sfærisk harmonisk .

Hvis du har genstande eller mennesker i en cirkel, ved du, at du kan nå dem med den samme indsats fra centrum, men også at du kan se dem på samme måde, hvilket kan lette overvågningen. De kan også angives ved hjælp af en enkelt parameter, retningen; dette er for eksempel interessen for nålehjul . Dette giver også forestillingerne om cylindriske og sfæriske koordinater .

Efter sin definition er den euklidiske cirkel meget let at tegne: det er tilstrækkeligt at have et objekt, hvis to ender har en konstant afstand, et stramt reb for eksempel eller en gren (endda snoet) eller mere almindeligt et kompas . Det er derfor let at tegne en ”perfekt” cirkel, hvilket gør det til et privilegeret studieværktøj til geometri.

For mere komplekse problemer og former kan vi bruge begrebet ellipse .

Cirklen kan bruges til symbolsk at repræsentere objekter "mere eller mindre runde":

• af himmellegemer ( planeter , måner , stjerner ) og deres baner (som faktisk er elliptiske);
• et ovalt ansigt ( Totos hoved , smileys )
• en åbning.

Rent symbolsk repræsenterer det:

• en vis form for fuldkommenhed , ved kraft af sin symmetri og dens fravær af ruhed, fordi ifølge Ronsard , "intet er fremragende i verden, hvis det ikke er runde"  ; siden det antikke Grækenland har sfæricitet været forbundet med perfektion og derfor med guddommelighed; for Kepler repræsenterer cirklen den hellige treenighed , "Faderen i centrum, Sønnen ved overfladen, Helligånden i lige forhold fra centrum til kanten." Og selv om centret, overfladen og intervallet er naturligvis tre, men de er en, til det punkt, at man ikke engang kan forestille sig, at man mangler uden at hele blive ødelagt”  ;
• en kontinuerlig og uendelig bevægelse, forestillingen om cyklus  ; det er en af ​​repræsentationerne af genoptagelse ( ouroboros ), kontinuitet, evighed og cyklisk tid (se tidshjulet til Kalachakra Tantra ) med spiralvarianten  ;
• lighed mellem mennesker, som Round Table of kong Arthur .

Definitioner

I lang tid har hverdagssprog brugt ordet "cirkel" så meget for at navngive kurven ( omkredsen ) som overfladen, den afgrænser. I dag betegner cirklen i matematik udelukkende den buede linje, idet overfladen igen kaldes disk .

Forholdet mellem cirkelens omkreds og dens diameter definerer antallet pi .

Andre udtryk fortjener at blive defineret:

• en akkord er et linjesegment, hvis ender er på cirklen;
• en bue er en del af en cirkel afgrænset af to punkter;
• en pil er det segment, der forbinder midtpunkterne i en cirkelbue og en akkord defineret af to samme punkter i cirklen;
• en radius er et linjesegment, der forbinder centrum til et punkt på cirklen;
• en diameter er en akkord, der passerer gennem midten; det er et linjesegment, der afgrænser disken i to lige store dele. Diameteren består af to kollinære stråler  ; dens længde er 2 r  ;
• en skive er et område af planet afgrænset af en cirkel;
• en cirkulær sektor er en del af skiven mellem to radier;
• et cirkulært segment er en del af en skive, der består af en akkord og en cirkelbue, som den lægger sig under;
• en central vinkel er en vinkel dannet af to radier af cirklen;
• den omkreds er omkredsen af cirklen og er lig med 2π r .

Ligninger

Kartesiske og parametriske ligninger

I et plan, forsynet med et ortonormal koordinatsystem , den kartesiske ligning af cirkel med centrum C ( a , b ) og radius r er:

(x-på)2+(y-b)2=r2{\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2} \,}, enten for enhedscirklen eller trigonometrisk cirkel (den cirkel, hvis centrum er referencerammens oprindelse, og hvis radius er 1 ): x2+y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Denne ligning er faktisk en anvendelse af Pythagoras sætning for den højre trekant dannet af cirkelpunktet og dets fremspring på de to stråler parallelt med akserne.

Ved at fremhæve y opnår vi den dobbelte kartesiske ligning af cirklen (faktisk en ligning for hver halvcirkel afgrænset af den vandrette diameter):

y=b±r2-(x-på)2{\ displaystyle y = b \ pm {\ sqrt {r ^ {2} - (xa) ^ {2}}},}.

Mulige parametriske ligninger af cirklen (afhængigt af parameteren θ, som her udtrykker en orienteret vinkel på vektoren, der forbinder centrum af cirklen til et af disse punkter i forhold til enhedens vandrette vektor i referencerammen) er givet ved:

x=på+rcos⁡θ;y=b+rsynd⁡θ{\ displaystyle x = a + r \ cos \ theta; \ qquad y = b + r \ sin \ theta}

for en cirkel centreret på oprindelsen (0; 0)  :

x=rcos⁡θ;y=rsynd⁡θ{\ displaystyle x = r \ cos \ theta; \ qquad y = r \ sin \ theta}

og for enhedens cirkel:

x=cos⁡θ;y=synd⁡θ{\ displaystyle x = \ cos \ theta; \ qquad y = \ sin \ theta}.

Takket være sætningen for vinklen indskrevet i en halvcirkel og dens gensidige , kan vi også bestemme en ligning for cirklen C med diameter [ AB ]  :

M∈VS⇔MPÅ→⊥MB→⇔MPÅ→⋅MB→=0⇔(x-xPÅy-yPÅ)⋅(x-xBy-yB)=0⇔(x-xPÅ)(x-xB)+(y-yPÅ)(y-yB)=0⇔x2+y2-(xPÅ+xB)x-(yPÅ+yB)y+xPÅxB+yPÅyB=0.{\ displaystyle {\ begin {align} M \ i C & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ perp {\ overrightarrow {MB}} \\ & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ cdot {\ overrightarrow { MB}} = 0 \\ & \ Leftrightarrow {\ binom {x-x_ {A}} {y-y_ {A}}} \ cdot {\ binom {x-x_ {B}} {y-y_ {B} }} = 0 \\ & \ Venstre højre \ venstre (x-x_ {A} \ højre) \ venstre (x-x_ {B} \ højre) + \ venstre (y-y_ {A} \ højre) \ venstre (y - y_ {B} \ right) = 0 \\ & \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} - \ left (x_ {A} + x_ {B} \ right) x- \ left (y_ {A } + y_ {B} \ højre) y + x_ {A} x_ {B} + y_ {A} y_ {B} = 0. \ slut {justeret}}}

Skæringspunkter med en linje

Den analytiske geometri til bestemmelse af skæringspunktet mellem en cirkel og en lige linje . Uden tab af generalitet er koordinatsystemets oprindelse centrum af cirklen, og abscissaksen er parallel med linjen. Det er så et spørgsmål om at løse et system af formen:

x2+y2=r2ety=y0{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \ quad {\ rm {and}} \ quad y = y_ {0}},

derfor at se efter løsningerne x af

x2=r2-y02{\ displaystyle x ^ {2} = r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}.

Tre tilfælde opstår, afhængigt af om afstanden mellem centrum af cirklen og linjen er større end radius, lige eller mindre:

• hvis krydset er tomt|y0|>r{\ displaystyle | y_ {0} |> r}
• hvis linjen er tangent til cirklen ved punktet  ;|y0|=r{\ displaystyle | y_ {0} | = r}(0,y0){\ displaystyle (0, y_ {0})}
• hvis der er to skæringspunkter: .|y0|<r{\ displaystyle | y_ {0} | <r}(+r2-y02,y0) og (-r2-y02,y0){\ displaystyle (+ {\ sqrt {r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0}) {\ text {and}} (- {\ sqrt {r ^ {2} - y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0})}

Cirklen set som en sektion

Cirklen er en ellipse, hvis fokus falder sammen med centrum af cirklen; længden på hovedaksen er lig med længdeaksen. Det er et keglesnit, hvis excentricitet e er lig med 0. Det kan opnås ved skæring af et plan med en omdrejningskegle, når planet er vinkelret på keglens omdrejningsakse (vi taler undertiden om "sektion til højre" af keglen).

I industrielt design er en cirkel oftest repræsenteret med sin vandrette akse og dens lodrette akse (i midterlinier: tynd linje sammensat af lange og korte streger) eller simpelthen med dens centrum materialiseret ved et lige kryds "+" i fine linjer. En form for revolution, fast eller hul ( cylinder , kegle , kugle ) og set langs omdrejningsaksen er repræsenteret af en cirkel.

Geometriske egenskaber

Foranstaltninger

Den længden af en bue med radius r udstrækning af en vinkel ved midten α , udtrykt i radianer , er lig med aR . For en vinkel på 2π (en hel drejning) er længden af ​​cirklen således 2π r .

Det område af disken afgrænset af en cirkel med radius r er π r 2  ; Hvis vi tager en akkord med en given længde l og bruger den til at afgrænse en lukket overflade, afgrænses overfladen med det største område af en cirkel.

Ifølge legenden om grundlæggelsen af Kartago havde suverænen tilladt fønikerne at grundlægge en by, hvis omkreds ville blive afgrænset af et okseskind  ; Dido lavede en stor strimmel af den og valgte en cirkulær form for at have den største overflade.

Reb og pil af en bue

Længden af ​​en akkord undertrykt af en vinkel α er lig med 2 r sin ( α / 2) .

Vi kan udtrykke radius r af en cirkel, akkorden c og pilen f for en hvilken som helst af dens buer ifølge to af dem ved at anvende Pythagoras sætning til den højre trekant dannet af r - f , c / 2 og r, som er hypotenusen:

vs.=2(2r-f)f;r=4f2+vs.28f;f=r-r2-vs.24{\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {(2r-f) f}}; \ qquad r = {\ frac {4f ^ {2} + c ^ {2}} {8f}}; \ qquad f = r- {\ sqrt {r ^ {2} - {\ tfrac {c ^ {2}} {4}}}}.

Den bugtning af to modsatte lignende cirkelbuer forenet i samme kontinuerligt differentiable plan er uafhængig af cirklens radius.

Tangent

Tangenten ved et punkt på cirklen er vinkelret på radiusen på det punkt.

Denne egenskab har anvendelser inden for geometrisk optik  : en lysstråle, der passerer gennem midten af ​​et sfærisk spejl, forlader igen i den modsatte retning i samme retning (vi har en refleksion vinkelret på spejlet). Hvis vi sætter en pære i midten af ​​et sfærisk spejl, returneres lyset til den anden side, hvilket f.eks. Gør det muligt at "folde" lyset mod et parabolsk spejl (princippet om modspejlet).

Overvej en cirkel med centrum O og et punkt A uden for denne cirkel. Vi leder efter en tangent til denne cirkel, der passerer gennem A  ; tangentielpunktet kaldes T .

Vi bruger det faktum, at trekanten AOT er et T- rektangel . Denne højre trekant er derfor indskrevet i en cirkel, hvis centrum er midtpunktet for [ AO ] , eller endda, hvilket er ækvivalent, at hypotenusen har en længde dobbelt så meget som medianen som følge af den rette vinkel.

Vi bestemmer derfor midtpunktet I for [ AO ] , derefter tegner vi en cirkelbue med centrum I og radius IO . Denne cirkelbue skærer cirklen ved tangenspunkterne.

Mægler

Den vinkelrette bisector af en streng passerer gennem midten af ​​cirklen. Dette gør det muligt at finde centrum af en cirkel: det er tilstrækkeligt at tegne to ikke-parallelle akkorder og finde skæringspunktet mellem deres vinkelrette halveringslinjer.

Vi kan også vise, at de tre lodrette halveringer i en trekant er samtidige, og at skæringspunktet er centrum for cirklen, der passerer gennem de tre hjørner, kaldet en cirkel, der er afgrænset til trekanten.

Cirkel og højre trekant

Lad os tage en cirkel på tre punkter A , B og C , hvoraf to - A og C - er diametralt modsatte (dvs. [ AC ] er en diameter). Derefter trekant ABC er rektangel B .

Dette følger af det faktum, at medianen, der kommer fra den rigtige vinkel, er halvdelen af ​​hypotenusen værd (vi har en radius og en diameter); dette er en egenskab af trekanten kaldet halvsirkelvinkel sætning eller Thales sætning (i Tyskland og nogle engelsktalende lande).

Omvendt, lad A og C være to diametralt modsatte punkter i en cirkel. Eller B et punkt i flyet, da ABC er rektangel B . Derefter hører B til cirklen.

Indskrevet vinkel, central vinkel

Lad os tage to forskellige punkter A og B i cirklen. O er centrum for cirklen, og C er et andet punkt i cirklen. Så det har vi gjort

PÅOB^=2×PÅVSB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}} = 2 \ gange {\ widehat {ACB}}}

For midt vinkel , må vi overveje den kantede sektor, der opfanger den bue modsat buen indeholder C . PÅOB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}}}

Denne egenskab anvendes i bølgelængde dispersion spektral analyseapparater , er det begrebet af fokusering cirkel eller Rowland cirklen .

Kraften i et punkt i forhold til en cirkel

Hvis M er et punkt, og Γ er en cirkel med centrum O og radius R , og derefter, for enhver linje gennem M og møde cirklen på A og B , har vi

MPÅ×MB=|OM2-R2|{\ displaystyle MA \ gange MB = | OM ^ {2} -R ^ {2} |}.

Denne værdi afhænger ikke af den valgte linje, men kun af positionen M i forhold til cirklen.

Det kan vi bemærke

• hvis M er uden for cirklen, MPÅ×MB=OM2-R2{\ displaystyle MA \ times MB = OM ^ {2} -R ^ {2}} ;
• hvis M er inde i cirklen, OM2-R2=-MPÅ×MB{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2} = - MA \ gange MB} ;dette produkt svarer til produktet af de algebraiske målinger MA og MB .

Den magt af punktet M med hensyn til cirklen Γ derefter kaldes produktet af de algebraiske foranstaltninger MA og MB . Dette produkt er uafhængig af den valgte linje og er altid gyldigt . OM2-R2{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2}}

Når punktet M er uden for cirklen, er det muligt at gøre tangenter til cirklen. Ved at kalde T kontaktpunktet af en af disse tangenter, i henhold til den Pythagoras 'sætning i trekanten OMT , magt M er MT 2 .

Lighed:

MPÅ×MB=MT2{\ displaystyle MA \ times MB = MT ^ {2}}

er tilstrækkelig til at sige, at linjen ( MT ) er tangent til cirklen.

Den magt for et punkt gør det muligt at kontrollere, at fire punkter er cocyclic: ja, hvis

• A , B , C , D er fire punkter således, at ( AB ) og ( CD ) krydser hinanden ved M og
• MA × MB = MC × MD (i algebraiske mål),

så er de fire punkter cocycliske.

Registrerede cirkler rapporterer

Dette afsnit kan indeholde upubliceret arbejde eller ubekræftede erklæringer  (08/30/2015) . Du kan hjælpe ved at tilføje referencer eller fjerne ikke-offentliggjort indhold.

• Radius og areal af de 2 største cirkler indskrevet i cirklen med radius R og område S  : R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R2;2S′=S2{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {2}} \ ,; \ qquad 2 \, S' = {\ frac {S} {2}}}
• Radius og areal af de 3 største indskrevne cirkler: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+43;3S′=9S7+23{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {\ frac {4} {3}}}} \ ,; \ qquad 3 \, S' = {\ frac {9 \, S } {7 + 2 {\ sqrt {3}}}}}
• Radius og areal af de 4 største indskrevne cirkler: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+2=(2-1)R;4S′=4S3+8{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2}}}} = ({\ sqrt {2}} - 1) \, R \ ,; \ qquad 4 \, S' = {\ frac {4 \, S} {3 + {\ sqrt {8}}}}}
• Radius af de 5 største indskrevne cirkler: R′{\ displaystyle R '}R′=R1+2+45{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {\ frac {4} {5}}}}}}}
• Radius og areal af de 7 (eller 6) største indskrevne cirkler (1 cirkel i midten omgivet af 6): R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '} R′=R3;7S′=7S9{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {3}} \ ,; \ qquad 7 \, S' = {\ frac {7 \, S} {9}}}.

Indskrift af cirkler, med samme radius, i en cirkel, en ligesidet trekant, en firkant

Noter og referencer

1. Se definitionen af adjektivet runde på CNRTL hjemmeside .
2. Pierre de Ronsard , reaktion på fornærmelser og kalumnier ved jeg ikke, hvilke prædikanter og præster i Genève ,1563.
3. "  Græsk fremskridt: Cirklen og sfæren  " , på virtuelle gallerier fra Nationalbiblioteket i Frankrig .
4. Johannes Kepler , Det kosmografiske mysterium ,1596.
5. I encyklopædi Diderot og d'Alembert er for eksempel cirklen "rummet lukket af omkredsen" ( s: L'Encyclopédie / 1re udgave / CERCLE ), og ordbogen Robert udgave 1993 giver som tredje betydning af ordet cirkel: "ved nuværende udvidelse: flad overflade begrænset af en cirkel" .
6. Jean Dieudonné , lineær algebra og elementær geometri , Paris, Hermann ,1964, fx 2p.96
7. Find disse figurer af inskription af cirkler på siden stabling i planen .

Se også

• Generaliseret cirkel  (in)
• Bog III om Euclids elementer
• Disc - Sphere - Ball

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">