Kompaktitet (matematik)

I topologi siger vi om et rum, at det er kompakt, hvis det adskilles, og at det tilfredsstiller Borel-Lebesgue-ejendommen . Adskillelsesbetingelsen er undertiden udeladt, og nogle resultater forbliver sande, såsom den generaliserede afgrænsningssætning eller Tychonovs sætning . Den kompakthed gør det muligt at passere visse egenskaber fra det lokale til det globale, det vil sige, at en sand ejendom i nærheden af hvert punkt bliver gyldige på en ensartet måde over hele kompakt.

Flere egenskaber for segmenterne i den virkelige linje ℝ generaliserer til kompakte rum, hvilket giver sidstnævnte en privilegeret rolle inden for forskellige matematikområder. Især er de nyttige til at bevise eksistensen af ekstrema til en numerisk funktion.

Navnet på denne ejendom hylder de franske matematikere Émile Borel og Henri Lebesgue , fordi sætningen, der bærer deres navn, fastslår, at ethvert segment af ℝ er kompakt og mere generelt, at kompakterne af are n er de lukkede afgrænsede .

En mere intuitiv tilgang til kompakthed i det særlige tilfælde af metriske rum er beskrevet i artiklen "  Sekventiel kompakthed  ".

Ejes af Borel-Lebesgue

Forud Definition: Lad E et sæt og en del af E . Vi siger, at en familie ( U jeg ) jeg ∈ I portioner E dækker et hvis mødet ∪ jeg ∈ jeg U jeg indeholder A .

Borel-Lebesgue ejendom til segmenterne: lad et segment [ a , b ] af den rigtige linje. Fra enhver åben overlapning i dette segment kan man udvinde en begrænset undercoverage. Det vil sige, for enhver familie ( U i ) i ∈ I af åbne sæt, der dækker [ a , b ], findes der en endelig delmængde J af I, således at underfamilien ( U i ) i ∈ J allerede dækker [ a , b ].

For et bevis på denne ejendom se Borel-Lebesgue sætning , også kaldet Heine-Borel sætning.

Borel-Lebesgue-egenskaben er tæt knyttet til en egenskab af afgrænsede sekvenser af realer: fra enhver afgrænset sekvens af realer kan vi udtrække en konvergerende sekvens. Forbindelsen mellem de to egenskaber forklares nedenfor (i afsnittet “Bolzano-Weierstrass sætning og sekventiel kompakthed” ).

Fra den ene eller den anden af ​​disse egenskaber er det muligt at trække nogle vigtige konsekvenser for de digitale funktioner. Især: billedet af et segment ved et kontinuerligt kort er ikke kun (ifølge sætningen af ​​mellemliggende værdier ) et interval , men det er endda et segment ( sætning af grænser ), og funktionen er derefter ensartet kontinuerlig ( Heines sætning ) .

Borel-Lebesgue-egenskaben (såvel som den sekventielle kompakthed) kan formuleres som en iboende egenskab af det undersøgte topologiske rum (her: rummet [ a , b ] forsynet med sin sædvanlige topologi) uafhængigt af det faktum, at - her enten inkluderet i et “større” topologisk rum (her: ℝ) og er således forsynet med den inducerede topologi . I denne forstand adskiller begrebet "kompakt del" (af et topologisk rum) sig grundlæggende fra begrebet "  lukket del  ".

Borel-Lebesgue-aksiom og generel definition af kompakter

Et topologisk rum E siges at være kvasikompakt, hvis det tilfredsstiller Borel-Lebesgue-aksiomet  : Fra enhver åben tildækning af E kan vi udtrække en endelig underdækning. Rummet siges at være kompakt, når det adskilles yderligere i betydningen Hausdorff (T 2 ). En del K af E siges at være (kvasi-) kompakt, hvis K forsynet med den inducerede topologi er (kvasi-) kompakt.

For at E er kvasi-kompakt, er det tilstrækkeligt, at enhver overlapning af E ved åbninger i en fast base har en endelig underdækning.

Demonstration

Lad B en base E verificere denne hypotese og ( U i ) en åben dækker vilkårlig E . Bemærk C alle åbne O ∈ B inkluderet i mindst én U i og viser, at C dækker E . Da B er et grundlag, er hvert U i en åben union O ∈ B , og endda O ∈ C siden O ⊂ U i , så hver U i er inkluderet i foreningen af ​​alle O ∈ C , så mødet E i U jeg er også derfor C dækker godt E . Ved hypotese B , C har derefter et endeligt sub-dækker F . For hver O ∈ F , hvis vi betegner i ( O ) en af ​​de i for hvilke O ⊂ U i , er familien ( U i ( O ) ) O ∈ F en endelig undercovering af ( U i ).

Det er endda tilstrækkeligt, at dette er tilfældet for en præbase ( jf. Egenskaber for prebaser , Alexanders sætning ).

Ved at videregive til komplementerne svarer Borel-Lebesgue-ejendommen til: hvis ( F i ) i ∈ I er en familie af lukkede, således at ∩ i ∈ I F i = ∅, så kan vi udtrække en endelig familie ( F i ) i ∈ J , med J ⊂ I , således at ∩ i ∈ J F i = ∅. Eller igen ved modsætning: hvis ( F i ) i ∈ I er en lukket familie, hvor enhver begrænset underfamilie har et ikke-frit kryds, er ∩ i ∈ I F i ikke-frit. Tilsvarende: enhver familie, der ikke er fri for lukket, ikke-stabil, ved stabile kryds, har et ikke-frit kryds.

Et topologisk rum X er kvasikompakt, hvis (og kun hvis) skæringspunktet mellem en ikke-fri kæde af lukket ikke-fritagelse af X er ikke-frit.

Demonstration

• Kun hvis: øjeblikkelig, fordi enhver kæde er stabil ved endelige kryds.
• Hvis: lad X være et rum, hvor skæringspunktet mellem en hvilken som helst kæde af lukket ikke-fri er ikke-frit, ( F i ) i ∈ Jeg er en ikke-frit familie af lukket ikke-fritagelse af X stabil ved endelige kryds og F dens kryds. Det er et spørgsmål om at vise, at F ikke er frit. Bemærk M det sæt af alle ikke-tomme lukkede G af X sådan, at for alle i ∈ I , G ∩ F Jeg er ikke tømmes og indeholder F . Alle F jeg hører til M , som derfor ikke tom. Ved hypotese X , enhver streng af ikke-tomme elementer M har krydset af et element M . Ifølge Zorns lemma har M derfor mindst et minimalt element G til inklusion. Nu er M stabil ved skæringspunktet med hvert F i, så det indeholder alle G ∩ F i . Ved minimalitet er G derfor inkluderet i alle Fi og derfor i F , hvilket beviser, at F ikke er tom.

NB: I angelsaksisk terminologi er definitionen lidt anderledes. Medmindre andet er angivet, er den engelsktalende kompakt næsten fransktalende kompakt (engelsktalende angiver "kompakt Hausdorff", hvis de ønsker adskillelse). Derfor gælder ikke alle egenskaber generelt, undtagen under antagelse om, at rummet er adskilt.

Definition ved filterteori

Et separat topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis der findes et filter F på E , findes der et filter, der er finere end F, som konvergerer, med andre ord hvis et hvilket som helst ultrafilter på E konvergerer, eller hvis en generaliseret sekvens har mindst en værdi af d ' vedhæftning , med andre ord en konvergent generaliseret efterfølgende. Denne ækvivalente definition bruges sjældent. Det er særligt tilstrækkeligt at bevise, at ethvert kompakt produkt er kompakt .

I ethvert kvasi-kompakt rum konvergerer et filter, der kun har et sammenhængende punkt, mod dette punkt; i et kompakt rum, der derfor er adskilt, er denne tilstrækkelige konvergensbetingelse naturligvis nødvendig.

Eksempler

• Ethvert begrænset rum er næsten kompakt, da det kun har et begrænset antal åbninger.
• I et separat rum givet en konvergerende sekvens er sættet bestående af vilkårene for sekvensen såvel som for grænsen kompakt. Faktisk kan et åbent, der indeholder grænsen, trækkes ud fra ethvert åbent låg; da der kun er et begrænset antal udtryk uden for dette åbne, er det let at finde en begrænset undercoverage.
• Enhver samling, der leveres med den co - færdige topologi, er næsten kompakt.
• Den Cantor sæt er kompakt, som lukket fra den kompakte [0, 1].
• Den Hilbert terning er kompakt, da produktet af en ( tællelig ) familie af kopier af den kompakte [0, 1].

Ejendomme

Kompakt og lukket

• I et separat rum er to usammenhængende kompakte dele altid inkluderet i to usammenhængende åbninger.
• Enhver kompakt del af et separat rum er lukket.
• Enhver lukket del af et (næsten) kompakt rum er (næsten) kompakt.

Vi kan let udlede fra de to tidligere egenskaber, at ethvert kryds i en ikke-tom familie af kompakter i et separat rum er kompakt.

I et kvasi-kompakt rum er skæringspunktet mellem enhver faldende sekvens af lukket ikke-frit ikke-frit, derfor:

• "  Indlejret komprimeringssætning  ": i ethvert topologisk rum er skæringspunktet mellem enhver faldende sekvens af ikke-ukomplicerede komprimeringer (en kompakt) ikke-ukompliceret
  (betragter disse komprimeringer som lukkede af den første af dem).

NB: de fleste af disse egenskaber strækker sig ikke til det ikke-adskilte tilfælde.

Modeksempler

• i parret {0, 1} med den grove topologi er {0} og {1} kompakte, men ikke lukkede.
• i produktet af dette par efter ℝ (med sin sædvanlige topologi ), {1} × [–1, 1] og ({0} × [–1, 0]) ∪ ({1} ×] 0, 1]) er kanonisk homomorfe til [–1, 1], derfor kompakte (men ikke lukkede) og deres skæringspunkt, {1} ×] 0, 1], er ikke engang kvasikompakt;
• det samme eksempel viser, at kompaktheden ikke bevares af endelige samlinger (kun kvasikompaktheden er).

• Kompakt plads er normalt ,

hvilket gør det muligt at forfine den indlejrede kompakte sætning:

• Ethvert kryds i en faldende sekvens af tilsluttede kompakter er forbundet.

Demonstration af disse to egenskaber

• Et kompakt rum er normalt  : i et kompakt rum E , lad A , B være to adskilte lukkede. Fra ovennævnte egenskaber er A og B derefter to usammenhængende komprimeringer, og E adskilles, så A og B er inkluderet i to usammenhængende åbninger, hvilket beviser, at E er normal.
• Alle skæringspunktet mellem en faldende sekvens af forbundne sammentrykker er forbundet  : lad ( F n ) være en tilbagegang sekvens af kompakteringer; antag, at dets kryds K ikke er forbundet. Der er således to lukkede F og G af F 0 som F ⋂ K og G ⋂ K ikke er tømme og komplementære til K . Normalitet af F 0 , så er der to disjunkte åbne U og V af F 0 , der indeholder F ⋂ K og G ⋂ K . Bemærk W foreningen af disse to åbne og G n den lukkede F n \ W . The G n varigt fald af tomme krydsende kompakte, så en af G n er tom. The F n tilsvarende indgår herefter i disjunkte W = U ⋃ V . Da denne F n opfylder hver af de to åbne strækninger U og V , er det ikke tilsluttet, hvilket demonstrerer modstilling af udsagnet.

Andre egenskaber

Et ægte normeret vektorrum har en begrænset dimension, hvis og kun hvis dets kompakter er dets lukkede afgrænsede.

Det kartesiske produkt af komprimeringsmateriale, der leveres med produkttopologien , er kompakt.

Mere præcist: ethvert kvasi-kompakt produkt er kvasi-kompakt; dette resultat, kendt som Tykhonov-sætningen , svarer til det valgte aksiom .

Enhver diskret og lukket del af en kvasikompakt er færdig.

Kuratowski -Mrówka teorem : En særskilt rum X er kompakt, hvis og kun hvis en eller anden plads Y fremspringet p Y  : X × Y → Y er et lukket kort .

Mere generelt er et mellemrum X næsten kompakt, hvis og kun hvis det opfylder denne egenskab.

Demonstration

• Hvis X er kvasikompakt, er projektionen p Y  : X × Y → Y lukket for alle Y  : se “  Tube lemma  ”.
• Omvendt antager du, at fremspringet p Y  : X × Y → Y er lukket for hele Y og viser, at X er næsten kompakt. Eller ( U i ) i ∈ I en åben overdækning af X . Bemærk
  • ∞ et vilkårligt element, der ikke tilhører X ,
  • Y den sammenhængende forening af X og singleton {∞},
  • E sættet med dele af X, som er genforeninger med et endeligt antal U i ,
  • B sæt af dele af Y, som enten ikke indeholder ∞ eller er komplementære i Y af et element af E ,
  • Δ diagonalen i X ( dvs. d. Sættet af par ( x , x ), når x kører X ), som er en del af X × X således X × Y .

Det er let at kontrollere, at B danner grundlaget for en topologi på Y og anvende den antagelse i denne topologisk rum Y  : billedet p Y lukket Δ er en lukket Y . Desuden indeholder p Y ( ∆ ) (som indeholder X ) ikke ∞ (fordi X × {∞} er inkluderet i en adskilt åbning af ∆: foreningen af U i × ( Y \ U i )). Dette beviser, at {∞} er åben i Y . Vi udleder, at X tilhører E , som konkluderer.

Det følger heraf, at enhver anvendelse af en lukket graf af ethvert rum i et kvasi-kompakt rum er kontinuerlig.

Demonstration

Lad f  : A → B med B quasicompact og Gr ( f ) lukket i A × B , og enten F en lukket B . Derefter f -1 ( F ) er et lukket A , som billedet af lukket ( A × F ) ∩Gr ( f ), ved anvendelse er afsluttet p A  : A × B → A .

Kompaktitet og kontinuitet

• Billedet af en kompakt ved kontinuerlig anvendelse af værdier i et separat rum er kompakt.
  Denne egenskab gør det muligt at udstille globalt ekstrema til kontinuerlige funktioner med reelle værdier . Her er et par eksempler:
  • limit-sætning (eller Weierstrass-sætning ): "ethvert kontinuerligt kort over et ægte segment i ℝ er afgrænset og når sine grænser" (sammenføjet med sætningen af ​​mellemværdier , det sikrer, at dette billede faktisk er et segment);
  • Fermats pointe problem . Når der gives en trekant ABC, bliver det bedt om at bevise, at der findes et punkt M, således at summen af ​​afstande AM + BM + CM er minimal. Vi først konstatere, at det er nytteløst at søge M for langt peger A, B, C . Overvejelse af det kontinuerlige kort M ↦ AM + BM + CM på en lukket disk med tilstrækkelig stor radius gør det muligt at anvende sætningen: der er et globalt minimum. Denne observation kan tjene som udgangspunkt for en eksplicit konstruktion;
  • afstand fra et punkt til et lukket punkt på ℝ n . Lad F være en lukket ikke-fri del af ℝ n og x et punkt på ℝ n . Det er et spørgsmål om at bevise, at der findes et punkt f af F tættere på x end alle de andre. Igen er der ingen mening at kigge efter f for langt fra x . Vi kan derfor begrænse os til krydset mellem F og en lukket kugle, der udgør en kompakt ifølge Borel-Lebesgue-sætningen , og introducere funktionsafstanden til x , som er kontinuerlig;

• isoperimetrisk karakter af en regelmæssig polygon , et åbent spørgsmål siden antikken. Formålet er at finde ud af, hvilken nesidet polygon der har det største areal for en given omkreds . Temmelig enkel geometrisk ræsonnement viser, at den eneste mulige kandidat er den regelmæssige polygon, et resultat, der er demonstreret siden det antikke Grækenland. Men der findes en løsning på dette spørgsmål forblev, åben indtil det XIX th  århundrede.
  For at forstå bevisets natur er den nemmeste måde at overveje tilfældet med trekanten, illustreret i figuren til højre. De betragtede trekanter er alle i omkreds 3, de er identificeret med et par ( c , φ) hvor c angiver længden af ​​den ene side og φ vinklen mellem to sider, hvoraf den ene er længden c . Funktionen f er den, der sammen med et par forbinder overfladen af ​​trekanten. Det er kun nødvendigt at undersøge det område, hvor c er mellem 0 og 3 ⁄ 2 og φ mellem 0 og π. Dette område er en kompakt på ℝ 2 . Kortet f er kontinuerligt, så det når sit maksimale, i dette tilfælde på punktet (1, π ⁄ 3 ). Eksistensen af ​​dette maksimum var det "manglende link" til en komplet demonstration.
  For trekanten kan en lille analyse lige så godt demonstrere resultatet. For det generelle tilfælde af polygonen med n sider er det ikke særlig svært at konstruere et bevis svarende til det, der præsenteres her, takket være begrebet kompakt. Den analytiske løsning er derimod virkelig tung. Et detaljeret bevis præsenteres i artiklen "  Isoperimetrisk sætning  ".

• En følge af det kontinuerlige billede af en kompakt sætning er:
  Enhver kontinuerlig anvendelse af et kompakt rum på et separat rum er lukket . Især hvis det er bijektivt, er det en homomorfisme . Desuden
  fra forbindelser mellem kompakt og lukket det umiddelbart udledes, at en sådan anvendelse er selv ren .
• For enhver kontinuerlig anvendelse f af et kompakt metrisk rum X i et separat rum er det kompakte f ( X ) målbart (for eksempel: billedet af en hvilken som helst sti i et separat rum er metrisk). Takket være en generel karakterisering af metriserbarheden af billedet af et metrisk rum ved et lukket kontinuerligt kort har vi endda ækvivalensen: et metrisk rum X er kompakt, hvis og kun hvis alle dets adskilte kontinuerlige billeder er målbare.

Bolzano-Weierstrass sætning og sekventiel kompakthed

I et kompakt rum har enhver uendelig del mindst et grænsepunkt . Mere generelt enhver kvasi-kompakt rum X er tælleligt kompakt , det vil sige enhver uendelig del af X har mindst en akkumuleringspunktet eller endda, at, i X , helst sekvens har mindst en værdi af adhæsion . Det omvendte er generelt falsk, men sandt, hvis rummet er metriserbart  : når K er et metriserbart rum (automatisk adskilt), siger Bolzano-Weierstrass sætning , at K er kompakt, hvis og kun hvis det er sekventielt kompakt , c 'det vil sige, hvis, i K , helst sekvens har en konvergent undersekvens .

Den første utallige ordinære (forsynet med ordens topologi ) og den lange linje er sekventielt kompakte, men ikke kompakte (de er dog lokalt kompakte ). Omvendt er produktrummet [0, 1] ℝ (det vil sige pladsen på kortene af ℝ i [0, 1], udstyret med topologien om enkel konvergens ) og komprimeret af Stone-Cech af ℕ (dvs. spektret af algebra ℓ ∞ af afgrænsede sekvenser) er kompakte, men ikke sekventielt kompakte. Disse fire rum er derfor utallige kompakte og ikke metriserbare.

Noter og referencer

1. Hvis du ikke angiver "familie ikke tømmes  ," det må erkendes, at i denne sammenhæng, skæringspunktet af et tomt familie af dele af et rum X er lig med X .
2. (in) Günter Bruns , "  Et lemma er rettet sæt og kæder  " , Archiv der Mathematik , bind.  18, nr .  6,1967, s.  561-563 ( læs online ).
3. En kæde af dele af X er en familie af dele af X, der er fuldstændigt ordnet ved inkludering.
4. Bourbaki , TG I.60, Gustave Choquet , Analysekursus, bind II: Topologi , s.  35og Hervé Queffélec, Topologi , Dunod,2007, 3 e  ed. , s.  70.
5. For et bevis (ved hjælp en generalisering af røret lemma ), se for eksempel dette korrigerede øvelse på Wikiversity .
6. For et bevis, se f.eks. Jacques Dixmier , General Topology , PUF , 1981, 4.2.6 og 4.2.7, s.  53 , eller kurset Kompakthed: første egenskaber på Wikiversity .
7. Se f.eks. Kurset Kompaktitet: første egenskaber på Wikiversity for en demonstration .
8. Med andre ord: hver quasi-kompakt er tælleligt kompakt .
9. Casimir Kuratowski, “  Evaluering af den borelianske eller projektive klasse af et sæt punkter ved hjælp af logiske symboler  ”, Fundamenta Mathematicae , bind.  17, nr .  1,1931, s.  249-272 ( læs online ).
10. (in) S. Mrówka, "  kompakthed og produktrum  " , Colloquium Mathematicae , vol.  7, n o  1,1959, s.  19-22 ( læs online ).
11. (en) MM Choban , "Lukkede kort" i KP Hart J.-I. Nagata og JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2004( ISBN  978-0-44450355-8 , læs online ) , s.  89(ved at oversætte kompakt engelsk med vores kvasi-kompakte ).
12. (i) James Munkres , topologi , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( læs online ) , s.  171.
13. Dette bevis er udvidet til at funktoner i artiklen "  Hemi-kontinuitet  ".
14. For eksempel kan du se kurset Compactness and Continuous Applications på Wikiversity .
15. (i) Stephen Willard , "  metriske rum af alle Whose dekompositioner er metriske  " , Proc. Bitter. Matematik. Soc. , Vol.  21,1969, s.  126-128 ( læs online ).
16. (i) Kiiti Morita og Sitiro Hanai , "  Lukkede kortlægninger og metriske rum  " , Proc. Japan Acad. , Vol.  32, n o  1,1956, s.  10-14 ( læs online ).
17. Vi udleder, at i et sådant rum konvergerer enhver sekvens, der kun har en adhæsionsværdi, mod denne værdi.

Bibliografi

• N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ detail of editions ], kapitel I
• Jean-Paul Pier , "  Genesis and evolution of the idea of ​​compact  ", Revue d'histoire des sciences et de their applications , bind.  14, nr .  21961, s.  169-179 ( læs online )
• Jean-Paul Pier , "  Historien om begrebet kompakthed  ", Historia Mathematica , bind.  7, nr .  4,November 1980, s.  425-443 ( DOI  10.1016 / 0315-0860 (80) 90006-3 )
• Georges Skandalis , topologi og analyse 3 rd  år , Dunod, coll. "Sciences Sup", 2001
• Claude Wagschal, Topologi og funktionel analyse , Hermann, coll. "Metoder", 1995

Relaterede artikler

• Komprimering
• Kompakt element  (in) i rækkefølge teori
• Kompakt genereret plads
• Lindelöf plads
• Lokalt kompakt plads
• Rummetacompact  (da)
• Noetherian plads
• Parakompakt plads
• Præ-kompakter plads
• Pseudokompakt plads  (in)
• Relativ kompakt del