Gamma-funktion

Gamma-funktionen er fuldt karakteriseret blandt de holomorfe funktioner i det komplekse halvplan Re ( z )> 0 af følgende tre egenskaber ( Wielandts sætning ):

• Γ(1)=1{\ displaystyle \ Gamma (1) = 1 \,}
• For alle z sådan, at Re ( z )> 0 ,Γ(z+1)=zΓ(z){\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \; \ Gamma (z) \,}
• |Γ(z)|{\ displaystyle | \ Gamma (z) | \,}er afgrænset i båndet 1 ≤ Re ( z ) ≤ 2.

Andre egenskaber

Tillægsformel

Gamma-funktionen kontrollerer Eulers refleksionsformel eller supplerer formlen

∀z∈VS∖ZΓ(1-z)Γ(z)=πsynd⁡(πz),{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} \ quad \ Gamma (1-z) \; \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} ,}

at vi beviser ved først at bemærke, at Γ (1 - z ) Γ ( z ) er 2-periodisk og har de samme poler og rester som . πsynd⁡(πz){\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)}}}

Multiplikationsformel

Gamma-funktionen kontrollerer også duplikationsformlen: Γ(z)Γ(z+12)=21-2zπΓ(2z).{\ displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} \; {\ sqrt {\ pi}} \; \ Gamma (2z).}

Kopieringsformlen er et specielt tilfælde af multiplikationssætningen:

Γ(z)Γ(z+1m)Γ(z+2m)⋯Γ(z+m-1m)=(2π)(m-1)/2m1/2-mzΓ(mz).{\ displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {m}} \ right) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {2} {m}} \ til højre) \ cdots \ Gamma \ left (z + {\ frac {m-1} {m}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(m-1) / 2} \; m ^ {1/2 -mz} \; \ Gamma (mz).}

Denne funktion vises også i formler inklusive Riemann zeta-funktionen .

Rester

Gamma-funktionen har en pol af orden 1 i z  = - n for ethvert naturligt tal n . Den rest af funktionen på denne pol er givet ved:

Res⁡(Γ,-ikke)=(-1)ikkeikke!.{\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ Gamma, -n) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}}.}

Derivater

Gamma-funktionen er uendelig differentierbar på (det vil sige p gange differentierbar for ethvert heltal p ). Dens derivat udtrykkes ved hjælp af digamma-funktionen  :R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}Γ′(z)=Γ(z)ψ0(z).{\ displaystyle \ Gamma '(z) = \ Gamma (z) \ psi _ {0} (z). \,}

Mere generelt dens p- th derivat har på følgende integral udtryk: R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

Γ(s)(x)=∫0+∞(ln⁡t)stx-1e-tdt{\ displaystyle \ Gamma ^ {(p)} (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {(\ ln t) ^ {p} \, t ^ {x-1} \, \ operatorname {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}}

Forbindelse med Gaussiske summer

Definition af gamma-funktionen som en integral får den til at fremstå som en sammenblanding mellem et additivt tegn (det eksponentielle) og et multiplikativt tegn ( ). x↦xs{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {s}}

Link til andre funktioner

Gamma-funktionen er relateret til Riemann- funktionen ζ ved:

ζ(s)Γ(s)=∫0+∞ts-1et-1dt{\ displaystyle \ zeta (s) \, \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {s-1}} {\ mathrm {e} ^ {t} -1}} \, \ mathrm {d} t}

Det er relateret til eta-funktionen af ​​Dirichlet af:

Γ(s)η(s)=∫0∞xs-1ex+1dx{\ displaystyle \ Gamma (s) \, \ eta (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {\ mathrm {e} ^ {x} + 1}} \, \ mathrm {d} x}

∫01∫01(-ln⁡(xy))s-21+xydxdy{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {(- \ ln (xy)) ^ {s-2}} {1 + xy}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}

I definitionen af ​​gamma-funktionen i integralform er integralens grænser faste; den ufuldstændige gammafunktion er den funktion, der opnås ved at ændre den nedre eller den øvre grænse.

Gamma-funktionen er relateret til beta-funktionen ved hjælp af formlen:

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \; \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}

Den logaritmen gammafunktionen kaldes lngamma . Det er især involveret i løsning af bølgeudbredelsesproblemer  : den funktionelle ligning af lngamma-funktionen er:

ln⁡Γ(z)=ln⁡Γ(z+1)-ln⁡(z){\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) = \ ln \ Gamma (z + 1) - \ ln (z)}

Hvis vi kender funktionens værdier på et bånd med bredde 1 i Re ( z ), opnår vi ved denne relation værdierne i et nabobånd af samme bredde, og vi kan gentage denne proces. Startende med en z med Re ( z ) >> 1, som vi kender en god tilnærmelse for, kan vi således nå værdien for enhver z .

Rocktaeschel (1922 efter en indikation af Gauss) foreslår en tilnærmelse til Re ( z ) large:

ln⁡Γ(z)≈(z-12)ln⁡z-z+12ln⁡(2π){\ displaystyle \ ln \ Gamma (z) \ approx (z - {\ tfrac {1} {2}}) \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln (2 \ pi)}

Vi kan udlede en tilnærmelse af ln Γ ( z ) for mindre Re ( z ) ved hjælp af:

ln⁡Γ(z-m)=ln⁡Γ(z)-∑k=1mln⁡(z-k){\ displaystyle \ ln \ Gamma (zm) = \ ln \ Gamma (z) - \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ ln (zk)}

Den afledte af logaritmen af gammafunktionen kaldes digamma funktion . Derivater af højere orden er polygammafunktionerne .

En analog af gammafunktionen over et endeligt felt eller en endelig ring tilvejebringes af Gauss-summerne .

Ifølge Eulers udtryk for gamma-funktionen ( se ovenfor ) er dens inverse  (en) en heltalsfunktion .

Særlige værdier

Dette afsnit angiver nogle særlige værdier for gamma  (en) -funktionen og dens derivater.

Værdien af Γ (1/2) = √ π er den af ​​den Gaussiske integral  ; det kan også udledes af tillægsformlen . Denne værdi gør det muligt ved induktion at bestemme de andre værdier for gammafunktionen for positive halvtal:

Γ(3/2)=π2,Γ(5/2)=3π4,...,{\ displaystyle \ Gamma (3/2) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}, \ quad \ Gamma (5/2) = {\ frac {3 {\ sqrt {\ pi}} } {4}}, \ ldots,}

Γ(ikke+12)=(ikke-12)Γ(ikke-12)=(ikke-12)(ikke-32)⋯3212Γ(12)=(2ikke)!22ikkeikke!π{\ displaystyle \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left (n - { \ frac {1} {2}} \ højre) = \ venstre (n - {\ frac {1} {2}} \ højre) \ venstre (n - {\ frac {3} {2}} \ højre) \ cdots {\ frac {3} {2}} \, {\ frac {1} {2}} \, \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {(2n )!} {2 ^ {2n} n!}} {\ Sqrt {\ pi}}}

men også negativ, for eksempel:

Γ(-1/2)=-2π{\ displaystyle \ Gamma (-1/2) = - 2 {\ sqrt {\ pi}}}

Vedrørende dets derivater, med γ den Euler-Mascheroni konstant  :

Γ′(ikke+1)=Γ(ikke+1)ψ0(ikke+1)=ikke!(-γ+∑1≤k≤ikke1k){\ displaystyle \ Gamma '(n + 1) = \ Gamma (n + 1) \ psi _ {0} (n + 1) = n! \ left (- \ gamma + \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} {\ frac {1} {k}} \ højre)}

Γ′(ikke+12)=Γ(ikke+12)ψ0(ikke+12)=(2ikke)!22ikkeikke!π(-γ-2ln⁡2+∑1≤k≤ikke22k-1){\ displaystyle \ Gamma '\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ psi _ {0 } \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} n!}} {\ sqrt {\ pi}} \ left ( - \ gamma -2 \ ln 2+ \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} {\ frac {2} {2k-1}} \ højre)}

Γ″(1/2)=π(γ+2ln⁡(2))2+π5/22,Γ″(1)=γ2+π26,Γ″(2)=(1-γ)2+π26-1{\ displaystyle \ Gamma '' (1/2) = {\ sqrt {\ pi}} (\ gamma +2 \, \ ln (2)) ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {5/2 }} {2}}, \ quad \ Gamma '' (1) = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}, \ quad \ Gamma '' (2) = (1- \ gamma) ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1}

Vi kender nogle resultater af transcendens og endda af algebraisk uafhængighed af værdierne Γ på bestemte rationelle punkter .

En formodning om Rohrlich forudsagde, at ethvert multiplikativt formforhold

πb/2∏Γ(påk)mk∈Q¯,(b∈Z,påk∈Q,mk∈Z){\ displaystyle \ pi ^ {b / 2} \ prod \ Gamma (a_ {k}) ^ {m_ {k}} \ i {\ overline {\ mathbb {Q}}}, \ quad (b \ in \ mathbb {Z}, \; a_ {k} \ in \ mathbb {Q}, \; m_ {k} \ in \ mathbb {Z})}

(hvor ℚ angiver feltet med algebraiske tal ) udledes af de tre standardrelationer:

Γ(z+1)=zΓ(z),Γ(1-z)Γ(z)=πsynd⁡(πz),∏0≤k<ikkeΓ(z+kikke)=(2π)(ikke-1)/2ikke-ikkez+1/2Γ(ikkez){\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z), \ quad \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}, \ quad \ prod _ {0 \ leq k <n} \ Gamma \ left (z + {\ frac {k} {n}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} n ^ {- nz +1/2} \ Gamma (nz)}

Asymptotisk Stirling-formel

Fra Γ ( z ) og Γ ( z +1)

The Stirling formel giver en ækvivalent i nærheden af uendelighed af faktoren:

ikke!=2πikkeikke+12e-ikke+μ(ikke) til ikke∈IKKE ,{\ displaystyle n \ ,! = {\ sqrt {2 \ pi}} \, n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- n + \ mu ( n)} {\ text {for}} n \ i \ mathbb {N} \,}

med μ den Binet funktionen  :

μ(z)=∑k=1∞B2k2k(2k-1)z2k-1 ,{\ displaystyle \ mu (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}},}

og B i de Bernoullital . At vide, at Γ ( n +1) = n ! på ℕ generaliserer denne ækvivalent til gammafunktionen:

Γ(z+1)=2πzz+12e-z+μ(z) til z∈VS∖Z-∗ ,{\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- z + \ mu (z)} {\ text {for}} z \ i \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z _ {-} ^ {*}} \,}

hvorfra :

Γ(z)=Γ(z+1)z=2πzz-12e-z+μ(z) til z∈VS∖Z- .{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {z}} = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2 }}} {\ rm {e}} ^ {- z + \ mu (z)} {\ text {pour}} z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z _ {-}} \.}

Ved at beregne de første udtryk for e μ takket være den eksponentielle formel  (en) får vi den asymptotiske ekspansion  :

Γ(z)=2πzz-12e-z[1+112z+1288z2-13951840z3-5712488320z4+163879209018880z5+O(1z6)] .{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- z} \ left [1 + {\ frac {1} {12z}} + {\ frac {1} {288z ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840z ^ {3}}} - {\ frac {571} {2488320z ^ {4}}} + {\ frac {163879} {209018880z ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} \ venstre ({\ frac {1} {z ^ {6}}} \ højre ) \ ret] \.}

Fra Γ ( z + ½)

Ækvivalenten i z + ½ er værd:

Γ(z+12)=2πzze-z+β(z) ,{\ displaystyle \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z} {\ rm {e}} ^ {- z + \ beta (z)} \,}

med:

β(z)=∑k=1∞(122k-1-1)B2k2k(2k-1)z2k-1 ,{\ displaystyle \ beta (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left ({\ frac {1} {2 ^ {2k-1}}} - 1 \ right) B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}} \,}

deraf den asymptotiske udvikling:

Γ(z+12)=2πzze-z[1-124z+11152z2+1003414720z3-402739813120z4-51284236688604160z5+O(1z6)] .{\ displaystyle \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z} {\ rm {e}} ^ {- z} \ left [1 - {\ frac {1} {24z}} + {\ frac {1} {1152z ^ {2}}} + {\ frac {1003} {414720z ^ {3}}} - {\ frac {4027} {39813120z ^ {4}}} - {\ frac {5128423} {6688604160z ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {1} {z ^ {6} }} \ højre) \ højre] \.}

Almindelig sag

Mere generelt for | a | <| z | , ækvivalenten i z + a ∉ ℤ - er værd:

Γ(z+på)=2πzz+på-12eksp⁡(-z-∑k=2∞Bk(på)k(k-1)(-z)k-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (a)} {k (k-1) (- z) ^ {k-1}}} til højre)}

hvor B k er Bernoulli polynomierne .

Ved generalisering på komplekserne af Stirling-formlen ved vi, at for z ∉ ℤ -  :

Γ(z)=2πzz-12eksp⁡(-z+∑k=1∞B2k2k(2k-1)z2k-1){\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}} \ højre)}

Da Bernoulli-numrene med ulige rang større end eller lig med 3 er nul , kan vi også skrive ved at ændre variablen i = 2 k og introducere (nul) vilkårene for ulige rang:

Γ(z)=2πzz-12eksp⁡(-z+∑jeg=2∞Bjegjeg(jeg-1)zjeg-1){\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1}}} til højre)}

hvorfra :

Γ(z+på)=2π(z+på)z+på-12eksp⁡(-(z+på)+∑jeg=2∞Bjegjeg(jeg-1)(z+på)jeg-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, (z + a) ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (- (z + a) + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) (z + a) ^ {i-1}}} \ højre )}

z er ikke-nul, kan vi faktor z + a i z × (1+ a / z )  :

Γ(z+på)=2πzz+på-12(1+påz)z+på-12eksp⁡(-z-på+∑jeg=2∞Bjegjeg(jeg-1)zjeg-1(1+påz)jeg-1)=2πzz+på-12eksp⁡(-z+(z+på-12)ln⁡(1+påz)-på+∑jeg=2∞Bjegjeg(jeg-1)zjeg-1(1+påz)-(jeg-1)).{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (z + a) & = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ left ( 1 + {\ tfrac {a} {z}} \ højre) ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-za + \ sum _ {i = 2} ^ { \ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1} (1 + {\ frac {a} {z}}) ^ {i-1}}} \ højre ) \\ & = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ left (z + a- { \ frac {1} {2}} \ højre) \ ln \ venstre (1 + {\ frac {a} {z}} \ højre) -a + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1}}} \ venstre (1 + {\ frac {a} {z}} \ højre) ^ {- (i-1)} \ højre). \ slut {justeret}}}

Efter at have stillet | a | <| z | , vi har | a / z | <1 , der på den ene side muliggør at udvikle Taylor-serien af logaritmen ln (1 + x ) (gyldig for | x | <1 ) og på den anden side den negative binomiale (1 + x ) - n (gyldig for | x | <1 og n ∈ ℕ * ):

ln⁡(1+påz)=-∑k=1∞(-påz)kk=-∑k=1∞(-på)kkzk=-∑k=2∞(-på)k-1(k-1)zk-1{\ displaystyle \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- {\ frac { a} {z}} \ højre) ^ {k}} {k}} = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} {k \, z ^ {k}}} = - \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k- 1}}}}

(1+påz)-(jeg-1)=∑j=0∞(jeg+j-2j)(-påz)j=∑j=0∞(jeg+j-2)!(-på)j(jeg-2)!j!zj.{\ displaystyle \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ binom {i + j-2} {j}} \ left (- {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {j} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(i + j-2)! \, (- a) ^ {j}} {(i-2)! \, j! \, z ^ {j}}}.}

Vi har derfor på den ene side ved udviklingen af ​​logaritmen:

zln⁡(1+påz)=-∑k=1∞(-på)kkzk-1=på-∑k=2∞(-på)kkzk-1{\ displaystyle z \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k }} {k \, z ^ {k-1}}} = a- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} {k \, z ^ {k-1}}}}

og:

påln⁡(1+påz)=-på∑k=2∞(-på)k-1(k-1)zk-1=∑k=2∞(-på)k(k-1)zk-1{\ displaystyle a \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - a \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ { k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} { (k-1) \, z ^ {k-1}}}}

hvorfra :

(z+på-12)ln⁡(1+påz)-på=på+∑k=2∞(1k-1-1k)(-på)kzk-1+12∑k=2∞(-på)k-1(k-1)zk-1-på=∑k=2∞(-på)kk(k-1)zk-1+12∑k=2∞(-på)k-1(k-1)zk-1=∑k=2∞(-på)k+k2(-på)k-1k(k-1)zk-1.{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (z + a - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) - a & = a + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k-1}} - {\ frac {1} {k}} \ right) {\ frac {(-a) ^ {k}} {z ^ {k-1}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(- a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} - en \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {( -a) ^ {k}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty } {\ frac {(-a) ^ {k} + {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k -1}}}. \ Afslut {justeret}}}

Vi har på den anden side ved udviklingen af ​​den negative binomial, derefter ved at gå videre til ændringen af ​​variablen k = i + j  :

Bjegjeg(jeg-1)zjeg-1(1+påz)-(jeg-1)=∑j=0∞Bjeg(jeg+j-2)!(-på)jjeg!j!zjeg-1+j=∑k=jeg∞Bjeg(k-2)!(-på)k-jegjeg!(k-jeg)!zk-1=∑k=jeg∞(kjeg)Bjeg(-på)k-jegk(k-1)zk-1 .{\ displaystyle {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}}} venstre (1 + {\ frac {a} {z}} \ højre) ^ {- (i-1)} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i} \, (i + j-2)! \, (- a) ^ {j }} {i! \, j! \, z ^ {i-1 + j}}} = \ sum _ {k = i} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i} \, (k-2 )! \, (- a) ^ {ki}} {i! \, (ki)! \, z ^ {k-1}}} = \ sum _ {k = i} ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \.}

Da for k < i , og jeg er mindst 2 , kan vi udvide ovenstående sum for k gående fra 2 (nedenfor ville vi have den ubestemte form 0/0 ) til i - 1 (summen af i - 2 termer, så i værste fald en tom , gyldig sum , hvis jeg = 2 ): (kjeg)=0{\ displaystyle {\ tbinom {k} {i}} = 0}

Bjegjeg(jeg-1)zjeg-1(1+påz)-(jeg-1)=∑k=2∞(kjeg)Bjeg(-på)k-jegk(k-1)zk-1{\ displaystyle {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}}} venstre (1 + {\ frac {a} {z}} \ højre) ^ {- (i-1)} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki }} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}}}

Vi husker, at Bernoullis polynomer bekræfter  :

Bk(x)=∑jeg=0k(kjeg)Bjegxk-jeg=B0xk+kB1xk-1+∑jeg=2k(kjeg)Bjegxk-jeg=xk-k2xk-1+∑jeg=2k(kjeg)Bjegxk-jeg{\ displaystyle B_ {k} (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} {\ binom {k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki} = B_ {0} \ , x ^ {k} + k \, B_ {1} \, x ^ {k-1} + \ sum _ {i = 2} ^ {k} {\ binom {k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki} = x ^ {k} - {\ frac {k} {2}} \, x ^ {k-1} + \ sum _ {i = 2} ^ {k} {\ binom { k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki}}

samt  :

Bk(-x)=(-1)k[Bk(x)+kxk-1]=(-1)kBk(x)-k(-x)k-1{\ displaystyle B_ {k} (- x) = (- 1) ^ {k} \ left [B_ {k} (x) + k \, x ^ {k-1} \ right] = (- 1) ^ {k} B_ {k} (x) -k \, (- x) ^ {k-1}}

hvorfra :

∑jeg=2∞Bjegjeg(jeg-1)zjeg-1(1+påz)-(jeg-1)=∑k=2∞∑jeg=2∞(kjeg)Bjeg(-på)k-jegk(k-1)zk-1=∑k=2∞Bk(-på)-(-på)k+k2(-på)k-1k(k-1)zk-1=∑k=2∞(-1)kBk(på)-k(-på)k-1-(-på)k+k2(-på)k-1k(k-1)zk-1=∑k=2∞(-1)kBk(på)-(-på)k-k2(-på)k-1k(k-1)zk-1=-∑k=2∞Bk(på)k(k-1)(-z)k-1-[(z+på-12)ln⁡(1+påz)-på].{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}} } \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {i = 2 } ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki}} {k \, (k-1) \, z ^ {k -1}}} = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (- a) - (- a) ^ {k} + {\ frac {k} {2} } \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty } {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k} (a) -k \, (- a) ^ {k-1} - (- a) ^ {k} + {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k} (a) - (- a) ^ {k} - {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = - \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ { k} (a)} {k \, (k-1) \, (- z) ^ {k-1}}} - \ left [\ left (z + a - {\ tfrac {1} {2}} \ højre) \ ln \ venstre (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ højre) -a \ højre]. \ slut {justeret}}}

Så for | a | <| z |  :

Γ(z+på)=2πzz+på-12eksp⁡(-z-∑k=2∞Bk(på)k(k-1)(-z)k-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (a)} {k (k-1) (- z) ^ {k-1}}} til højre)}

Ved at sætte en henholdsvis lig til 0 , ½ og 1 , og at kende de særlige værdier for de Bernoulli polynomier på disse punkter, vi straks finde ækvivalenter i z , z + ½ og z + 1 nævnt ovenfor.

Historie

Den første forekomst af et produkt, der senere vil give anledning til gamma-funktionen, skyldes Daniel Bernoulli i et brev til Christian Goldbach .

I moderne notation

x!=limikke→∞(ikke+1+x2)x-1∏jeg=1ikkejeg+1jeg+x{\ displaystyle x! = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (n + 1 + {\ frac {x} {2}} \ right) ^ {x-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {i + 1} {i + x}}}

Også i 1729 foretog Euler undersøgelsen af ​​dette produkt og gav det sin integrerede form.

Det var Legendre, der i 1811 bemærkede denne funktion og bragte mange tilføjelser til sit studie. Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Artiklen af Borwein og Corless gennemgår tre århundreder af matematisk arbejde med gamma-funktionen.

Noter og referencer

1. Se for eksempel starten på denne rettede opgave på Wikiversity .
2. For den særlige sag, hvor z er en strengt positiv virkelighed, se artiklen Bohr-Mollerup sætning . For den generelle sag, se denne korrigerede øvelse på Wikiversity .
3. (De) O. Schlömilch, "  Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art  " , Archiv der Mathematik und Physik , vol.  4,1844, s.  171 ( læs online ).
4. (i) JLWV Jensen , "  En elementær redegørelse for teorien om gammafunktionen  " , Ann. af matematik. , 2 nd serier, vol.  17, nr .  3,1916, s.  124-166 ( JSTOR  2007272 )( s.  128 ).
5. "I 1844, 32 år før Weierstrass berømte arbejde om heltalfunktioner  "  : (en) SS Dragomir, RP AgarwalRavi Agarwal og NS Barnett, "  Inequalities for Beta and Gamma features  via some classic and new integral inequalities  " , J. Inequal. Appl. (nl) , bind.  5, nr .  22000, s.  103-165 ( læs online )( s.  107 ).
6. (in) Jesús Guillera og Jonathan Sondow, "  Dobbelt integraler og uendelige produkter til nogle klassiske konstanter gennem analytiske fortsættelser af Lerchs transcendente  " , The Ramanujan Journal , bind.  16, nr .  3,2008, s.  247-270 ( DOI  10.1007 / s11139-007-9102-0 , arXiv  matematik / 0506319 ).
7. (i) Karl mere rå , Wave Propagation i ionosfæren , Dordrecht, Kluwer Academic Publishers,1993.
8. Fra (de) ELLER Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument , University of Technology Dresden ,1922, doktorafhandling.
9. (de) PE Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale , Leipzig, Köhler Verlag,1939.
10. (i) Serge Lang , Complex Analysis , Springer , al.  "  GTM  " ( nr .  103)1998, 489  s. ( ISBN  978-0-387-98592-3 , læs online ) , s.  418.
11. Paul Heinrich Fuss , matematisk og fysisk korrespondance af nogle berømte matematikere XVIII th  århundrede , bd.  II, Skt. Petersborg, Imperial Academy of Sciences ,1843( læs online ) , s.  324-325.
12. (i) Detlef Gronau , "  Hvorfor er gammafunktionen sådan, som den er?  ” , Undervisning i matematik og datalogi , bind.  1, n o  1,2003, s.  43-53.
13. G. K. Srinivasan, “  The Gamma function: An Eclectic Tour  ”, The American Mathematical Monthly , bind.  114, nr .  4,2007, s.  297-315 ( DOI  10.1080 / 00029890.2007.11920418 )
14. L. Euler, “  De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt  ” , på http://eulerarchive.maa.org
15. A.-M. Legendre, Øvelser i integralregning på forskellige ordrer af transcendent og på quadratures , t.  1, Vve Courcier (Paris),1811( læs online ) , s.  221
16. (i) Jonathan M. Borwein og Robert M. Corless, Gamma og Fakultet i Monthly , den 17. marts, 2017 arXiv : 1703,05349

Se også

Relaterede artikler

• Gaussisk konstant
• Gammalov
• Betafunktion
• Digamma-funktion
• Elliptisk funktion gamma  (en)
• Ufuldstændig gamma-funktion
• Flerdimensionel gammafunktion
• Polygamma-funktion
• Trigamma-funktion  (da)
• Chowla-Selberg formel
• Hadjicostas formel
• Stirling formel
• Bohr-Mollerup sætning
• Særlige funktioner
• Hölders sætning

Bibliografi

• (en) Emil Artin , Gamma-funktionen , Dover ,2015( 1 st  ed. 1964), 48  s. ( læs online )Elementær og klassisk, oversat fra (de) Einführung in theorie der Gammafunktion , 1931.
• Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ udgaver af detaljer ]s. 292-296 i ed. Hermann fra 1968
• (en) Refaat El Attar, særlige funktioner og ortogonale polynomer , Lulu Press,2006, 310  s. ( ISBN  978-1-4116-6690-0 , læs online ) , s.  57-76
• Maurice Godefroy, Gamma-funktionen: teori, historie, bibliografi , Gauthier-Villars ,1901( læs online )
• Thomas Joannes Stieltjes , "  Om udviklingen af log Γ (a)  ", J. Math. Ren appl. , 4 th serier, vol.  5,1889, s.  425-466 ( læs online )
• ( fr ) Edmund Taylor Whittaker og George Neville Watson , A Course of Modern Analysis , CUP , koll.  "Cambridge Mathematrical Library",1927( Repr.  1996), 4 th  ed. , 608  s. ( ISBN  0-521-58807-3 , læs online ) , kap.  XII ("Gamma-funktionen") , s.  235-264

eksterne links

• (da) Eric W. Weisstein , "  Gamma-funktion  " , på MathWorld
• RA Askey og R. Roy , "  Gamma-funktion  " , på NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press,2010( ISBN  978-0521192255 )