Geometrisk gennemsnit

I matematik er det geometriske gennemsnit en type middel .

Elementær definition

Det geometriske gennemsnit af to positive tal $a$ og $b$ er det positive tal $c$ således at:

{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {c} {b}}}

Geometrisk fortolkning

Geometrisk er dette tal $c$ siden af et kvadrat, hvis areal er det samme som for rektanglet af siderne $a$ og $b$ , da i dette tilfælde:

c ^ {2} = ab.

Vi kan direkte beregne det geometriske gennemsnit af to tal ved at tage kvadratroden af det forrige udtryk:

c = {\ sqrt {ab}} = (ab) ^ {{1/2}}.

Generalisering

Diskret sag

I denne sidste form ser vi, at logaritmen (i enhver base) omdanner udtrykket til et aritmetisk gennemsnit: (forudsat at $a$ og $b$ ikke er nul, logaritmen ikke defineret i 0). ${\ displaystyle \ log c = {\ frac {\ log a + \ log b} {2}}}$

Derfor generaliseringen: det geometriske gennemsnit af en ikke-nul positiv kvantitativ statistisk serie defineres således, at dens logaritme er det aritmetiske gennemsnit af logaritmerne for værdierne i serien.

Dens formulering kan gøres som følger:

\ log {\ bar x} = {\ frac {\ log x_ {1} + \ log x_ {2} + \ ldots + \ log x_ {n}} n} = {1 \ over n} \ sum _ {{ i = 1}} ^ {n} \ log x_ {i}.

Vi kan udlede:

{\ bar x} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ ldots \ times x_ {n}}} = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} {x_ {i}}}}.

For en statistisk serie, hvis samlede antal forekomster er uendelig eller ukendt, men hvis antal mulige ikke-nul positive værdier er endelig, og deres respektive frekvenser i serien er kendt, bliver den matematiske formulering:

{\ displaystyle \ log {\ bar {x}} = {\ frac {f_ {1} \ log x_ {1} + f_ {2} \ log x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ log x_ { n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i} \ log x_ {i }}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}}, \ quad \ mathrm {med} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i }} = 1.}

Vi udleder (ved hjælp af for eksempel den naturlige logaritme ):

{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ exp \ left ({\ frac {f_ {1} \ ln x_ {1} + f_ {2} \ ln x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ ln x_ {n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} til højre) = \ exp \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n } f_ {i} \ ln x_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}} til højre),}

hvorfra :

{\ bar x} = {x_ {1}} ^ {{f_ {1}}} \ gange {x_ {2}} ^ {{f_ {2}}} \ gange \ ldots \ gange {x_ {n}} ^ {{f_ {n}}} = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} {{x_ {i}} ^ {{f_ {i}}}}.

Kontinuerlig sag

Den geometriske middelværdi af en fordeling $f$ af en kontinuerlig variabel med værdien i et endeligt skalar interval $[ x 0 , x 1 ]$ er generaliseringen på grænsen af det foregående diskrete statistiske formel:

\ log {{\ bar f} _ {{x_ {0}}} ^ {{x_ {1}}}} = \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x_ {1}}} {\ log xf (x) ~ {\ mathrm d} x},

hvorfra :

{\ displaystyle {\ bar {f}} _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} \ ln xf ( x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {with} \ quad \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1 .}

Dens dimension er ikke en frekvens, men er dens kontinuerlige variabel.

Hvis fordelingen $f$ er defineret på alle de reelle værdier af dens kontinuerlige variabel, er det geometriske gennemsnit af fordelingen:

{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ exp \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ ln xf (x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {med} \ quad \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1.}

Interesse

For statistikere er det geometriske gennemsnit ( antilogaritme af gennemsnittet af logaritmerne for hver af observationer) mindre følsomt end det aritmetiske gennemsnit for de højeste værdier i en dataserie. Det giver derfor et andet og bedre skøn over den centrale tendens for dataene i tilfælde af en langhalefordeling i den øverste ende af kurven (distributionstype hyppig i sundheds- eller miljøforanstaltninger fx giftig i kroppen, blodet eller miljøet , hvor visse personer eller grupper, der er sårbare eller udsat for bestemte tilfælde, er mere berørt)

Se også

Root Mean Square : Baseret på det aritmetiske gennemsnit af firkanterne .
Gennemsnit : præsentation af andre gennemsnit
Statistisk : det aritmetiske gennemsnit er en upartisk estimator af forventningen.
Aritmetisk-geometrisk ulighed