Affine koordinatsystem
I affin geometri en affin ramme et affin rum til at associere så-til-en på ethvert punkt i rummet, et sæt koordinater med værdier i kroppen, hvorpå der er defineret det tilknyttede vektorrum. Et affinekort defineres og bestemmes fuldstændigt af billedet af et affinakoordinatsystem.
Terminologien er ikke ligefrem fast: under navnet affin benchmark finder vi to forskellige, men stærkt forbundne forestillinger. For det første består en affin referenceramme, også kaldet i dette tilfælde kartesisk ramme , af et punkt i det betragtede affinerum og en base af det tilknyttede vektorrum. For det andet er et affinekoordinatsystem, også kaldet i dette tilfælde affinbase , det ordnede nulpunkt for punkterne i det affine rum, således at punktsættet ikke er indeholdt i et andet affint rum end hele rummet ( genererende familie ) og at intet punkt hører til det affine underrum, der genereres af de resterende punkter ( fri raffineringsfamilie eller uafhængige raffineringspoint ). Et kartesisk koordinatsystem gør det meget let at definere et affinitetsgrundlag og omvendt.
I tilfælde af et affinrum med en begrænset dimension n består en affin referenceramme i betydningen kartesisk referenceramme af et punkt og n- vektorer (i en bestemt rækkefølge), en affin referenceramme i betydningen affin base består af n + 1 point, igen i en bestemt rækkefølge.
De kartesiske koordinater, der naturligt udtrykkes i en kartesisk koordinat affin ramme til sans, og barycentriske koordinater udtrykkes naturligt i en affin ramme under affin base, også nævnt undertiden markere barycentric .
Affine eller kartesisk koordinatsystem
Definition
I et affinalt rum, hvor vektorrummet bærer sin struktur på kroppen K , er en affin ramme eller kartesisk ramme et par
E=(E,V){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (E, V)}V{\ displaystyle V}
R=(O;e){\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (O; e)},
hvor er et punkt (kaldet koordinatsystemets oprindelse ) og er en hvilken som helst base af .
O{\ displaystyle O}E{\ displaystyle E}e{\ displaystyle e}V{\ displaystyle V}
Ethvert punkt af , er placeret ved sine kartesiske koordinater i rammen : de er koordinaterne for vektoren i bunden af . Hvornår har en begrænset dimension n er grundlaget skrevet, og vi har:
M{\ displaystyle M}E{\ displaystyle E}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}}}e{\ displaystyle e}V{\ displaystyle V}E{\ displaystyle E}e=(e1,e2,...,eikke){\ displaystyle e = (e_ {1}, e_ {2}, \ dots, e_ {n})}
MR=OM→e{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = {\ overrightarrow {OM}} _ {e}},
hvor betegner koordinaterne i i koordinatsystemet , og betegner koordinaterne for vektoren i basen .
MR∈Kikke×1{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} \ i K ^ {n \ gange 1}}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}OM→e{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} _ {e}}OM→∈V{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} \ i V}e{\ displaystyle e}
Denne definition er legitim på grund af det faktum, at valget af et privilegeret punkt i gør det muligt at etablere en en-til-en-korrespondance mellem punktrummet og vektorrummet (se affineret rum ). Oprindelsen, der vælges, koordinaterne for punkterne i E er koordinaterne for vektorerne, der er associeret med en-til-en korrespondance.
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}V{\ displaystyle V}
For ethvert par af punkterne A og B i E følger følgende ligestilling umiddelbart fra definitionen:
- PÅB→e=BR-PÅR.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} _ {e} = B _ {\ mathcal {R}} - A _ {\ mathcal {R}}.}
Ligninger af referenceændring i affine rum
I det samme affine dimensionelle rum , hvis og er to forskellige referencerammer, opnås koordinaterne fra koordinaterne for det samme punkt, men i rammen ved hjælp af følgende ligninger:
E=(E,V){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (E, V)}ikke{\ displaystyle n}R=(O;e){\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (O; e)}R′=(O′;e′){\ displaystyle {\ mathcal {R}} '= (O'; e ')}MR′=(x1′x2′⋮xikke′){\ displaystyle M _ {{\ mathcal {R}} '} = {\ begin {pmatrix} x' _ {1} \\ x '_ {2} \\\ vdots \\ x' _ {n} \ end {pmatrix}}}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}MR=(x1x2⋮xikke){\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}}
{x1′=på11x1+på12x2+⋯+på1ikkexikke+b1x2′=på21x1+på22x2+⋯+på2ikkexikke+b2⋮xikke′=påikke1x1+påikke2x2+⋯+påikkeikkexikke+bikke{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '_ {1} = a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ prikker + a_ {1n} x_ {n} + b_ {1} \\ x '_ {2} = a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ prikker + a_ {2n} x_ {n} + b_ {2} \\\ vdots \\ x '_ {n} = a_ {n1} x_ {1} + a_ {n2} x_ {2} + \ dots + a_ {nn} x_ {n} + b_ {n} \\\ end {matrix }} \ ret.}
hvilke matricer der er skrevet , hvor er matrixen for passage ind for at passere fra basen til basen , ogMR′=PÅ⋅MR+B{\ displaystyle M _ {{\ mathcal {R}} '} = A \ cdot M _ {\ mathcal {R}} + B}PÅ=(påjegj)1≤jeg,j≤ikke{\ displaystyle A = (a_ {ij}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}V{\ displaystyle V}e′{\ displaystyle e '}e{\ displaystyle e}B=(b1b2⋮bikke)=OR′.{\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {n} \ end {pmatrix}} = O _ {{\ mathcal {R}} '} .}
Forholdet mellem og er som følger:
OR′{\ displaystyle O _ {{\ mathcal {R}} '}}OR′{\ displaystyle O '_ {\ mathcal {R}}}
OR′=-PÅ⋅OR′.{\ displaystyle O _ {{\ mathcal {R}} '} = - A \ cdot O' _ {\ mathcal {R}}.}
Ligningerne for referenceændring i den anden retning (af mod ) skrives derefter:
R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}
MR=PÅ-1⋅MR′-PÅ-1B=PÅ-1⋅MR′+OR′.{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = A ^ {- 1} \ cdot M _ {{\ mathcal {R}} '} - A ^ {- 1} B = A ^ {- 1} \ cdot M_ {{\ mathcal {R}} '} + O' _ {\ mathcal {R}}.}
Afgræns vartegn og kanonisk affin plads
Ethvert affin koordinatsystem i et affin rum gør det muligt at etablere en isomorfisme (affin) mellem og det kanoniske affine rum Faktisk er kortet defineret af
R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}} PÅikke(K).{\ displaystyle A ^ {n} (K).}T:E→PÅikke(K){\ displaystyle T: {\ mathcal {E}} \ til A ^ {n} (K)}
T(M)=MR,{\ displaystyle T (M) = M _ {\ mathcal {R}},}til ethvert punkt ,
M{\ displaystyle M}
det vil sige at kortet, der associeres på et hvilket som helst punkt af dets koordinater set som et element i , er et bijektivt affinekort mellem og sådan, at dets gensidige også er affin ( er en affin isomorfisme).
E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Kikke{\ displaystyle K ^ {n}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}PÅikke(K),{\ displaystyle A ^ {n} (K),}T{\ displaystyle T}
Ethvert affint rum på et felt af dimension n er derefter isomorft (opfører sig identisk fra et affinrums synspunkt) til det kanoniske affine rum . De affine rum, der skal undersøges, er derfor simpelthen de kanoniske affine rum (også betegnet ), der tjener som modeller .
K{\ displaystyle K}PÅikke(K).{\ displaystyle A ^ {n} (K).}PÅikke{\ displaystyle A_ {n}}
Reference eller affin base
Et affinitetsgrundlag for rum E , som mange forfattere også kalder affinereference, er en familie af punkter i dette rum, fri forfining og generator for hele rummet.
Gratis raffineringsfamilie
I en affin rum E , en familie (A jeg ) jeg ∈ I af point fra E siges at være fri raffinement, hvis ingen af punkterne A j af familien tilhører den underrum genereret af de resterende punkter (A i ) I ∈ Jeg , jeg ≠ j . Der er faktisk flere måder at sige, at en familie er fri forfining ved at gå tilbage til det underliggende vektorrum eller endda ved at bruge barycentre . En familie er således fri raffinement, hvis og kun hvis den opfylder en af følgende egenskaber (alt ækvivalent):
- for en given j i I , vektorenes familie:
(PÅjPÅjeg→)jeg∈jeg,jeg≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq j}}
er en
gratis familie ;
- for alle j i I , vektorernes familie:
(PÅjPÅjeg→)jeg∈jeg,jeg≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq j}}
er en
gratis familie ;
- ingen af punkterne i familien af (A i ) i ∈ I er barycenter for de resterende punkter;
- et givet punkt i rummet genereret af (A i ) i ∈ I a, som barycenter for (A i ), en enkelt normaliseret skrivning (summen af koefficienterne lig med 1);
- ethvert punkt i rummet genereret af (A i ) i ∈ I a, som barycenter for (A i ), en normaliseret skrift (sum af koefficienter svarende til 1) unik.
Plads genereret
Rummet genereret af en familie (A i ) i ∈ I (eller et sæt) af punkter i det affine rum E er det mindste affine underrum, der indeholder alle disse punkter, dvs. skæringspunktet mellem alle affine underrum, der hver indeholder alle (A i ). Det er stadig sættet af barycentre fra (A i ). Når det genererede rum er hele det affine rum, siger vi også, at familien er generativ. En familie er derfor en generator, hvis og kun hvis for en given j i I vektorfamilien:
(PÅjPÅjeg→)jeg∈jeg,jeg≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq j}}er generator .
Base eller benchmark
Endelig er et affinistisk grundlag for E en fri og genererende familie (A i ) i ∈ I , og vi ser, at dette svarer til:
(PÅ0PÅjeg→)jeg∈jeg,jeg≠0{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {0} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq 0}}er et grundlag for det tilknyttede vektorrum, dvs.
(PÅ0;(PÅ0PÅjeg→)jeg∈jeg,jeg≠0){\ displaystyle \ left (\ mathrm {A} _ {0}; \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {0} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq 0} \ right)}er en kartesisk referenceramme for det affine rum E , en affin referenceramme i den foregående betydning, idet de to forestillinger derfor er tæt forbundne.
Ethvert punkt i et affint rum er barycentrisk for punkterne i en barycentrisk referenceramme, listen over barycentriske koefficienter er unik bortset fra en multiplikationsfaktor (unik, hvis vi antager, at summen af koefficienterne skal være 1), dette er de barycentriske koordinater .
Færdig dimension
I endelig dimension n har alle affine baser den samme kardinal n + 1, alle de frie raffineringsfamilier har en kardinal højst lig med n + 1, alle de genererende familier har en kardinal mindst svarende til n + 1. Disse egenskaber udledes af dem, der er analoge for baserne , fri familie og vektorgenererende familie ved ækvivalenser i de foregående afsnit.
Især en affin basis er en fri familie på n + 1 point, det vil sige (A 0 , ..., A n ), der opfylder en af betingelserne i afsnittet #Familiefri forfining . Så:
- en affin base af en affin linie består af 2 forskellige punkter deraf;
- en affin base af et affin plan består af 3 ikke-justerede punkter;
- en affin basis af et affin rum af dimension 3 består af 4 ikke-coplanære punkter.
Noter og referencer
-
Vi finder denne definition af affin eller kartesiske koordinatsystem for eksempel i Ladegaillerie 2003 , s. 19.
-
Fresnel 1996 taler om et koordinatsystem eller affin base, hvor den tidligere forestilling kaldes et kartesisk koordinatsystem. Lelong-Ferrand 1985 bruger også affine benchmark,. Ladegaillerie 2003 bruger affine base til denne forestilling og affine benchmark reserve for den foregående.
-
Fresnel 1996 , s. 11
-
Se Fresnel 1996 , s. 11 eller Ladegaillerie 2003 , s. 27
Se også
Relaterede artikler
Bibliografi
-
Jean Fresnel , moderne metoder i geometri , Paris, Hermann ,1996, 408 s. ( ISBN 2-7056-1437-0 ).
-
Yves Ladegaillerie , geometri: affin, projektiv, euklidisk og anallagmatisk , Paris, ellipser ,2003, 515 s. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
-
Jacqueline Lelong-Ferrand , Fundamenter for geometri , Paris, PUF ,1985, 287 s. ( ISBN 2-13-038851-5 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">