System med lineære ligninger

I matematik og især i lineær algebra er et system med lineære ligninger et system af ligninger, der består af lineære ligninger, der vedrører de samme ukendte. For eksempel :

{\ begin {cases} 2x_ {1} + {\ frac {3x_ {2}} {2}} + x_ {3} = - 1 \\ {\ frac {x_ {1}} {2}} + x_ { 2} + 3x_ {3} = 4 \\ 2x_ {1} + 3x_ {2} + {\ frac {x_ {3}} {4}} = 3 \ end {cases}}

Problemet er at finde de ukendte værdier , og som tilfredsstiller de tre ligninger samtidigt. $x_ {1}$ $x_ {2}$ $x_ {3}$

Løsning af systemer med lineære ligninger hører til de ældste problemer i matematik, og disse forekommer i mange områder, såsom i digital signalbehandling , i lineær optimering eller i tilnærmelsen af ikke-lineære problemer i numerisk analyse . En effektiv måde at løse et system med lineære ligninger på er ved at eliminere Gauss-Jordan eller ved Cholesky-nedbrydning eller ved LU-nedbrydning . I enkle tilfælde kan Cramer's regel også anvendes.

Matematiske definitioner

Generelt kan et system af m lineære ligninger med n ukendte skrives i følgende form:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ prikker + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ prikker + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \ \\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ dots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {matrix} } \ ret.}

Hvor er de ukendte, og tallene er systemets koefficienter. $x_ {1}, \ prikker, x_ {n}$ $a_ {i, j}$

Eksempel

Et system med 2 lineære ligninger med 2 ukendte er et system af formen

{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + med = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ højre.}

At løse er at finde alle de værdier, der skal gives til hver ukendt på samme tid for at alle lighed skal være sande. $(S)$

Et system med lineære ligninger kan også skrives i matrixform :

Axe = b

med:

A = {\ begin {pmatrix} a _ {{1,1}} & a _ {{1,2}} & \ cdots & a _ {{1, n}} \\ a _ {{2,1} } & a _ {{2, 2}} & \ cdots & a _ {{2, n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m, 1}} & a _ {{m, 2}} & \ cdots & a_ {{m, n}} \ end {pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ { m} \ end {pmatrix}}

Homogent system

Et system af formen:

{\ displaystyle Axe = 0}

kaldes et system af homogene lineære ligninger. Alle homogene systemer tillader mindst én løsning:

{\ displaystyle x_ {1} = 0 \; \ x_ {2} = 0 \; \ \ prikker \; \ x_ {n} = 0}

Denne løsning er den nul eller trivielle løsning .

Antal løsninger til et ligningssystem

Hvis feltet er uendeligt (som det er for reelle tal og for komplekse tal ), er kun følgende tre tilfælde mulige for et givet system af lineære ligninger med n ukendte:

systemet har ingen løsning (for et homogent system er denne sag umulig);
systemet har en unik n- uplet- løsning;
systemet har en uendelighed af n dobbelt-løsninger (for et homogent system, der omfatter strengt mindre end n ligninger, er man altid i de 3 e tilfælde).

Der er ingen regel mere præcis end for et system med uafhængige lineære ligninger med n ukendte. Der er derefter:

ingen løsning, når antallet af ligninger er strengt større end n ;
en unik løsning, når antallet af ligninger er lig med n ;
en uendelighed af opløsninger (på en uendelig felt) når antallet af ligninger er strengt mindre end n (for eksempel løse et system af to retvinklede ligninger af sekantmoduler planer , i en affin rum af dimension n = 3, består i at tilvejebringe en parametrisk ligning af linje skæringspunktet mellem disse to planer).

Eksempel på en ligning med 2 ukendte, der har uendelig mange løsninger

Ligningen har et uendeligt antal løsninger. Hvis vi tager for værdien , får vi: ${\ displaystyle 4x + 2y = -1}$ $x$ $1$

${\ displaystyle 4 \ gange 1 + 2y = -1}$ ;
${\ displaystyle 4 + 2y = -1}$ ;
${\ displaystyle 2y = -5}$ ;
${\ displaystyle y = {\ dfrac {-5} {2}}}$ .

Mere generelt bestemmer denne ligning værdien af for ethvert valg af en værdi på : $y$ $x$

{\ displaystyle {\ begin {align} 4x + 2y = -1 & \ Leftrightarrow 2y = -1-4x \\ & \ Leftrightarrow y = {\ dfrac {-1-4x} {2}} \\ & \ Leftrightarrow y = -0 {,} 5-2x. \ Afslut {justeret}}}

Systemer med 2 lineære ligninger med 2 ukendte

Den enkleste type lineære system involverer to ligninger og to variabler:

{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + med = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ højre.}

Et sådant system kan løses ved erstatning .

Grafisk fortolkning

Dette giver os mulighed for at etablere nyttige sætninger for følgende.

Hver ligning i systemet definerer en affinefunktion og repræsenteres derfor af en lige linje i et koordinatsystem. Guld: $(S)$

koordinaterne for skæringspunktet for de to linjer repræsenterer løsningen af ; $(S)$
to linjer har:
- enten et enkelt skæringspunkt
- enten intet skæringspunkt;
- det vil sige en uendelighed af skæringspunkter.

Derfor følgende sætning:

Sætning 1 : Systemet har: $(S)$

enten en enkelt løsning
enten ingen løsning;
det vil sige en uendelig lang række løsninger.

Vi beviser også følgende sætning:

Sætning 2 : Systemet tillader kun en løsning, hvis og kun hvis tallet ikke er nul. $(S)$ ${\ displaystyle ad-bc}$

Vi kalder det afgørende for systemet . ${\ displaystyle ad-bc}$ $(S)$

Eksempel på grafisk opløsning : Enten systemet

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2. \ end {matrix}} \ højre.}

Den første ligning svarer til ( se ovenfor ). ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}$

Den anden ligning svarer til:

${\ displaystyle 3x-y = 2}$ ;
${\ displaystyle -y = 2-3x}$ ;
${\ displaystyle y = - (2-3x) = 3x-2}$ .

Ved at tegne linjerne i de respektive ligninger og ser vi, at deres skæringspunkt er . Systemets løsning er og . ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}$ ${\ displaystyle y = 3x-2}$ ${\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}$ ${\ displaystyle x = 0 {,} 3}$ ${\ displaystyle y = -1 {,} 1}$

Algebraisk opløsning

Den Gauss-Jordan elimination , nævnt ovenfor gælder for alle disse systemer, selv om koefficienterne kommer fra en vilkårlig felt.

Der er to a priori forskellige metoder, men som er baseret på det samme grundlæggende princip: eliminering af et ukendt. Lad os specificere dem på et eksempel.

Substitutionsmetode

Lad os tage systemet for eksempel: ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2 \ end {matrix}} \ højre.}$

Den første ligning giver os mulighed for at udtrykke som en funktion af . Mere præcist svarer det til ( se ovenfor ). Så lad os erstatte med i den anden ligning. Vi har : $y$ $x$ ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}$ $y$ ${\ displaystyle -0 {,} 5-2x}$

{\ displaystyle {\ begin {align} 3x - (- 0 {,} 5-2x) = 2 & \ Leftrightarrow 3x + 0 {,} 5 + 2x = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x + 0 {,} 5 = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x = 1 {,} 5 \\ & \ Leftrightarrow x = {\ dfrac {1 {,} 5} {5}} = 0 {,} 3. \ end {justeret}}}

Systemet er derfor ækvivalent til:

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = -0 {,} 5-2x \\ x = 0 {,} 3 \ end {cases}}.}

Udskiftning af i den første ligning får man: . $x$ ${\ displaystyle 0 {,} 3}$ ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2 \ gange 0 {,} 3 = -0 {,} 5-0 {,} 6 = -1 {,} 1}$

Systemet har derfor en enkelt løsning: parret . ${\ displaystyle (x, y) = (0 {,} 3, -1 {,} 1)}$

Kombinations- eller eliminationsmetode

Denne metode kaldes også "metode ved lineær kombination".

Eksempel : Lad os tage systemet

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 3x-y & = 2 \ end {cases}}}

Et ækvivalent system opnås ved at holde den første række og ved at gange den anden med 2 og derefter tilføje den første til den for at eliminere . Systemet bliver: $y$

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 2 \ gange 3x-2 \ gange y & = 2 \ gange 2 \ end {cases}}}

, det vil sige

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 6x-2y & = 4 \ end {cases}}}

derefter (ved tilføjelse):

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 10x & = 3 \ end {cases}}}

, det vil sige

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ x & = {\ dfrac {3} {10}}. \ end {cases}}}

Lad os erstatte med i første linje. Hun bliver: $x$ ${\ displaystyle {\ dfrac {3} {10}} = 0 {,} 3}$

${\ displaystyle 4 \ times 0 {,} 3 + 2y = -1}$ ;
${\ displaystyle 1 {,} 2 + 2y = -1 \,}$ ;
${\ displaystyle 2y = -1-1 {,} 2 = -2 {,} 2}$ ;
${\ displaystyle y = {\ dfrac {-2 {,} 2} {2}} = - 1 {,} 1}$ .

Det oprindelige system svarer derfor til

{\ displaystyle {\ begin {cases} y & = - 1 {,} 1 \\ x & = 0 {,} 3 \ end {cases}}}

Vi finder således, at han har en unik løsning: parret . ${\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}$

Almindelig sag

Generelt et system af formen

\ venstre \ {\ begynder {matrix} ax + ved = e \\ cx + dy = f \ slut {matrix} \ højre.

hvis determinant ikke er nul, har kun løsning: ${\ displaystyle ad-bc}$

x = {\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix} \ over \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = {ed - bf \ over annonce - bc}, \ quad y = {\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix} \ over \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = { af - ec \ over ad - bc}.

System med 3 ligninger med 3 ukendte

Systemerne med 3 ligninger med 3 ukendte løses også på denne måde:

Substitutionsmetode

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + 10y-3z = 5 \ quad [1] \\ 2x-y + 2z = 2 \ quad [2] \\ - x + y + z = -3 \ quad [3] \ end {matrix}} \ højre.}

For at løse dette system med 3 ligninger med 3 ukendte isolerer vi et ukendt i en af ligningerne. I dette system isolerer vi det ukendte x i ligning [1]

[1] .

{\ displaystyle x = -10y + 3z + 5}

Nu erstatter vi det ukendte i ligninger [2] og [3], hvilket giver et system med 2 ligninger med 2 ukendte at løse. $x$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 2 (-10y + 3z + 5) -y + 2z = 2 [2] \\ - (- 10y + 3z + 5) + y + z = -3 [ 3] \ end {matrix}} \ højre.}

Efter at have fundet og erstatter vi dem i ligning [1] for at finde . $y$ $z$ $x$

Elimineringsmetode

{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ 2x & + & 2y & - & z & = 2 & [2] \\ - x & + & y & + & z & = - 3 & [3] \ end {cases}}}

For at løse dette system kan man f.eks. Eliminere i ligninger [2] og [3] ved at erstatte dem med ligninger [2 ']: = –2 × [1] + [2] og [3']: = [1] + [3]. Da denne transformation er reversibel ([2] = [2 '] + 2 × [1] og [3] = [3'] - 1), svarer det oprindelige system til det nye system $x$

{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ && - 2y & + & 11z & = 2 & [3 '] \ end {cases}}}

Det er så tilstrækkeligt at eliminere en anden ukendt faktor, for eksempel i ligning [3 '], ved at erstatte sidstnævnte (igen, reversibelt) med 4 × [3'] + [2 ']. Systemet svarer derfor til det følgende system, som er forskudt (og endda trekantet ): $y$

{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ &&&& 23z & = 0 & [3 ''] \ end {cases}}}

Ligning [3 "] bestemmer, hvem der erstattes i ligning [2 '] bestemmer . Disse to værdier, erstattet i ligning [1], bestemmer . $z$ $y$ $x$

Denne metode er generaliseret til systemer, der omfatter flere ligninger og flere ukendte og tager navnet Gaussisk drejemetode .

Noter og referencer

Denne artikel er helt eller delvist hentet fra artiklen " System of ligninger (elementær matematik) " (se listen over forfattere ) .