Ellipsoid
I matematik , og mere præcist i euklidisk geometri , en ellipsoide er en kvadratisk overflade af tredimensionale euklidisk rum . Det er derfor en del af kvadraterne med hovedkarakteristikken ved ikke at have et uendeligt punkt.
Ellipsoiden indrømmer et centrum og mindst tre symmetriplaner . Den skæringspunktet af en ellipsoide med et plan er en ellipse , et punkt, eller den tomme mængde .
Ligningen af en ellipsoid centreret ved oprindelsen af et ortonormalt koordinatsystem og justeret med akserne i koordinatsystemet er af formen
x2på2+y2b2+z2vs.2=1{\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1}hvor a , b og c , kaldet halvakser af ellipsoiden, er strengt positive parametre.
Ligninger
Generaliseret ligning
I et tredimensionalt kartesisk koordinatsystem, ligningen for en kvadratisk overflade er
xTPÅx+BTx+VS=0{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \, \ mathbf {x} + B ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {x} + C = 0}
hvor matrixen A ved konstruktion er en ægte symmetrisk matrix . Ifølge spektral sætningen er den diagonaliserbar, og dens egenværdier er alle virkelige. Hvis disse tre egenværdier er strengt positive (eller strengt negative), det vil sige at A har signatur (3, 0) (eller (0, 3)), definerer denne ligning en ellipsoid-type kvadratisk. På betingelse til sidst at ændre alle ligningskoefficienterne modsat, er matrixen A derefter positiv bestemt . Determinanten for A er ikke nul, kvadraten har et center, hvis koordinater er
v=-12PÅ-1B,{\ displaystyle \ mathbf {v} = - {\ frac {1} {2}} A ^ {- 1} B,}
og ligningen er skrevet i form:
(x-v)TPÅ(x-v)=k{\ displaystyle \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} A \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) = k}
med
k=14BTPÅ-1B-VS.{\ displaystyle k = {\ frac {1} {4}} B ^ {\ mathsf {T}} A ^ {- 1} BC.}
Demonstration
Da på den ene side A er symmetrisk og på den anden side nogen skalar er lig med dens gennemført matrix ,
vTPÅ=vTPÅT=(PÅv)TetxTPÅv=(xTPÅv)T=(PÅv)Tx{\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A = \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mathsf {T}} = \ left (A \ mathbf {v} \ højre) ^ {\ mathsf {T}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} = \ left (\ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = \ left (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {x }}
derfor
(x-v)TPÅ(x-v)-k=xTPÅx-(vTPÅx+xTPÅv)+vTPÅv-k=xTPÅx-2(PÅv)Tx+(PÅv)Tv-k.{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} A \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ højre) -k & = \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {x} + \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} \ right) + \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} -k \\ & = \ mathbf { x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {x} -2 \ left (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {x} + \ left (A \ mathbf {v} \ højre) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {v} -k. \ end {justeret}}}
Guld
(PÅv)T=-12BTet(PÅv)Tv-k=VS{\ displaystyle \ left (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = - {\ frac {1} {2}} B ^ {\ mathsf {T}} \ quad {\ rm { og}} \ quad \ left (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {v} -k = C}
hvis og kun hvis)
v=-12PÅ-1Betk=14BTPÅ-1B-VS.{\ displaystyle \ mathbf {v} = - {\ frac {1} {2}} A ^ {- 1} B \ quad {\ rm {et}} \ quad k = {\ frac {1} {4}} B ^ {\ mathsf {T}} A ^ {- 1} f.Kr.)
Hvis k er strengt positiv, er ellipsoiden (centreret i v og vilkårligt orienteret) derefter sæt af punkter x, der tilfredsstiller ligningen:
(x-v)TPÅ1(x-v)=1{\ displaystyle \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} A_ {1} \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) = 1}hvor A 1 er reel, positiv bestemt .
Endvidere egenvektorerne af A 1 definerer akser ellipsoiden og egenværdierne for A 1 er lig med den inverse af kvadratet på de halve-akserne (dvs. 1 / a 2 , 1 / b 2 og 1 / c 2 ). De singulære værdier af A 1 , er lig med egenværdierne, er derfor lig med den inverse af kvadratet på de halve akser.
Parametrisering
En ellipsoid kan konfigureres på forskellige måder. En af mulighederne ved at vælge z- aksen er som følger:
{x=påcos(θ)cos(ϕ)y=bcos(θ)synd(ϕ)z=vs.synd(θ){\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ theta) \ cos (\ phi) \\ y = b \ cos (\ theta) \ sin (\ phi) \\ z = c \ sin (\ theta) \ end {cases}}}
eller
-π/2≤θ≤π/2et-π≤ϕ≤π.{\ displaystyle - \ pi / 2 \ leq \ theta \ leq \ pi / 2 \ quad {\ rm {and}} \ quad - \ pi \ leq \ phi \ leq \ pi.}
Parametrene kan ses som sfæriske koordinater. For en konstant θ får vi en ellipse, der er skæringspunktet mellem ellipsoiden og et plan z = k . Parameteren ϕ svarer derefter til den excentriske anomali af denne ellipse. Der er to andre parametreringer, hver med sin egen fortolkning. Kun revolutionens ellipsoider har en unik definition af reduceret breddegrad .
Projektivt rum
I projektiv geometri , ligningen af en imaginær ellipsoid er af formen
x2på2+y2b2+z2vs.2+1=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} + 1 = 0.}Den ellipsoide kønsligning , imaginær kegle :
x2på2+y2b2+z2vs.2=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 0.}Særlige tilfælde
Triaksial ellipsoid
En ellipsoid siges at være triaksial, hvis dens tre halvakser er forskellige.
Ellipsoid af revolution
I det tilfælde, hvor kun to halvakser er ens, kan ellipsoiden genereres ved at dreje en ellipse omkring en af dens akser. Det er en ellipsoid af revolution , undertiden kaldet en sfæroide , hvilket gør det muligt at få de elliptiske spejle fra biografprojektorer og rugbykugler . Det er også vist, at denne overflade er optimal til luftskibe .
Ved at tage a = b skrives ligningen:
x2+y2på2+z2vs.2-1=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} - 1 = 0 .}Vi opnår en ellipsoid af revolution med aksen Oz . Faktisk er sektionerne ved flyene z = k cirkler på aksen Oz .
- Så siges det, at ellipsoiden er prolat (dvs. langstrakt).på=b<vs.{\ displaystyle a = b <c}
- Hvis ellipsoiden er en kugle .på=b=vs.{\ displaystyle a = b = c}
- Ja , ellipsoiden siges at være oblat (dvs. fladtrykt).på=b>vs.{\ displaystyle a = b> c}
Meridianen i xOz- planet, som vi får med y = 0, er ligningens ellips :
x2på2+z2vs.2-1=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} - 1 = 0.}Bemærk, at vi går fra meridianens ligning til ligningen af revolutionens overflade ved at erstatte x 2 med x 2 + y 2 .
Kugle
I det degenererede tilfælde, hvor a = b = c , er ellipsoiden en sfære med radius a .
Ejendomme
Bind
Rumets volumen afgrænset af en ellipsoid er lig med:
V=43πpåbvs.=4π3det(PÅ1-1).{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi abc = {\ frac {4 \ pi} {3}} {\ sqrt {\ det \ left ({A_ {1}} ^ {- 1 } \ ret)}}.}
Denne formel giver volumenet af en kugle med radius a i det tilfælde, hvor de tre halvakser har samme længde.
Volumen af den største indskrevne rektangulære parallelepiped og den mindste omskrevne rektangulære parallelepiped er givet ved følgende formler:
Vmaks=833påbvs.etVmin=8påbvs..{\ displaystyle V _ {\ max} = {\ frac {8} {3 {\ sqrt {3}}}} abc \ quad {\ rm {et}} \ quad V _ {\ min} = 8abc.}
Areal
Det område af enhver ellipsoide er givet ved formlen
PÅ=2πvs.2+2πpåbsynd(ϕ)(E(ϕ,k)synd2(ϕ)+F(ϕ,k)cos2(ϕ)),{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = 2 \ pi c ^ {2} + {\ frac {2 \ pi ab} {\ sin (\ phi)}} \ left (E (\ phi, k) \ sin ^ {2} (\ phi) + F (\ phi, k) \ cos ^ {2} (\ phi) \ højre),}eller
cos(ϕ)=vs.på,k2=på2(b2-vs.2)b2(på2-vs.2),på≥b≥vs.,{\ displaystyle \ cos (\ phi) = {\ frac {c} {a}}, \ qquad k ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} \ left (b ^ {2} -c ^ { 2} \ højre)} {b ^ {2} \ venstre (a ^ {2} -c ^ {2} \ højre)}}, \ qquad a \ geq b \ geq c,}og hvor F ( ϕ , k ) og E ( ϕ , k ) er de ufuldstændige elliptiske integraler af henholdsvis den første og anden slags:
F(ϕ,k)=∫0ϕdθ1-k2synd2θ,E(ϕ,k)=∫0ϕ1-k2synd2θ dθ.{\ displaystyle F (\ phi, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta}}}, \ quad E (\ phi, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} ~ \ mathrm {d} \ theta.}
Excentricitet
Hvis a ≥ b ≥ c (dvs. hvis a er længden på den største halvakse og c er længden på den mindste halvakse), gives ellipsoidens excentricitet ved hjælp af formlen næste:
e=på2-vs.2på.{\ displaystyle e = {{\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} \ over a}.}
Ansøgninger
Egenskaberne ved ellipsoider er blevet undersøgt i århundreder i søgningen efter de former, som roterende systemer tager , Newton var især interesseret i udfladning af polerne ( jordens ellipsoide model ). De mest geniale matematikere har bidraget til undersøgelsen af ellipsoide ligevægtstal for roterende systemer, der findes i naturen, for eksempel:
Dynamiske egenskaber
En ellipsoid med ensartet tæthed ρ har følgende masse:
m=ρV=4πρ3påbvs.{\ displaystyle m = \ rho V = {\ frac {4 \ pi \ rho} {3}} abc}Inertimomenterne i hovedakssystemet er:
jegxx=m5(b2+vs.2){\ displaystyle I_ {xx} = {\ frac {m} {5}} (b ^ {2} + c ^ {2})}
jegyy=m5(på2+vs.2){\ displaystyle I_ {yy} = {\ frac {m} {5}} (a ^ {2} + c ^ {2})}
jegzz=m5(på2+b2){\ displaystyle I_ {zz} = {\ frac {m} {5}} (a ^ {2} + b ^ {2})}
Træghedsprodukterne er alle nul i dette aksesystem:
jegxy=jegyx=jegxz=jegzx=jegyz=jegzy=0{\ displaystyle I_ {xy} = I_ {yx} = I_ {xz} = I_ {zx} = I_ {yz} = I_ {zy} = 0}Eksempler
Noter og referencer
(
fr ) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Ellipsoid " ( se forfatterlisten ) .
-
(in) Stephen P. Boyd (in) , " Play 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD " , på Stanford University , efterår 2012-2013 .
-
(i) FWJ Olver ( red. ), DW Lozier ( red. ), RF Boisvert ( dir. ) Og CW Clark ( red. ), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press,17. maj 2010( læs online ).
-
http://dlmf.nist.gov/19.2
-
(in) Subrahmanyan Chandrasekhar, ellipsoide figurer af ligevægt , New Haven (USA), Yale University Press,1969, 253 s. ( ISBN 0-486-65258-0 )
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">